Стёпа Мошкин повторяет геометрию

Квант 1977, №10 с. 51-54 Тег IG0M

Е. Семенов

Степа Мошкин повторяет геометрию

В чем ошибка? И есть ли она?

Давно уже Степа Мошкин не приходил домой таким расстроенным.
— Ты посмотри, папа, как я старался,— желался он отцу.— Вот ось симметрии — проведена черным цветом (см. рис. 1). Вот данный треугольник — синенский! А вот желтый треугольник — это образ данного треугольника в осевой симметрии. Все в цвете, сделано аккуратно, как надо! А Петр Иванович даже не посмотрел как следует, даже в руки не взял. Бросил взгляд и говорит: «Неверно! Плохо повторяешь геометрию. Придется передель!» А что тут переделывать, если все сделано так старательно!

Отец не спеша, пережидая, пока сын немного успоконтся, расматривал его рисунок. Потом произнес:
— Да, к сожалению, Петр Иванович прав: плоховато ты повторил этот материал. Тут на самом деле есть ошибки.

— Какие же?! — воскликнул Степа.
— А ты сначала скажи, что такое освая симметрия с осью l?
— Ну-y, это перемешение, в котором точки пряной l остаются на месте, a…
— Не продолжай, достаточно. Выполнено это условие на твоем чертеже?

Степа замер над чертежом в позиках ошибки.

Посмотрите и вы на рисунок. Видите маленький желтый треугольник, образованшийся при пересечении прямых l, AC и A₁C₁? И еще один — с другой стороны? В этом и заключается ошибка Степы. Отрезок A₁C₁ должен пересекать прямую l в той же точке, что и отрезок AC, ведь в симметрии с осью l точки пряной l остаются на месте.

Такие точки — осталось на месте в некоторых отображении — называются неподвижными. Их часто можно использовать для построения образа фигуры.

Другое построение

Таня решила ту же задачу, что и Степа, иначе, и на следующем уроке Петр Иванович предложил Степе, глаза на Танин рисунок (рис. 2), расскажать, как она выполняла построения. Степа сразу заметил, что Таня пользовалась циркулем и линейкой, причем точки A₁, B₁ и C₁ получились как пересечения друг окружностей.

— Причем здесь окружность? —

стал вслух размышлять Степа. — Окружность — это множество точек, находящихся на одном и том же расстоянии от данной точки. А расстояния… расстояния освая симметрия сохраняет! Ага, Таня, наверное, использувала точки M и K пересечения прямых AC и BC с прямой l. Точка M остается на месте, поэтому должно быть

$|MC| = |MC_1|,$
и аналогично
$|KC| = |KC_1|.$

Значит, точка $C_1$ получится как пересечение окружности с центром в точке M радиуса $|MC|$ с окружностью с центром K радиуса $|KC|$ . Правда, эти окружности пересечятся в двух точках. Какая же вторая?… Так это же точка C. Все ясно. Так же Таня строила точки $A_1$ и $B_1$ . Получается, что линейка для построения образов точки в осевой симметрии вообще не нужна. Хватит двух точки на оси l и циркуля. Здоров!

Неподвижные точки помогают Степе

Вечером Степа расскаал пале о Танином способе построения образов точки в осевой симметрии, а затем сделать уроки. Открыв tetрадь, он прочитал. «На дом – решить задачу 33» (см. «Геометрия 6», стр. 104). Вот она, эта задача.

Даны ось симметрии (MK), симметричные точки A и A’ и еще одна точка B Makая, что прямая AB не

резекаем ось симметрии. С помощью одной линиики построите точку B’, симметриную В относительной (MK).

Степа изобразил указанные элементы черным цветом (см. рис. 3) и задумался.

— Если бы воспользоваться угольником! Но нельзя. И циркуль также попал в число «запрещенных» инструктов. Можно пользоваться только одной линиикой. Как поступить?.. У Тани был один циркуль. Она проводила им окружности и находила образы точки как точки пересечения окружностей. У меня одна линийка. Тоже одна! И проводить я могу только прямые. Так, может, искать точку B’ как пересечение двух прямых? Что же это будет за прямые? Видимо, образы прямых, проходящих через точку B. А как искать образы прямых? Нужны образы двух точки. Ну что же, образ одной точки есть — ведь данные точки A и A'.

Степа нарисовал синем цветом прямую AB (рис. 4) и стал рассуждать далее.

— Нужен образ еще одной точки прямой AB. Ага, если прямые AB и MK пересекаются в точке E, то эта точка E — неподвижная в симметрице с осью MK. Значит, образом прямой AB будет прямая A’E.

Степа проводил пунктром прямую A’E (рис. 4) и снова задумался.

— Где же на прямой A’E будет точка B’? Нужна еще прямая. А как ее проводить? Может, есть образ еще одной точки?

Степа еще раз перечитал условия задачи. Нет, образов других точек нет. Впрочем, …сказано «симметричные точки A и A’». Что это значит? Точка A’ — образ точки A. Но ведь тогда A — образ точки A'.

Степа поскорее схватил красивый карандаш и провел прямую A’B. Ура! Она пересекала прямую MK в точке F (рис. 5), прямая AF пересекалась с прямой A’E, и Степа, торжествуя, поставил окол точки их пересечения: B'.

