Необычное в обычном

13

Пример 1. У однородного шара центр тяжести совпадает с геометрическим центром. Поэтому шар неустойчив на выпуклой поверхности. Однако, если у шара средна «верхушка», то он может стоять устойчив на вершине выпуклой поверхности (см. упражнение 3).

Пример 2. Забавная детская игрушка «ванька-вставка» наполнивается пример 1. Кусок свинца или стали, спрятанный у шарообразного основания ваньки-вставки, придает игрушке удивительную устойчивость.

А все ли знают, что у ваньки-вставки были (а может быть, есть кое-где и сейчас) родственники? Послушайте.

《Было когда-то на свете двадцать пять овяяных солдатков. Все они были сыновыми одной матери — старой овяяной ложки — и, значит, приходились друг другу родными братыми. Они были очень красивы: ружеye на плече, грудь колесом, мундир красный с синим. Чудо, что за солдатки…》 Это стояние овяяные солдатки из сказки Андерсена. Почему их называли стояками? Наверное, потому, что, как бы их накладали, они всегда возврашаеть в вертикальное положение. Когда открывали коробку, в которой были уложены такие солдатки, все они вскакивали, словно по команде. Каждый солдатик крепился на главном среде свинцовой полусферы и стоял удивительно устойчиво.

Пример 3. Существует легенда, что Королевский совет, проверяя нахождение и хитроумне Колумба, предложил ему поставить яйцо острым концом на стол. Колумб решил задачу в два счета; он надбил его и установил на стол. При этом он не только изменил форму поверхности в месте контакта, сделав ее положей на плоскость, но и понизил центр тяжести яйца.

Уражнения

1. Выведите условия (2), используя тот факт, что в положении источников равновесия потенциальная энергия тела минимальна.
2. Ванька-вставка стоит на неподвижном шаре. Радиусы шара и основания ваньки-вставки одинаковы и равны $R$. Максимальный угол, на котором отклонить от вертикали игрушку так, чтобы она не упала с шара, равен $\alpha_0$ (проссказывания нет). Найдите, где расположен центр тяжести ваньки-вставки.
3. Получarie радиуса $r$ стоит источнику на неподвижном шаре радиуса $R$, если выполняется условия $r < 0,6R$. Где расположен центр тяжести полушария?

Необычное в обычном

Вдумчивый подход к любмявым раскрываем неожиданные и красные их стороны. Вот один пример. Надо возвести число 487 в квадрат? Пожалуйста, пишем:

$$487 - 250 = 237, \\ (500 - 487)^2 = 169.$$

Теперь записьиваем полученные числа один за другой:

$$486 - 250 = 236, \\ (500 - 486)^2 = 196, \\ 486^2 = 236196.$$

Опять верно. Следующее число 488, для него

$$488 - 250 = 238, \\ (500 - 488)^2 = 144, \\ 488^2 = 238144.$$

Весьма интересные квадраты, неправда ли? Стоит немного. И тогда вы, наверное, возвводя 46×46 и не станете расписьвать $(40+6)^2$ как квадрат суммы, а сразу напишете ответ:

$$2100 + 16 = 2116.$$

Не так ли?

В. Заварин