46
Циссонды
Циссонда Диоклеска *) — едва ли не самая древняя из замечательных кривых. Она может быть определена так. Расмотрим произвольную окружность (О, r) и точку P на ней. Пусть PQ — диаметр окружности, a l — касательная к ней, проходящая через точку Q (рис. 1). Выберем произвольную точку L ∈ l. Пусть [PL] ∩ (O, r) = N. Построим на отрезке PL точку M, для которого |PM| = |LN|. Множество точек M, построенное для всевозможных точек L ∈ l, и есть циссонда Диоклеска.
Положение точки M может быть описано парой чисел ⟨φ, ρ⟩, где φ = LPQ, ρ = |PM|. Пара ⟨φ, ρ⟩ называется полярными координатами **(точки M, φ — ее полярным углом, ρ — полярным радиусом). Точка P при этом называется полюсом (аналогначала координат), вектор PM — радиус-вектором циссонды. В циссонде Диоклеска - π/2 < φ < π/2.
Можно написать уравнение, связывающее полярные координаты произвольной точки циссонды Диоклеска:
ρ = 2r/cos φ - 2r cos φ — полярное уравнение циссонды (выведите его).
Примяем PQ является осью симметрины циссонды Диоклеска. При стремлении φ к π/2 (или κ - π/2) точка M стремится к L; таким образом, примяем l является асимптотой циссонды.
*) Диоклеск жил где-то между 250 и 100 гг. до н. з.
** Полярную систему координат (для описания различных спиралей) первый ввел, по-видимому, в 70-е годы XVII века И. Ньюотон.
В конце XVII века понятие циссонды было обобщено: пусть f₁, f₂ — две произвольные (плоские) кривые, P — произвольная точка: В остальном построение произвольится по-старому: берем произвольную точку L ∈ f₂ и откладываем на PL отрезок PM, для которого |PM| = |LN| (зесь N = f₁ ∩ |PL|). Полученное множество точки M называют циссондой.
Сообщите, например, какая циссонда получится, если f₁ = (O, u), f₂ = (O, s) и P = O.
На второй странице обложки изображено семейство циссонд, получающейся при фиксированных кривой f₁ = (O, r) и полюсе P ∈ (O, r), если f₂ меняется: какая f₂ получается паралельным переносом 2c касательной l («красная прямая» на обложке). (Напишите полярное уравнение этих циссонд—см. рис. 2. Оно будет, конечно, зависеть от параметра |c|).
Циссонда Диоклеска («красная циссонда» на обложке) имеет в полюсе острие. Если прямая f₂ расположена вне окружности f₁, то в наиболее удаленной от f₂ точке циссонда имеет закругление. Если же f₂ ∩ f₁ ≠ ∅, то циссонда имеет в полюсе петлю. В частности, если f₂ проходит через центр окружности f₁, то циссонда превращается в строфонду («Квант», 1977, № 2).
Приведем способ построения других циссонды (из семейства циссонд, изображенного на обложке), принадлежащий Ньюотон. Зададим в плоскости точку R и прямую l. Возьмем произвольный угольник ABC (В = 90°), у которой |AB| = |RT| (T — основание перpendикуляра, опущенного из R на l). Будем перемешать угольник (рис. 3) так, чтобы вершина A скользила по l, а катает BC «проходил» через R. Тогда фиксированная точка M катета AB опшетду циссонды (в частности, точка B —дугу. строфонды).
Как это показать? Проведем через M прямую, паралельную AR. Пусть эта прямая пересекается с RT в точке Pₘ. Из конструкности треугольников ABR и ATR вытекает, что точка Pₘ занимает на отрезке RT положение, не зависит от положения угольника ABC. Подсчитав |MPₘ|, можно убедиться, что точка M описывает циссонду. Представляем это читателю (рекомендуем использовать полярное уравнение).
Используя построение Ньюотона, легко определить положение касательной циссонд в точке M. Проведем через точку R перpendикуляр к BC и через A — перpendикуляр к l. Пусть эти перpendикуляры пересекаются в точке H (рис. 3). Тогда перpendикуляр к HM, проведенный в точке M, будет искомой касательной.
В. Березин