Упoenный победой над непокорной было задачей, Степа закрыл тетрадь. И в то же мгновение его что-то колнуло: с задачей не все ладно. Степа открыл тетрадь, посмотрел на рисунки и замер.

— А что, если прямые AF и A’E паралельны? — Спеша, он набросал рисунок. — Как тогда решить задачу? Да и прямая AB может пересечь прямую MK за пределами листа бумаги, и тогда неподвижной точки не будет!

Но, немного подумав, Степа успокоился. Он нашел способ решения задачи и в этом случае.

Задачи

На рисунке 6 с ним цветом изображены данные фигуры, а красным — их образы в осевой симметринии с осью l. Имеются ли ошибки в этих построениях? Может ли вы их обнаружить «с первого взгляда»?
Степа нашел способ решения задачи (№ 33) в случае, когда (AF) || (A’E) или точка E (или F) оказывается за пределами листа бумаги. А вы сможете это сделать?
Дана ось симметрини l, пара симметричных точки A и A’ и прямая a, паралельная l. Пользовясь одной линейкой, посмотрите образ прямой a.
Что за перемешение?… Незвестно… Но нужно ли это знать?

Повторяя геометрию, Степа должен до пункта 20, написанного мелким шрифтом (см. «Геометрия 6», с. 48).

— Это не обязательно, — подумал он. Но из любопытства посмотрел на рисунок, а затем научал прочел.

«2. Любое сохраняющее рассмотрение обрабажение плоской фигуры Ф на лежащую в той же плоскости фигуру Ф₁ можно выполнить при помощи перемещения, то есть при помощи отображения все плоскости на себя, сохраняющего рассмотрения».

— Отображение фигуры Ф на фигуру Ф₁, сохраняющее рассмотрения… — размышлял Степа. — Но ведь это означает, что Ф ≃ Ф₁! Точно, вот в п. 14 определение конструктивных фигуры! Но тогда прочитанное много свойство можно пересказать так: если Ф ≃ Ф₁, то существует перемещение, при котором Ф отображается на Ф₁?! И в этом перемещении можно построить, верятоно, образ любой фигуры? Интересно. Возьму-ка я в качестве Ф треугольник ABC (рис. 7), в качестве Ф₁ — треугольник A₁B₁C₁. Конгрузные они? Вроде, да. Так. Значит, существует перемещение, отображающее треугольник ABC на треугольник A₁B₁C₁. Теперь нарисую еще полуплоскость с границей BC, не содержащую треугольник ABC. И еще квадрат DEFG. Куда же они отображаются? Чтобы это найти, надо… надо знать, что это за перемещение. Но что же это за перемещение? Освая симметрия?… Нет. Поворот? Паралельный перенос? Какется, тоже нет.

Степа задумался. Он долго ломал голову, пока, наконец, не произнес.

— А может, это и не нужно знать? Достаточно знать, что перемещение, и все? Ведь можно же воспользоваться свойством перемещения вообще! При перемещении полуплоскость отображается на полуплоскость, прямая — на прямую. У меня (BC)→

Рис. 7.

→ $(B_1C_1)$ . Но полуплоскостей с границей $(B_1C_1)$ две. На котором отображится «синяя» полуплоскость?.. Синяя полуплоскость не содержит точку $A$ … Значит, ее образ не должен содержать точку $A_1$ !

И Степа, сияя от догадки, закрасил искому полуплоскость красным цветом.

— Победа! Но еще неполная. А как постройть образ квадрата?.. Квадрат не лежит в «синенькой» полуплоскости, значит, его образ не будет лежать в «красной» полуплоскости… Но как же его постройить? Что я могу? Могу постройть образы точки $K$ и $L$ — эти образы будут лежать на отрезках $A_1B_1$ и $A_1C_1$ , причем на том же расстоянии от точки $A_1$ , что точки $K$ и $L$ — от точки $A$ . Затем могут проверсти прямую $K_1L_1$ и на ней с помощью циркуля найти точки $D_1$ и $G_1$ … циркуля… Сторп. Так уже делала Таня. Она одним циркулем строила образы новых точек по образам уже известных. может, и здесь засечь точку $D$ из точек $A$ и $B$ и перевести эти размеры на образы точек? Если я проведу окружности с центрами в точках $A_1$ и $B_1$ радиусов $|AD|$ и $|BD|$ , то они пересекутся в двух точках. Одна из них $D_1$ . Какая же именно? Ага, точка $D$ вне треугольника $ABC$ , значит $D_1$ — вне треугольника $A_1B_1C_1$ . А можно еще сделать засечку из точки $C_1$ , тогда все будет совсем ясно. И Степа тут же постройл квадрат $D_1E_1F_1G_1$ .

— Ну вот, еще одно открытие! До чего же хороший инструмент —

Рис. 8.

Рис. 9.

циркуль! — облегченно вздохнул наш герой, и стал придумывать новые задачи.

Задание 4. В некоторых перемещениях треугольник $ABC$ отображался на треугольник $A_1B_1C_1$ .

а) Постройте фигуру, на которой оно