Напряжённость, напряжение, потенциал

38

Напряжение, потенциал

Каждая точка электрического поля характеризуется векторной величины — напряженноностью поля. Напряжение $\vec{E}$ поля в данной точке равна силе, действующей на положительный пробный заряд, помещенный в эту точку, и относительной единице заряда. Это — силовая характеристика электрического поля.

При перемещении электрического заряд в поле совершается работа. Электростатическое поле обладает очень важным свойством — потенциалность: работа по перемещению заряд из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории. Это позволяет вестисти понятие напряжения (или разности потенциалов). Напряжение $U$ между двумя точками поля *) равно работе, совершаемой электрическим полем по перемещению единицей положительного заряд из одной точки в другую.

В отличие от напряженности, определяющий в отдельно взятой точке, напряжение характеризует две точки поля. Если зафиксировать одну точку, выбрав ее за начало отсечета, то любая точка поля будет иметь определенное напряжение по отношению к выбранной точке. Это на

*) Под словами «поле», «электрическое поле» здесь и в дальнейшем мы будем понимать электростатическое поле, то есть поле, созданное неподвижными зарядами.

пряжение называют поменцialом ф. Очевидно, что началу отсечета соответствует нулевой потенциал. Чаще всего нулевой потенциал приписывается точке, бесконечно удаленной от заряда, созданного поле. В этом случае потенциал ф неокоторий точки поля равен работе, совершаемой электрическим полем по перемещению единицей положительного заряд из этой точки в бесконечность. Это — энергетическая характеристика электрического поля.

Иногда задаваться в каждой точке скалярную величины — потенциал ф — удобнее, чем векторную величины — напряженность $\vec{E}$. Естественно, что эти две величины должны быть связанны друг с другом.

Рассмотрим вначале однородное электрическое поле. Его напряжение $\vec{E}$ одинакова во всех точках; силовые, линей также поля — паралельные прямые (рис. 1). Найдем разность потенциалов между точками $B$ и $D$. Потенциал $\varphi_B$ точки $B$ равен работе по перемещению единицей заряд из этой точки в бесконечность. Форма траектории при подсчете работы не имеет значения, поэтому будем перемещать заряд сначала по отрезку $BC$, потом по отрезку $CD$, а затем из точки $D$ в бесконечность. Сила, действующая на единицу заряда со стороны электрического поля, равна напряжности. На отрезке $BC$ работа этой силы равна $El$, где $E$ — проекция вектора напряжности на силовой линии, а $l$ — длина отрезка $BC$. На отрезке $CD$ сила работы не совершает, так как она перепедикулярна перемещению. Наконец, работа по перемещению единицей заряд из точки $D$ в.beсконечность равна потенциалу $\varphi_D$. Поэтому: $\varphi_B = El + \varphi_D$, или для разности потенциалов:

$$\varphi_B - \varphi_D = El.$$ (1)

Для того чтобы формула (1) давала правильный знак разности потенциалов, величины $l$ надо приписать определенный знак в зависимости от расположения точки $B$ и $C$ на силовой линии. Будем считать, что $l$ — это проекция вектора $BD$ на направление силовой линии. Тогда

39

знак положитель, если точка $C$ лежит «ниже» по силовой линии, чем точка $B$, и отрицатель в противоположном случае. Для случая, изображенного на рисунке 1, $l > 0$, и разность потенциальов $\varphi_B - \varphi_D > 0$, что соответствует убыванию потенциальы вдоль силовой линии ($\varphi_D < \varphi_B$).

Итак, в однородном электрическом поле между направлением и разностью потенциальов имеет простая связь, даваемая формулой (1).

