Повороты и пересечения многогранников

45

Повороты и пересечения многогранников

Школьная программа удаляет большое внимание геометрическим преобразованиям и, в частности, поворoty фигур. На заседанных математическом кружка мы рассматривали «нестандартные» задачи, когда поворчивают не плоскую фигуру, а пространственную. В таких задачах нужно хорошо представлять себе, как расположятся фигуры в пространстве после поворота, поэтому без геометрического воображения наметь путь решения трудно. А развить это воображение можно практикой. Думаем, что предложенные задачи помогут читателям в этом.

Задача 1. Куб с ребром а повернули на 90° вокруг прямой, соединяющей двех параллельных ребер, не принадлежих одной грани куба. Найти объем общей части исходного и повернутого кубов.

Наметим путь решения. Пусть $M$ и $N$ — середины двух параллельных и не принадлежих одной грани ребри.

Рис. 1.

Бер куба (рис. 1). Разрежем куб диагональной плоскостью, перпендикулярной отрезку $MN$. Получим две признамы. После поворота общая часть каждой призмы и ее образа будет состоять из прямогоного параллелепида, основанием которого является квадрат со сторонай $a$, и правильной четырехугольной парамиды с этим же основанием и вершиной в точке $M$ или $N$ (рис. 2), поэтому искомый объем $V$ общей части кубов равен удвоенной сумме общим параллелепидам и призмы. Найди длину высоты $AA_1$ параллелепида

$$|AA_1| = |EA_1| = a \sqrt{2}/2 - a/2 = a(\sqrt{2} - 1)/2$$

и высоту призмы

$$|MN|/2 - |AA_1| = a/2,$$

получаем:

$$V = 2 \left( \frac{a^3 (\sqrt{2} - 1)}{2} + a^2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{3} \right) = a^3 \left( \sqrt{2} - \frac{2}{3} \right).$$

Задача 2. Две диагонали двух кубов с ребром а лежат на одной прямой. Вершина второго куба совпадает с центром первого и второй кубов вовернум вокруг диагона на 60 по отношению к первому. Найти объем общей части этих кубов.

Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — данный куб, и второй куб получается из него параллельным переносом, переводшим вершину $B$ в середину $O$ диаго-

46

Рис. 3.

нали $BD_1$, и поворотом вокруг оси $BD_1$ на 60° (рис. 3). Можно сначала произвести поворот, а потом переносить. После поворота точка $B_1$ оказывается в плоскости $BA_1D_1$ (доказите это самостояльно), поэтому легко найти, что после переноса отрезок $OB_1$ (образ отрезка $BB_1$) пересечет отрезок $A_1D_1$ в точке $L$ такой, что $|LD_1| = 3a/4$. Общая часть кубов будет составлять из двух треугольных парами $D_1KLM$ и $OKLM$, боковые ребра каждой из которых попарно образуют прямые углы, а длины этих ребер равны $3a/4$. Отсюда получаем ответ:

$$V = 2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left( \frac{3}{4} a \right)^3 = \frac{9a^3}{64}.$$

Задание 3. Доказать, что если правильный метраэдр поверхности на 90° вокруг прямой, соединяющей середины любых двух его скрещивающих ребер, а затем получивший метраэдр поверхности на 90° вокруг прямой, соединяющий середины двух любых его скрещивающих ребер, по последний метраэдр совпадаем с исходным.

Если через каждое ребро правильного метраэдра проведится плоскость, параллельную противоположному ребру, то эти плоскости ограничат куб (рис. 4). Соединия отрезками «через одну» вершины куба, мы снова получим метраэдр — исходный (на рисунке красный) или еще один (синний). Нетрудно убедиться, что при поворотах, описанных в задание, красный метраэдр переходит в синний, а синний — в красный. Поэтому после двух поворотов метраэдр перейдет в себя.

Уражнения

1. Правильная треугольная парамида состоитороной основания $a$ поверхности в боку на угол 60°. Определить объем объей части исходной и поверхности парамид, если боковые грани парамид — прямоугольные треугольники.

2. Два куба с ребром $a$ получают один из другого поверхности на 60° вокруг поверхности диагонали. Найти объем их объей части.

3. Два одинаковых правильных метраэдра с ребром $a$ имеют общую высоту, а вершина каждой из них лежит в центре основания другого. Основание второго метраэдра поверхности на 60° по отношению к основанию первого. Найти объем их объей части.

4. Два одинаковых правильных метраэдра с ребром $a$ имеют общий отрезок, соединяющий поверхности двух противоположных ребер, но один метраэдр поверхности на 90° по отношению к другому. Найти объем их объей части.

Страмы подdomовлена математическая кругком 71 шкoles

им. Н. Островского

(e. Киев, старосма С. Ефименко)