Наблюдения в математике

Квант 1978, №4 с. 40-41 Тег J8Q9

Ф. Барменев

Свойства чисел, известные сегодня, по большей части были открыты путем наблюдения.

Леонард Эйлер

Как обычно исследуются законы природы?

Физики, химики, биология ставят эксперименты. Затем исследуют получающие результаты измерений, подмечают закономерности, делают те или иные выводы.

Как ни удивительно, но и учены-математики в своей научном творчестве зачастую пользоваются наблюдениями, как и естественными. Что бы глубоко понятно даже «школьную» математике, решать развитие замысловные задачи, нужно научиться наблюдать в математике.

Вот один интересный факт из истории науки. Выдающийся математик К. Гауссу и А. Колмогорову в детстве предложили аналогичные задачи: десятилетнему Гауссу — найти сумму 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100, а шестилетнему Колмогорову — сумму 1 + 3 + 5 + … + 95 + 97. Гаусс решил свою задачу почти мгновенно, заметив, что 1 + 99 = 2 + 98 = 3 + 97 = … Колмогоров, посчитав суммы 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, заметил, что 1 = 1², 1 + 3 = 2², 1 + 3 + 5 = 3², 1 + 3 + 5 + 7 = 4², и также быстро нашел ответ.

А как решить такую задачу:

Найти две последние цифры числа 311²²?

Не вычислять же в самом деле 28-ю степень числа 311? Конечно, нет! Достаточно заметить, что две последние цифры числа 311¹ — это 11, числа 311² — 21, 311³ — 31, …; так что у числа 311²² две последние цифры — это 81.

Рассмотрим еще одну похожую задачу:

Какими двумя цифрами оказаться число 7⁵¹?

Найдем вначале две последние цифры у чисел 7¹, 7², 7³, 7⁴ и 7⁵. Легко видеть, что у 7¹ всего одна цифра — 7; запишем это так: 07; у 7² — 49, у 7³ — 43 (две последние цифры произведения 49 на 7), у 7⁴ — 01, так что у 7⁵ две последние цифры — снова 07. Мы видим, что две последние цифры степеней семерки черезются, образуя так называемую перiodическую последовательность с периодом 4: 07, 49, 43, 01, 07, 49, 43, 01, 07, 49, …

Остается только найти остаток от деления числа 51 на 4 — он равен

трем, и посмотреть, какими двумя цифрами оказается куб семерки: у чисел $7^{51}$ и $7^3$ две последние цифры совпадают. Итак, вот ответ: две последние цифры числа $7^{51}$ — это 43.

Решим еще одну задачу, отличную от предыдуших.

Для каких чисел справедливо неравенство:
$|a| + |b| > |a + b|$

Рассмотрим несколько примеров. Для этого заполним несколько строк следующей таблицы:

| a | b | |a|+|b| | |a+b| |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| -3 | 2 | 5 | 1 | | | |
| -7 | -1 | 8 | 8 | | | |
| 0 | -4 | 4 | 4 | | | |
| 4 | 0 | 4 | 4 | | | |
| 2 | 3 | 5 | 5 | | | |
| 7 | -1 | 8 | 6 | | | |

Глядя на эту таблицу, уже не трудно догадаться, каков должен быть ответ в последней задаче: сумма абсцилтовых величины двух чисел больше абсцилной величины суммы этих чисел только тогда, когда она эти числа отличаются от нуля и имеют разные значения.

Конечно же, всякая «догадка», гипотеза, нуждается в строгом математическом доказательстве. Это мы оставляем нашим читателем.

Если вы разобрались в решении первых трех задач, попробуйте решить самостояльно еще три задачи немного последнее.

Задание 1.

Какими цифрами не могут оказаться суммы $1+2$ , $1+2+3$ , $1+2+3+4$ , $1+2+3+4+...$ ?
По кругу расположены 60 положительных и отрицательных единиц (причем есть и те и другие). Известно, что произведение любых трех последовательных чисел равно -1. Найди сумму всех чисел.
Сколько потребуется разрезов, чтобы куб со стороны 3 см разрезать на кубики со стороны 1 см?

В заключение предоставляем читатель от скоропалительных выводов из результатов наблюдай. Чтобы доказать какое-либо утверждение, нужно убедиться, что оно справедливо в каждой части слияния; в то же время, чтобы проверить какое-либо утверждение, достаточно показать, что оно не справедливо хотя бы в одном частном случае (как говорят математики, приведи контриптор). Поясним, что мы имеем в виду.

Рассмотрим множество чисел вида $m = n^2 + 3n + 1$ , где $n$ — любое натуральное число. Для значений $n = 1, 2, 3, 4$ и 5 получаем $m = 5, 11, 19, 29$ и 41, то есть первые пять значений $m$ — простые числа. Можно ли сделать вывод, что любой элемент нашего множества будет простым числом (для любого натурального $n$ )? Разумеется, нет: уже при $n = 6$ получаем составное значение $m = 55$ .

Задание 2.
4. Пусть $A$ — множество чисел вида $6n-1$ , а $P$ — множество простых чисел. Верно или ложно высказывание: $A \subset P$ , если $n \in N$ ?

Верно ли, что при любом целом $n$ справедливо неравенство $4n^2 + 40n + 99 > 0$ ?

Иногда найти контриптер, определяющий общее утверждение, очень трудно. Бывают, что легче доказать суцестовование соответствующего контриптера, чем его построить.

Например, очевидно, что если 100 школьников получили 101 террады, причем каждый школьник получил хотя бы одну терраду, то найдется школьник, получивший две терради.

Прием рассудений, с помощью которого мы сделали вывод в последнем примере, называется «приицном Дирихле» и часто применяется к решению задачи. Решим с его помощью следующего задачу:

Доказать, что из 101 числа можно выбрать два, разность которых делится на 100.

В самом деле, при делении на 100 в остатке может получаться одно из следующих чисел: 0, 1, 2, …, 99 — это разных чисел. Поэтому 101 числа обязательно найдется два, дающие при делении на 100 равные остатки. Следовательно, их разность делится на 100.

И, наконец, еще одна задача на принципи Дирихле.

Задание 6. В лесу растет 710 000 елочки. На каждой елочке не больше 100 000 елочки. Докажите, что в лесу есть по крайней мере 8 елочки с одинаковым числом елочки.