Гомотетия и замечательные точки в треугольнике

48

Гомотетия и замечательные точки в треугольнике

В этой заметке мы рассакжем, как с помощью гомотетии решаются многоные трудные планимерские задачи — в частности, задачи про замечательные точки в треугольнике.

Задача про грапецю

Начнем с задачи про грапецю. Вот ее формулировка:

Доказать, что пряма, проходящая через точку пересечения продолженной боковых сторонн們 грапеци и точку пересечения ее диагоналей, проходим через середины оснований грапеци.

Как ее решать? Нарисуем грапецю, продолжим ее боковые стороны, проведем диагоналей, соединним середины оснований (см. рис. 1). Мы видим, что образуется много пар подобных треугольников. С подобными фигурами связано отображение плоскости на себя, которое называется геометрией. При гомотетии с центром O и коэффициентом $k \neq 0$ образом произвольной точки X является точка $X_1$ такая, что $\overrightarrow{OX_1} = k\overrightarrow{OX}$ (см. «Геометрию 7», п. 79). Попробуем решить нашу задачу про грапецю, используя гомотетию.

Пусть $S$ — точка пересечения продолженной боковых сторон $AB$ и $CD$ грапеци $ABCD$, $O$ — точка пересечения ее diагоналей (рис. 1).

Рассмотрим две гомотетии: $H_S$ с центром $S$ и $H_O$ — с центром $O$, переходящие основание $AD$ грапеци в основание $BC$. Середина $M$ отрезка $AD$ и в той и в другой гомотетии печейдет в середину $N$ отрезка $BC$, а потом точки $M$ и $N$ лежат на прямой $OS$, проходящей через центры гомотетии $H_S$ и $H_O$.

Разберем это решение подробнее.

Гомотетия $H_S$ задается своим центром $S$ и парой соответствующих точек $A$ и $B$. По свойству гомотетии пряма $AD$ при этом перейдет в паралельную ей прямую $BC$. Образ точки $D$ будет находиться на прямой $BC$. С другой стороны, точка, соответствующая точке $D$, лежит на прямой $SD$, проходящей через центр гомотетии $S$.

Таким образом, гомотетия $H_S$ переводит точку $D$ в точку пересечения прямы $BC$ и $SD$, т. е. в точку $C$, а основание грапеци $AD$ — в основание $BC$: $H_S([AD]) = [BC]$.

Аналогично доказывается, что $H_0([AD]) = [CB]$ (гомотетия $H_O$ задается центром $O$ и парой соответствующих точек $A$ и $C$).

Средину отрезка гомотетия переводит в середину образа этого отрезка, так как при гомотетии все расстояния между точками умножаются на одно и то же число, равное modulo коэффициента гомотетии.

И, наконец, середины оснований грапеци, как соответствующие точки гомотетии, лежат на прямой, проходящей через ее центр.

Центр тяжести треугольника

Докажем теперь с помощью результата задачи о грапеции теорему о медианах треугольника, а именно, докажем, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство. Пусть $AD$, $BE$ и $CF$ — медианы треугольника $ABC$ (рис. 2). В грапеции $AFDC$ медианы $AD$ и $CF$ служат диагоналями, а потом точка $M$ их пересечения лежит на прямой, соединяющей середину $E$ основания $AC$ грапеци с точки пересечения продолженной ее боковых сторон $AF$ и $CD$, то есть — с вершиной $B$ треугольника. Таким образом, точка $M$ пересечения медиан $AD$ и $CF$ лежит и

49

Ортоцентр треугольника
Докажем еще одну теорему.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке. (Точка пересечения высот называется ортоцентром треугольника.)

Доказательство. Пусть $M$ — центр тяжестии данного треугольника $ABC$; $F, D$ и $E$ — середины его сторона (рис. 3). Расмотрим готовую $H_M^{-2}$ с центром в точке $M$ и коэффициентом $k = -2$. Эта готовая переводит точки $F, D$ и $E$ соответственно в вершины $C, A$ и $B$ треугольника $ABC$, а высоты треугольника $FDE$ — в высоты треугольника $ABC$. Но высоты треугольника $FDE$, являясь серединными перпендикулярами к сторонам треугольника $ABC$, пересекаются в одной точке $O$ — центр описанной около треугольника $ABC$ окружности. Следовательно, их образы (при готовении $H_M^{-2}$) также пересекаются в одной точке $R$ (ортоцентр треугольника $ABC$).

Попутно мы доказали такое важное следствие:

Центр тяжестии $M$ любое треугольника, его ортоцентр $R$ и центр $O$ описанной около него окружности лежат на одной прямой (она называется прямой Эйлера), причем точка $M$ расположена между точками $O$ и $R$ так, что $|MR| = 2 |OM|$.

Задание

1. Найните готовые, переводящие один из двух данных параллельных отрезков в другой.
2. На плоскости заданы окружность и две точки $A$ и $B$ на ней. Пусть $N$ — произвольная точка этой окружности, $M$ — центр тяжестии треугольника $ABN$. Найните множество точки $M$.
3. На плоскости заданы две концентрические окружности. Проведите хорду в большей из них так, чтобы она делилась меньше окружностью на три конгрузные части.
4. Две окружности касаются внешним образом. Точки касания общих внешних касательных последовательно соединены. Докажите, что в получившейся четырехугольник можно вписать окружность.
5. Дан острый угол $AOB$ и внутри него точки $C$. Найните на стороне $OB$ точку $M$, равноудаленную от стороны $OA$ и от точки $C$.
   6*. Докажите, что во всяком треугольнике основания высот, середины сторона и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной окружности. (Эта окружность называется окружностью девящи мочек.)