Какова связь между потенциальом и направлением в случае неоднородного электрического поля? В таком поле направность $\vec{E}$ меняется от точки $k$ точки. Пусть, для простоты расчёжения, изменение направления проинсходит только в одном направлении, которое примет заось $OX$ (рис. 2). Тогда направность поля $\vec{E}$ зависит только от координаты $x : \vec{E} = \vec{E}(x)$. Ясно, что в небольших участках пространства направляется мало, и электрическое поле там можно приближенно считать однородным. Возьмем близкие точки $B$ и $D$ и найдем разность потенциаль между ними. Воспользуемся формулой (1). Потенциаль так же, как и направность, зависит только от координаты $x^*$: $\varphi_B - \varphi_D =$

*) Поскольку $x$ совпст эквивпотенциальна, так как при перемещении единицы заряда в этой плоскости электрическое поле работает не совершает.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

$= \varphi(x_B) - \varphi(x_D)$. Проекция вектора $\vec{BD}$ на ось $OX$ равна разности координат точки $D$ и $B$: $l = x_D - x_B$. Таким образом, для близких точки $B$ и $D$ получаем:

$$\varphi(x_B) - \varphi(x_D) \approx E(x_B) \times (x_D - x_B),$$

или

$$E(x_B) \approx -\frac{\varphi(x_D) - \varphi(x_B)}{x_D - x_B}.$$

Чтобы формула (2) стала точной, надо устремить точку $B$ к точке $D$ и найти предел, к которой стремится правая часть при неограниченном сбижении точек:

$$E(x_B) = -\lim_{x_D \to x_B} \frac{\varphi(x_D) - \varphi(x_B)}{x_D - x_B}.$$

Легко увидеть, что правая часть формулы (3) — это произвольная потенциальа, взятая с обратным знаком. Таким образом, в неоднородном электрическом поле связ между потенциальом и направлением в каждой точке следующая:

$$E(x) = -\varphi'(x).$$

Знак минус в формуле (4) означает, что потенциальу убывает вдоль силовой линии: поскольку проекция направления на силового линии $E(x) > 0$, $\varphi'(x) < 0$, что и означает убывание потенциальа.

Если направить график зависимости $\varphi$ от $x$, то тангенс угла наклона $\alpha$ касательной к графику в каждой его точке равен произвольной $\varphi'(x)$ в этой точке (рис. 3). Поэтому можно сказать, что направенно электрического поля определяет наклон касательной к графику потенциальа.

Рассмотрим теперь несколько конкретичных задач.

Задание 1. Сфера радиуса $R$ имеет заряд $Q$. Найти зависимость

40

напряженности и помещила от расстояния r от центра сферы. Нарисовать графики.

Найдем вначале направность поля. Внутри сферы электрического поля нет: при $r < R$ $E = 0$. Вне сферы направность поля такая же, как у точного заряда Q, помещенного в центр сферы: при $r > R$ проекция направности на выбранное направление от центра $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$, где $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная. На поверхности сферы, при $r = R$, электрическое поле испытывает скалок $\Delta E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{R^2}$. Зависимость $E$ от $r$ графиски показана на рисунке 4, а.

Величину скалка $\Delta E$ можно выразить через поверхностную плотность заряда $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$ (равную заряду, приходящему на единицу площади поверхности сферы):

$$\Delta E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{R^2} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}.$$

Заметим, что это общее свойство электристического поля: на заряженной поверхности его проекция на направление нормали всегда испытывает скалок $\Delta E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$, независимо от формы поверхности.

Выясним теперь, как меняется потенциаль $\varphi$ в зависимости от $r$. Мы уже знаем, что в любой точке тангенс угла наклона касательной к графику потенциаль должен совпадать со значением проекции направности (взятой с противоположным знаком). При $0 < r < R$ $E = 0$, и, следовательно, во всех этих точках касательная к графику потенциаль должна быть горизонтальной. Это означает, что на участке $0 < r < R$ потенциаль не меняется: $\varphi = const$.

Вне сферы, при $r > R$, производная $\varphi'(r) = -E(r)$ отрицательна и величина ее убивает с расстоянием $r$. Поэтому и потенциаль должен убивать с расстоянием, стремясь к нулю при $r \to \infty$. Действительно, чем дальше расположена точка, в котором мы ищем потенциаль, тем меньше работы над совершением единицы заряда из этой точки в бесконечность. Величина потенциаль $\varphi$ при $r > R$ также как у точного заряда, помещенного в центр сферы:

$$\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r}.$$

Может ли потенциаль испытывать скалок на поверхности сферы, то есть при $r = R$? Очевидно, что нет. Скалок потенциаль ознакомлен бы, что при перемещении единичного заряда между двумя очевидными точками 1 и 2 электрическое поле совершило бы конечную работу: $\varphi_1 - \varphi_2 = E(R) \times (r_2 - r_1)$ должно оставаться конечным при $(r_2 - r_1) \to 0$, что невозможно. Таким образом, потенциаль не испытывает скалков.

