Касательная

18

В. Василов, И. Мельников

Касательная

«Я не знаю, кем я представляюсь мир, но самому себе я представляюсь малчиком, который церает на берегу моря и время от времени находит камень, более гладкий, или раковину, более красивую, чем обычно, в то время как огромный океан истинный лесит перед много неозначный».

Исак Ньюотон

В «Геометрии 7» касательная к окружности определяется как прямая, имеющая с кривой лишь одну общую точку. Это определяние имеет частный характер и не вскрывает существа дела. Если попытаться применить его к параболе $y=x^2$, то в начале координат обе координатные оси подошли бы под это определение; между тем интуитивно ясно, что на самом деле касательной должна быть назван лишь ось абсцисс.

Мы даим сейчас определение касательной к графику функции. координаты точки касания $M_0=(x_0; y_0)$ считаются заданным: $x=x_0$, $y=y_0=f(x_0)$. Расмотрим, кроме точки $M_0$, еще одну точку $M=(x; y)$ на нашей кривой и проведем прямую $(M_0M)$ — секущую. Когда точка $M$ будет перемещаться по кривой, секущая, естественно, будет менять свое положение. Если точка $M$ стремится к точке $M_0$, может служиться так, что секущая будет стремиться занять некоторое положение положение, не зависящее от того, как точка $M$ приближается к точке $M_0$ (рис. 1). Это предельное положение секущей (если, конечно, оно существует) и есть касательная. Итак, касательной к кривой $y=f(x)$ в точке $M_0=(x_0; f(x_0))$ называется предельное положение *) секущей $(M_0M)$, когда точка $M$ стремится по кривой к $M_0$.

Подчеркием еще раз: в нашем определении касательной содержится допущение о том, что предельное положение секущей сущетует; не каждая функция $y=f(x)$ обладает касательной в любой точке своего графика. На рисунке 2, а, б показаны графики функций, которые не имеют касательной в отмещенных точках, так как, если уже предельное положение секущей сущетует, оно должно не зависять от того, «слева» или «справа» точка $M$ стремится к точке $M_0$. Отметим, что данное нами определение касательной не требует того, чтобы касательная и кривая имели только одну общую точку.

*) Под предельным положением секущей (ее уравнение будет $y-f(x_0)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}(x-x_0)$) следует понимать прямую $y-f(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}(x-x_0)$.

20

ное рассуждение с нитью для левого конца дуги $AB$ и объединяя вместе полученные результаты, мы построим диаграмму касательных, соответствующее дуге $AB$ (рис. 7).

Если дуга кривой не всюду выпукла в одну сторону, если она, подобно кривой $AB$ на рисунке 8, имеет точку, в которой касательная к кривой переходит с одной ее стороны на другую (такая точка называется точкой перешiba), то в этом случае ее можно разбитить этой точкой на две выпуклы дуги. Если теперь для каждой из этих дуг построить соответствующее им диаграммы касательных, а затем «наложить» одну картинику на другую (см. рисунки 7, 9 и итоговый рисунок 10), то мы получим диаграмму касательных для всей дуги.

Задание:

Для функции $y=f(x)$ построите диаграмму касательных ее графика.

Функцию $f$ для выполнения данного задания математического практики можно взять из приведенной таблицы.

Построив диаграммы для всех функций этой таблицы (всем классом или силами участников кружка), вы получите полный атлас диаграммы касательных для функций вида $y = \frac{a_1x^2 + b_1x + c_1}{a_2x^2 + b_2x + c_2}$).

Образец выполнения работы дан на рисунке 11. Для обоснования построенной на рисунке 11 диаграммы касательных нам, конечно, нужно доказать, что касательная к графику функции $f$ в точке $A$ (точке перешiba) не пересекает участок графика функции $f$ при $x \in ]1,3[$.

*) Пример диаграммы касательных для функций другого типа изображен на первой странице обложки и на рисунке 12, эскиз которого предложила ученица 9 класса ФМШ при МГУ Конченко Лариса.