Качающаяся скала

10

Качающаяскаяскала

«…Надо сказать, что в этих местахне редкость встретить так называемую «качающуюся скала» — весмалюбитьое явление, суть которого в том, что отдельный кусок скалыв незапамятные времена получаетустойчивость равновесия. Он обычноенно стоит на каменной площадке и, если его раскачивать, он, подобнованьке-вставке, принимает первоначальное положение. Такие скалы весят иногда тысячи тонн, но послушныдвижению руки человека средней силы. Такая скала упасть не может, если, конечно, ее не взорвут …»

Это — строки из рассказа Александра Грина «Качающаяскаяскала» —грустной истории о бедном охотнике, которое предложили за три миллиона опрокинуть огромный столб,качающейся около положения равновесия. Охотник, несмотря на всесвои усилия, не справился с задачей и сошел с ума (но так и не оставилсвоей затем и все пытался столкнутькамень).

Попробуем понять, почему же устойчива «качающаяскаяскала».
Мы знаем, что для того чтобы находилось в положении равновесия, должны выполнять два условия:

векторная сумма всех сил,
действующих на тело,
равна нуль; (*)
алгебраическая сумма
моментов всех сил
относительно произвольной точки
равна нуль. (**)

Не всякое положение равновесия является устойчивым. Например, иголка, на котором действует только сила тяжести и реакция опоры, не стоит свободно на гладком столе, хотя, если иголку поставить строго вертикально, условия (*) и (**) будут выполняться. Но при малейшем отклонении иголки от вертикали возникают моменты сил, опрокидывающие иголку. В то же время кирпич стоит устойчivo на любой грани. И как бы мы ни уменьшали кирпич, сохраняя его форму, он по-прежнему будет устойчivo стоять на столе. Но тот же кирпич очень трудно «уравновесить», например, на футбольном мяче (мяч при этом будем удерживать неподвижным).

11

Из сказанного можно сделать вывод, что от формы тела (точнее, его основания) и поверхности опоры зависит устойчивость равновесия тела. Чтобы вывести критерий устойчивости, обратимся снова к качающейся скале и рассмотрим случай, когда камень и опора в области соприкосновения имеют сферическую форму. Будем предполагать, что камень и глыба, на котором он стоит, сточились или обветрились и стали гладкими, без сколов и выступов, так что область контакта камня с опорой мала и может быть принята за точку. На рисунке 1 показаноечение камня и опоры вертикальной плоскостью, проходящей через точку их соприкосновения (точка C). О и O’ — центры сферических поверхности камня и опоры в области контакта, r и R — соответствующие радиусы.

Для равновесия камня необходимо прежде всего, чтобы центр тяжести (точка P) лежал на вертикали OO’. При этом условия (*) и (**) выполнются. Посмотрим, к чем приведет небольшое отклонение камня от первогоального положения.

Пусть в результате отклонения положение камня на опоре стало таким, как на рисунке 2. Если при этом центр тяжести камня оказывается равнее вертикали AA’, то момент силы тяжести относительно точки опоры A будет способствовать дальнейшем отклонению, и камень уже не вернется в первоначальное положение. Если же точка P оказывается

Рис. 1.

Левое вертикали AA’, то момент силы тяжести относительно точки A будет возвращать камень в первоначальное положение. А это значит, что равновесие камня устойчиво.

Итак, если CP < CQ (см. рис. 2), то равновесие устойчиво. Посмотрим, как при этом связаны между собой CP R и r. В треугольнике OAQ

$$\angle OAQ = \alpha, \angle AOQ = \beta = \frac{\widehat{CA}}{r} = \frac{\widehat{C'A}}{r} = \alpha \frac{R}{r} \text{ (так как } \alpha \text{ мало).}$$

По теореме синусов имеем:

$$\frac{OQ}{\sin \alpha} = \frac{r}{\sin[\pi - (\alpha + \beta)]} = \frac{r}{\sin(\alpha + \alpha \frac{R}{r})}.$$

На интересующем малые отклонения камня от положения равновесия. Говоря «малое отклонение», мы имеем в виду, что расстояние, «проходимое» точкой контакта на поверхности опоры, т. е. дуга C’A (и, следовательно, дуга C’A = C’A), мало по сравнению с радиусами r и R поверхности камня и опоры. А это и означает, что углы α и β малы, т. е. α << 1 и β = α \frac{R}{r} << 1.

Для малых углов, как известно, синус угла с хорощей точностью равен самому углу. Поэтому выражение

12

(1) можно записать так:

$$\frac{OQ}{r} = \frac{1}{1 + \frac{R}{r}}.$$

Отсюда $OQ = \frac{r^2}{R + r}$. Так как $CQ = r - OQ = \frac{Rr}{R + r}$, то условие устойчивого равновесия камня (т. е. условие $CP < CQ$) записьвается в виде неравенства

$$CP < \frac{Rr}{R + r}$$

(2) Если поверхность имеет волнуту форму с радиусом $R$ (форму внутренней поверхности сферы радиуса $R$), то условие устойчивого равновесия камня на опоре выглядает так:

$$CP < \frac{Rr}{R - r}$$

(CP — по-прежнему расстояние от точки контакта до центра тяжеста в положении равновесия). Попробуйте вывести эту формулу самостояльно.

Отметим теперь следующее важное обстоятельство. Допустим, что равновесие камня на опоре устойчивое. При отклонении камня от положения равновесия возникнет момент силы, преляствующий этому отклонению: у силы тяжеста относительно новой точки опоры появляется плечо (см. рис. 2). Чтобы удержать камень в новом положении неподвижным, требуется приложить внешнюю силу такую, чтобы ее момент относительно новой точки опоры был равен по величины и противоположен по направлению моменту силы тяжести. (Величина и направление этой силы определяются условия (*)). Значит, даже для небольшего отклонения тела от положения устойчивого равновесия необходимо совершить работу против силы тяжести. Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии тела. А это означает, что в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия тела имеет минимальное значение, или, что то же самое, центр тяжеста тела занимает минимшее положение. Поэтому условия (2) можно вывести иначе, посмотрев, что происходит с центром тяжести камня при его небольшим отклонении (см. упражнение 1). Такие два различных подхода к решению проблемы устойчивости по существу полностью эквивалентны.

Если камень слегка отклонить от положения устойчивого равновесия и не удерживать его в новом положении, то он начинает возвраться назад, «просоочит» (по инерции) положение равновесия, снова вернется к нему и т. д. To есть камень будет совершать колбания около положения устойчивого равновесия.

Если небольшие отклонение тела от положения равновесия не изменяет высоту центра тяжеста тела над точкой опоры. Такое положение называют безразличным равновесием. В безразличном равновесии находится, например, одноподный шарик на горизонтальной плоскости.

Теперь нам понятно, что такое «качаюшаяся скала»: это вертикальное строящий камень с низко расположенным центром тяжести или большим радиусом кривизны основания. Отклонение камня (правда, в некоторых пределах; см. упражнение 2) приводит к его колбании около положения равновесия. Качаюшаяся скала — это камень-маятник.

Конечно, нельзя руководство применены с целью строения камня столь. Дело не только в том, что у качаюшейся скалы большая масса и для того, чтобы сообщить ей ускорение, нужно приложить очень большую силу. Из-за деформации опоры под действием веса камня могут возникать силы реакции, преляствующие отклонению скала от вертикали. И тем не менее, качающаяся скала существенно в принципе не требует встроения нечто подобное?

В заключение рассмотрим примеры, которые не требуют путешествия в горы, их можно изучить и на столе, но по своей природе они также же, как качаюшаяся скала.