Ленинградская олимпиада средних профтехучилищ

74

Ленинградская олимпиада средних профтехучилищ

Подготовка квалифицированного поленения рабочого класса привела к созданию учебного заведения нового типа — среднего профессионального технического училища (ПТУ). Особенно большое развитие средние ПТУ получили в г. Ленинграде, где сейчас в ПТУ учится ребят больше, чем в старших классах средних школ. Вместе с рабочей специализированной учащення ПТУ за три года получот полоценное среднее образование. Перед ними открыты все пути. Многие выпускники ПТУ продолжают свое образование на вечерних и дневных отделениях взовов.

Среди учащения ПТУ много таких, которые любят математку и физку. Для них созданы кружки и юношеские школьки, читаются лекции, проводятся олимпиады. Большую помощь ПТУ оказывает Ленинградский университет. Буквально все преподаватели и студенты математико-механического факультета ЛГУ — инциаторы оказания шефской помощи ПТУ — участвуют в этом плодотворном деле. При активном содержании деканата оборудованы счетными машинами учебные кабинеты ПТУ-24. Профессора факультета читают лекции будущим токарям и слесарям, руководят математическими и астрономическими кругжами.

При активном содержании факультета в этом году была проведена третья физико-математическая олимпиада учащения ПТУ г. Ленинграда и области. В ней принято учащие около 75 тысяч учащихся из 136 ПТУ. В заключительном type, который прошел в стенах Ленинградского университета, участвовал около 900 человек. Среди победителей олимпиады — будущее слесари и токари, строители и шоферы. Жюри олимпиады, в котором вошли профессора, преподаватели и студенты университета, с радостью отметило интерес к математике и физике, который проводил участики олимпиады. Из победителей олимпиады впервые была составлена команда в составе 3-х членов, которая приняла участие в заключительном type XI Всегоозной олимпиады школьников по математике. Команда учащихся ПТУ приведела с этой олимпиады Похвальные отзывы первою и второй степени.

К сожалению, олимпиады учащихся ПТУ проводятся пока только в Ленинграде. Было бы чрезвычайно полезно, чтобы проведение олимпиад у учащихся ПТУ стало такой же традицией, как проведение Всегоозных олимпиад школьников.

Ниже мы приводим тексты задач по математике Ленинградской олимпиады средних профтехучилищ.

1 курс

1. Сколько действительных корней имеет уравнение
   $$x^3 - 3x = \sqrt{5}$$

2. Даны две скрещивающие прямые a и b. Через всяку ли точку пространства можно проведити прямую, пересекающую прямые a и b?

3. Через точку M с координатами (0; 1) проведена прямая, пересекающая парабoly y = x² в точках A и B. Доказать, что произведение расстояний от точки A и B до оси ordinат равно единице.

4. Дано 25 чисел. Сумма любых четырех из них положительна. Доказать, что сумма всех чисел положительна.

II курс

1. Найти область значений функции
   $$y = \sin^6 x + \cos^6 x$$

2. В треугольной парамиде ABCD отмечен们 точки: K — середина AD, M — середина AC, P — середина BD, T — середина BC. Проведены плоскости APТ и BKM, которые расскажли парамиду на четыре части. Найти объем той из этих частей, которая примыкает к ребру AB, если объем всей парамиды равен V.

3. Доказать, что четыре точки пересечения парабол
   $$y = x^2 + x - 40,$$
   $$x = y^2 + y - 41$$

лежат на одной окружности.

4. Дано 51 число. Произведение всех этих чисел, а также произведение любых четырех из них, положительное. Доказать, что каждое число положительное.

III курс

1. Найти наименьшее значение функции
   $$y = \sin^{100} x + \cos^{100} x$$

2. Даны две скрещивающие прямые. Какое множество образуют середины всех отрезков, концы которых лежат на данных прямых?

3. Дан квадратный треугольен f(x) = x² + px + q. Доказать, что хотя бы один из трех чисел f(0), f(1), f(-1) по модулю не меняше положины.

4. Несолько городов попарно соединены дорогами. Из каждого города вышло по одному путику, направившемся в самый близкий для него город. Доказать, что если городов нечетно, то в какой-то из них ничего не придет. (Считать, что расстояния между городами попарно различны.)