Задача о трёх кувшинах

29

Задача о трех кувшинах

Предлагаемая статья является открытым из книг амерikanских математиков Г. С. М. Коксетера и С. Л. Грейтцера «Новые встречи с геометрией», русский перевод которого в блияйшее время будет опубликован в серии «Библиотека математического кружка» издательством «Наука». Материал подготовлен к печати Л. Савиной.

Сейчас мы рассмотрим применение геометрии к решению задач, в которых требуется разделить жидкость на определенные порции с помощью инструментов, казалось бы, непредидельных для этого. Для решения нам понадобятся так называемые трилинейные координаты, которые мы сейчас и опишем.

Объчно для нанесения точек с заданныхми декартовыми координатами пользовются миллиметровой бумаги. Для наших целей лучше использовать трилинейрованную бумагу, т. е. бумагу, на которой проведены три системы параллельных линей, разбиающие ее на маленькие равносторонние треугольники. Нарисуем на такой бумаге большой равносторонний треугольник ABC со стороными, проходящими по линям сетки. Для произвольной точки P в этой плоскости определяем числа x, y, z как расстояния от этой точки до прямых BC, CA и AB соответственно, причем для каждой из этих прямых расстояние будет положительным, если точка лежит по ту же сторону от этой прямой, что и треугольник ABC, и отпечатным в противном случае. Полученную точку чисел (x, y, z) будем называть трилинейными координатами мочи P относимально треугольника ABC. Заметим, что для точек, лежащих в кородинаты для описания ситуации, в которой участвует три переменные величины, имеющие постоянную сумму. Если одна из этих величины x, y или z остается постоянной, а две другие изменения, то точка (x, y, z) движется по прямой, параллельной одной из сторон треугольника ABC. В частности, прямые, на которых лежат кородинаты BC, CA и AB, описываются уравнениями

$$x = 0, y = 0, z = 0,$$

а вершины A, B, C имеют координаты (h, 0, 0), (0, h, 0), (0, 0, h).

Именно такая ситуация возникнет в том случае, когда h литров жидкости разлито по тем сосудам: в первом x литров, во втором y литров и в третьем — z литров. Постепенно переливанию жидкости из второго сосуда в третьий соответствует движение точки с трилинейными координатами (x, y, z) относительно треугольника ABC с высотой, равной h, по прямой x=сопst в направлении, соответствующем уменшению y и увеличению z. Если каждый сосуд может вместе h литров (такую ситуацию мы будем обозначать символом [h; h, h, h]), то каждая из координат x, y, z может принимать любое значение от 0 до h, и множество точек, в которых можно попасть, как-мо переливая жидкость из одного сосуда в другой — это множество мы назовем областью операции — задается неравенствами.

$$0 \leq x \leq h, 0 \leq y \leq h, 0 \leq z \leq h,$$

30

и совпадает со всем треугольником ABC.

Гораздо больший интерес представляет случай [h; a, b, c]. Здесь три данных сосуда имеют емкости a, b, c и h≥a>b>c. Поставим за дачу: нужно отмерить определенную величины d литров жидкости, множество переливая ее из одного сосуда в другой; при этом разрезается molько либо полностью опоржimb один сосуд, либо до краев наполним другой (а возможно, произойдет мои другие одновременное). Область операций теперь задается неравенствами

$$0 \leq x \leq a, \ 0 \leq y \leq b, \ 0 \leq z \leq c,$$

которые, как правило, определяют правильный или неправильный шестиугольник, ограниченный шестью прямыми

$$x = 0, \ x = a, \ y = 0, \ y = b, \ z = 0, \ z = c.$$

Но в частиных случаях эта область может превращаться в пятнуюугольник, трапецю, параллелограмм или (как мы уже видели) охватывает весь равносторонний треугольник.

Будем считать, что числа a, b, c, h и d — целые.