График зависимости $\varphi$ от $r$ изображен на рисунке 4, б.

Задание 2. Шар радиуса R равномерно заряжен по всему объему. Полный заряд шара Q. Нарисуйте графики зависимости на поверхности r от центра шара.

Такой шар можно представить себе состоящим из большого числа тонких заряженных сфера, волженных одна в другую. Каждая сфера внутри себя поля не создается, а вне создается поле такое же, как точный заряд, помещенный в ее центр. Поэтому вне шара, при $r > R$, направность такая же, как направность поля точного заряда Q, помещенного в центр шара:

$$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}.$$

Рис. 4.

41

Внутри шара, на расстоянии $r < R$, поле создают только сферы с радиусами от 0 до $r$ (для сферы большого радиуса рассматриваемой точка нахождения внутри них). Следовательно, направление на расстоянии $r$ от центра шара также же, как направление поля точного заряда $Q_r$, помещенного в центр шара, где $Q_r$ — суммарный заряд всех сфeres радиусами от 0 до $r$, то есть заряд шара радиуса $r$. Если на шар радиуса $R$ приходится заряд $Q$, то на шар радиуса $r$ будет приходиться заряд $Q_r = Q \frac{r^3}{R^3}$. Таким образом, внутри шара направление поля $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{R^3} r$ — она линейно расстоянием.

На поверхности шара, в точке $r = R$, направление скачка не испытывает. Это находится в соответствии с общим правилом, так как поверхности плоскость заряда в данной случае равна нулю: шар заряжен однородно, и на бесконечно тонкий поверхности слой приходится бесконечно малый заряд.

График зависимости $E$ от $r$ показан на рисунке 5, а.

Нарисуем теперь график потенциала. Производная от потенциала $\varphi'(r) = -E(r)$ всегда отрицательна ($E \ge 0$). Поэтому с увеличением $r$ потенциал должен монотно убивать. В точке $r = 0$ производная потенциала равна нулю. Следовательно, касательная к графику в этой точке горизонтальная: в точке $r = 0$ потенциал имеет максимум. В точке $r = R$ ни потенциал, ни его производная скачков не испытывают. Первое следует из общего правила для потенциала, о втором мы уже говорили выше. Поэтому кривые, изображющие зависимости потенциала от расстояния при $r < R$ и $r > R$, в точке $r = R$ должны сопрягаться — гладко без излома переходить одна в другую. При $r \to \infty$ потенциал $\varphi \to 0$. График зависимости $\varphi$ от $r$ представлен на рисунке 5, б.

Задание 3. Две плоскости расположены параллельно другу на расстоянии $d$ и заряжены с поверхностной плотностью заряда $\sigma_1$ и $\sigma_2$ соответственно. Нарисовать графики зависимости наряженности поля и помещила от координаты $x$ (ось ОХ перпендикулярна площина). Расстояние случан однозименных (рис. 6, а) и разименных (рис. 7, а) зарядов на площинах.

Каждая плоскость создает по обе стороны от себя однородное электрическое поле, направление которой $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$. Воспользовавшись принципом суперпозицини, для случая одноменных зарядов приходим к графику, показанному на рисунке 6, б, а для разименных — к графику на рисунке 7, б. Скачки наряженности опять соответствуют общему правилу:

$$\Delta E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}.$$

Соответствующие графики для потенциальов показаны на рисунках 6, в и 7, в. На отдельных участках зависимости потенциаль от координаты — линейная, так как направность поля постоянна. Изломы проискают в тех местах, где наряженность поля испытывает скачок.

Заметим, что в данной потенциаль не стремится к нулю при $x \to \infty$. Это, очевидно, связано с тем, что плоскость бесконечна. В действительности размеры реальных пластин всегда ограничены; это приводит к тому, что потенциаль падает с увеличением расстояния от пластин.

