[Ответ на вопрос читателя Е. Гликиной о решении уравнений с бесконечным количеством операций]

60

Спрашайте — ответаем

Редакция «Кванта» получила письмо от читательницы Елены Гликиной из города Северодонца Ворошилоградской области. Вот что она пишет:

«Мне случайность встречимся с максимим интересным парадоком. Беру уравнение
$$x^{x^x} = 2;$$
(1)
его можно переписать в виде $x^2 = 2$, откуда $x = \sqrt{2}$, а потому
$$\sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{2} = 2.$$
(2)
Беру другое уравнение:
$$y^{y^y} = 4;$$
(3)
его можно переписать в виде $y^4 = 4$, откуда $y = \sqrt{2}$, а потому
$$\sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{2} = 4.$$
(4)
Отсюда следует, что $2 = 4$. Я прошу объяснить причину столь парадокального уравнения…"

Нам кажется, что подумать над этим письмом будет полезно всем нашим читателем. Именно поэтому мы помещаем на страницах журнала и само письмо, и ответ на поставленный в нем вопрос. Не спешите, однako, прочитать ответ — сначала попытаться разобраться в принципах появления «столь парадокального уравнения» самостоятельно.

Итак, целочка рассужделей привела нас к равенству $2 = 4$. Ложность полученного равенства не вызывает сомнений, а потому нужно искать ошибку. Проведем детальный логический анализ каждой сделанного шага, обращая особое внимание на законность каждой логической перехода. Один из этих переходов основаны на общих законах логики или математики, другие связаны с конкретными особенностями рассматриваемой задачи.

Например, на последнем шаге нашего рассужждения мы из равенств (2) и (4) выводим, что $2 = 4$. При этом мы опираемся, оченьindo, на следующей свойство: если $a = b$ и $a = c$ — истинные равенства, то $u = b = c$ — истинное равенство. Это свойство мы, естественно, подвергать сомнению не будем.

Но следствие $2 = 4$ все-tаки ложно, и поэтому неверно, по крайней мере, одно из равенств (2), (4).

Рассмотрим более внимательное равенство (2). Оно получилось в результате подстановки в уравнение (1) значения $x = \sqrt{2}$, найденного при решении этого уравнения. Однако, если $\sqrt{2}$ — корень уравнения (1), то равенство (2), конечно, справедливо — в силу самого определения корня. Таким образом, нужно проверить, действительно ли число $\sqrt{2}$ является корнем уравнения (1).

Решение уравнения (1), если говорить подробнее, проводилось так: пусть число $a$ — корень уравнения (1), т. е. пусть
$$a^{a^a} = 2.$$
(5)
Перепишем равенство (5) в виде
$$a^{a^a} = 2.$$
(6)
Тогда в силу того же равенства (5) заключаем, что $a^2 = 2$. Это равенство выполняется при значении $a = \sqrt{2}$, которое и объявляется корнем уравнения (1).

Все ли удовлетворяет нас в таком решении? Очевидно, нет: уравнение $x^2 = 2$ есть следвие исключенного уравнения (1), и потому нужно проверить проверки является в приведенном решении существенным проблем.

Для проверки проверки необходимый выяснить, действительно ли значение левой части уравнения (1) при $x = \sqrt{2}$ равно 2. Однако после подстановки мы приходим к левой части уравнения (2), которая, с точки зрения школьных определений, не имеет смысла: в школе мы имеем дело с результатом конечного числа

61

операционный возведения в степень, а потому равенство (2) просто бессмысленно. Равенство (4), конечно, столбже бессмысленно, и не удивительно, что использование этих двух «равенств» привело к неверному равенству 2=4.

Возникших логических трудностей сразу можно было бы избежать, если бы с самого начала посмотреть на уравнение (1) вимательно. Действительно, подставляя в его левую часть любое число, например, $x=2$ или $x=1/2$, мы получаем выражение, содержащое бесконечное число возведений в степень и потом не имеющее смысл. Попробуйте, например, ответить на вопрос, что такое

$$2^2 \text{ или } \left(\frac{1}{2}\right)^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)$$

Между тем примеры, содержащие бесконечное число операций, встречаются в некоторых задачках для построающих и, к сожалению, даже в вариантах вступительных экзаменов.

В математике часто встречаются выражения, содержащие бесконечное число операций. Но для таких выражений всегда предварительно даются четкие определения. Новая школьная программа дает возможность в некоторых случаях приписать смысл сумме бесконечного числа слагаемых (бесконечного ряда)
$$x_1 + x_2 + \dots + x_n + \dots$$
(см. учебник «Алгебра и начала анализа 9», с. 67—68), а также и многим другими бесконечными выражениями.

С помощью понятия предела можно, например, естественным образом придать смысл выражению

$$A = \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}$$

(7)

Именно, рассмотрим последовательность $\{x_n\}$

$$x_1 = \sqrt{3}, x_2 = \sqrt{3\sqrt{3}},$$

$$x_3 = \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}, \dots$$

и будем понимать выражение (7) как предел этой последовательности:

$$A = \lim_{n \to \infty} x_n$$

(если, конечно, этот предел существует). Покажем, что он действительное существует. Поскольку

$$x_n = 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{4}} \cdot \dots \cdot 3^{\frac{1}{2^n}} =$$

$$= 3^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^n}$$

и

$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^n}\right) =$$

$$= \frac{1}{2} / (1 - \frac{1}{2}) = 1,$$

в силу неперивности показательной функции $y=3^x$

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} 3^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^n} =$$

$$= 3^{\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^n}\right)} = 3.$$

Следовательно, выражение (7) имеет смысл и равно 3.

Попробуем теперь придать смысл выражению

$$\sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{2}, \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{2}, \dots$$

(9)

В статье A. Егорова «Уравнения и пределы» (с. 34) доказано, что уравнение

$$(\sqrt{2})^x = x$$

(10)

имеетровно два корня (поскольку $1 < \sqrt{2} < 1, 42 < e^{\frac{1}{e}}$) и последовательность (9) сходится к меньшему из этих корней. Корни уравнения (10) легко найти подбором: $x_1=2$, $x_2=4$. Следовательно, предел последовательности (9) равен 2, и если выражение (8) придает указанный выше смысл, то верно равенство (2), а (4) — неверно.

Г. Дорофеев, Н. Розов