Задачи наших читателей

34

ки сферы не проходит для конуса. Доказите, что нельзя развернуть параболюд — поверхности, полученную при врашении параболы около ее оси. (Обратите внимание: прежде, чем поверхности разворчивать, ее можно разрезать.)

3. Приведите примеры последовательности функций $f_n(x)$ ($x \in [0, 1]$), графиками которых является былились бы ломанные длины $l_n$, причем $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0$ для всех $x \in [0, 1]$,
   и в то же время
   a) $\lim_{n \to \infty} l_n = c$, где $c$ — любое заданное число, не меньше 1;
   b) последовательность $\{l_n\}$ неограничена;
   b) последовательность $\{l_n\}$ ограничена, но не имеет предела.
4. Доказите, что в примере Шварца можно так подобрать последовательность $\{k_n\}$, что последовательность плошедей $\{S(n, k_n)\}$
   a) сходится к любому заданному числу из промежутка $[2\pi RH, \infty]$;
   b) ограничена, но не имеет предела.
5. Предлагается следующий способ вычисления площади поверхности сферы. Разобъем сферу «экватором» на две полусфери и расстоянием одну из них. Поделим экватор на $n$ конгузительных частей точками $A_1, A_2, \dots, A_n$ и соединим их с «полосом» $P$ «мериданами». Тепер представим себе, что правильный $n$-угольник $A_1 \dots A_n$ поднимается над экваторальной плоскостью, оставясь ей параллельным и скимяясь к точке $P$ так, что его вершины все время лежат на дугах $A_iP$. Его контур при этом заметает некоторую куполобразную поверхности $\Pi_n$ (рис. 5). Ясно, что поверхности $\Pi_n$ при больших $n$ оцень близка к полусфере; более того, нетрудно доказать (попробуйте), что ее площадь при $n \to \infty$ стремится к площади полусфери. Разогнут dobлки $A_iA_{i+1}P$, мы получим $n$ треугольников с одинаковыми основаниями, сумма длины которых равна перimeter $p_n n$-угольника $A_1 \dots A_n$, и высотами $h_n$. Поскольку, очевидно, $\lim_{n \to \infty} p_n = 2\pi R$, где $R$ — радиус сферы, а $\lim_{n \to \infty} h_n = \frac{1}{2}\pi R$, то предел площадей поверхности $\Pi_n$ равен $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} p_n h_n = \frac{1}{2}\pi^2 R^2$. Следовательно, площадь сферы равна $\pi^2 R^2$. Где ошибка?

Задание
наших
читателей

1. Куб с ребром 1 мы разбит на конечное число (большее трех) выпуклых многогранников. Каждый многогранник отмещен одной из цифр: 1, 2, 3. Доказите, что найдется две точки различных многогранников, помещенных одной цифрой, расстояние между которых не менее $\sqrt{2 \cdot \frac{1}{64}}$ м. Можно ли услить эту оценку?
   B. Макеев (ученик 10 кл.)

2. Доказите, что уравнение $x^2 - 2xy = 1978$ не имеет решений в целых числах.
   C. Майзус

3. Из картона вырезали равновобочную трапеццию, у которой угол между диагонали равен ф. К каким вершинам близке ее центр тяжестями — к вершинам меньше основания или больше его?
   C. Берколайко

4. Король находится на нижнем крайнем левом черном поле шахматной доски. Он может перемещаться только по диагонали. Какое наиболее число полей он может обойти, если на каждом поле он может побивать не более одного раза? Расмотите случан, когда размер шахматного поля 1) $9 \times 9$; 2) $(2n-1) \times (2n-1)$; 3) $8 \times 8$; 4) $2n \times 2n$. Ф. Бартеен

5. Вычислите
   $$\sum_{n=1}^{k} \frac{2^n}{a^{2n-1}}.$$
   C. Манукян

6. Две точки $A$ и $B$ движутся так, что их скорости все время сопправлены и скорость точки $B$ меньше скорости точки $A$. Можно ли расстояние $AB$ между точками оставаться постоянным?

7. Когда два разных акмулятора соединены и замкнуты на лампочку, лампочка горела слабо. Когда в ту же цепь последовательно с каждой акмулятором включили неокторое сопротивление, лампочка стала гореть ярче. Почему?
   B. Козан

8. Бревно длиной $l$ и массой $m$ поднимают из горизонтального положения в вертикальное однорисальное дольте конец, а другой раз — за тонкий. Разница всовершаемых работах составляет $A$. Определите положение центра тяжестей бревна.
   B. Никитин