Задание 4. Две одинаковые параллельные площины имеют заряды $+q$ и $-q$. Как меняется разность

42

поменциальов U между пластинами при увеличении расстояния d между ними? Нарисуйте график зависимости U от d.

Пока расстояние между пластинами значительное меньше их размеров, такую систему можно считать плоским конденсатором. Тогда U = $\frac{q}{C} = \frac{q}{\varepsilon_0 S}$ — направление линейного расстояния (начальный участок на рисунке 8). Это соответствует тому, что направление поля E = $\frac{U}{d}$ = const.

Как только расстояние между пластинами становится сравнимым с размерами пластин, электрическое поле появляется и вне пространства между пластинами. Тогда становятся существенные так называемые краевые эффекты, и зависимости потенциальа от расстояния — довольно сложная. Однако качественно ясно, что, вследствие ослабления поля в области между пластинами, направление будет растити медленнее, чем по линейному закону (средний участок на рисунке 8). При дальнейшем увеличении расстояния между пластинами оно становится много больше их размеров. Тогда каждую пластину уже можно считать изолированным телом, и ее потенциаль $\varphi = \frac{q}{C_0}$, где $C_0$ — емкость удиненной пластины. Таким образом, при очень больших расстояниях размещаются потенциальов перестает зависять от расстояния между пластинами (график зависимости U от d на рисунке 8 имеет горизонтальную асимптоту).

Краевые эффекты часто оказываются существенными при решении электростатических задач, связанных с законом сохранения энергии. Расстояние, например, такой вариантускорителя электронов:

Задча 5. В пластинах плоского конденсатора, заряженного до

43

Оказывается, такой ускоритель работы не будет — не учтен краевой эффектив. Вне конденсатора всегда существует слабое электрическое поле, которое тормозит электрон при его движении по окружности. Отрицательная работа поля при этом в точности равна положительной работе при разгоне электрана в конденсаторе: работа в электростатическом поле не зависит от формы траектории. Магнитное поле работы не совершает (сила Лоренца перpendикулярна скорости движения электрана). Поэтому полная работа всех сил, действующих на электрон, при его возврашении в начальное точку будет равна нулю, и кинетическая энергия электрана не изменится. Ускоритель работы не будет.

Упражнения

1. Может ли существовать электростатическое поле, у которого сильные линии — параллельные прямы, а абсолотная величина направленное меняется только в направлении, перpendикулярном силовым линиям (рис. 10)?

2. Две концентрические металлические сферы радиусов $R_1$ и $R_2$ имеют заряды $Q_1$ и $Q_2$ соответственно. Найдите направленность и потенциаль электрического поля на произвольном расстоянии $r$ от центра сфера. Нарисуйте графики зависимости $E$ от $r$ и $\varphi$ от $r$. Рассмотрите случай одноменных и разноменных зарядов. Как выглядят графики для случая $Q_1 = -Q_2$ (сферическая конденсатор)?

3. Точчный заряд $q$ окружен металлической сферы радиуса $R$ с зарядом $Q$. Найдите направленность поля и потенциаль на произвольном расстоянии $r$ от заряда $q$, если он находится в центре сферы; нарисуйте графики зависимости $E$ от $r$ и $\varphi$ от $r$. Как изменяется графики, если заряд сместить из центра сферы? Решите ту же задачу для случая, когда металлическая сфера замещена.

4. Электрон влетает в пространство между пластинами плоского конденсатора так, что его скорость составляет острый угол с направлением силовых линий. Тогда при движении в конденсаторе он будет тормозится и вылетит с меньшей скоростью; его кинетическая энергия уменьшится. Увеличится ли при этом энергия конденсатора?

5. Два одинаковых конденсатора емкостью $C$ каждый, один из которых заряжен до направления $U$, а второй — не заряжен, соединяют параллельно. Найти энергию системы до и после соединения конденсатора. Почему эти энергии не равны?

6. Точчный заряд $q$ находится вне незаряженной металлической сферы радиуса $R$ на расстоянии $d$ от ее центра. Найти потенциаль сферы.