На рисунках 1 и 2 проиллюстрирована ситuation [8; 7, 6, 3]: 8 литров жидкости неокоторым образом разлиты в сосуды емкости 7, 6 и 3 литров. Здесь область операций является шестиугольник $0 \leq x \leq 7, \ 0 \leq y \leq 6, \ 0 \leq z \leq 3$, ограниченный прямыми $x = 7, \ z = 0, \ y = 6, \ x = 0, \ z = 3, \ y = 0$. Прилинейные координаты вершин шестиугольника (отно-

сительно равностороннего треугольника с высотой 8) — (7, 1, 0), (2, 6, 0), (0, 6, 2), (0, 5, 3), (5, 0, 3), (7, 0, 1). Допустим что в первом сосуд находится 3 литра жидкости, во втором — тоже 3; тогда в третьем сосуд — 2 литра жидкости. Такому распределению жидкости соответствует точка с координатами (3, 3, 2). ШестЬ направленной, исходящих из этой точки, указывают на шесть возможных операций по переливинию. направление от точки (3, 3, 2) к точке (5, 3, 0) соответствует процессу опустошения треугольника сосуда: содержащаяся в нем жидкость переливается в первый сосуд; противоположному же направлению — от точки (3, 3, 2) к точке (2, 3, 3) — процесс наполнения треугольника сосуда: он долженся жидкость из первого. направление от точки (3, 3, 2) к точке (0, 6, 2) соответствует процессу опустошения первого сосуда, содержимое которого переливается во второй сосуд; при этом второй сосуд полностью заполняется, и т. д.

Допустим, что нам нужно отмерить 4 литра жидкости (то есть получить 4 литра хотя бы в одном из сосудов). Прежде всего заметим, что при первом же разрезаенном переливании жидкости мы от внутренней точки области операций (в нашем случае — от точки (3, 3, 2)) переходим к ее граничной точке — таковый условия. Например, красная ломана на рисунке 2 задает один из возможных способов перехода от точ-

31

ки (3, 3, 2) к точке (4, 4, 0) (и, таким образом, деления восьми литров на две равные порции). Легко видеть, что звенья ломаной всегда параллельны сторонам треугольника ABC, причем ломана «поворачивает» только тогда, когда попадает на границу области. Если теперь, не ставя перед собой задачи об отмеривания четырех литров, проведится из точки (3, 3, 2) всевозможные ломаны (so звеньями, параллельными сторонам треугольника ABC, и с концами на границе нашей шестиугольной области), то рано или поздно мы pobываем во всех граничных точках нашего шестиугольника. То же справедливо для любой целой точки данной области операций (как внутренней, так и граничной). Значит, каково бы ни было распределение восьми литров жидкости по сосудам для случая [8; 7, 6, 3], «доливанением» и «опорожнением» сосудов можно отмерить любое число литров жидкости (меншее восьми).

На рисунке 3 проиллюстрирован случай [10; 8, 7, 6]: 10 литров жидкости разлить по сосудам, вместецшим 8, 7 и 6 литров. Область операций здесь снова шестиугольник. В этом случае для любого распределения десяти литров по сосудам легко отмерить $d=1, 2, 3, 4, 6, 7, 8$ и 9 литров жидкости. Но если с самого начала ни в одном из сосудов не содержится пяты литров жидости, то мы эти 5 литров никаку путь, прохождения через точки (0, 5, 5), (5, 0, 5) и (5, 5, 0), замкнут, и на него нельзя попасть ни с какого другого пути. Вообще, если $h=2d \geq a > b > c > d$, то в ситуации [h; a, b, c] опустошением и допливением сосудов $d$ литров жидкости нельзя отмерить, как бы эти $h$ литров ни были распределены по сосудам, если только ни в одном из сосудов первогоначального не было $d$ литров.

Рассмотрим еще случай [10; 8, 6, 4] — четное число литров жидкости разлить по сосудам с четыыми емкостями (рис. 4). Здесь область операций — пятуугольник. Из рисунка 4 видно, что если первоначально в каждой из сосудов было по четному числу литров, то есть исходная точка — с четыыми координатами (например, (6, 2, 2)), то мы никогда не сможем отмерить нечетное число литров жидости.

Нанболее известны задания, соответствующие случай [h; a, b, c], где $h=a=2d=b+c$. В этом случае область операции — паралллограмм с вершинами (a, 0, 0), (c, b, 0), (0, b, c), (b, 0, c). На рисунках 5 и 6 показаны два решения задания, соответствующие случай [8; 8, 5, 3] с исходным распределением жидкости (8, 0, 0); требуется отмерить 4 литра жидкости. Иными словами, два человека, имея сосуд, наполненный восемь литрами какой-то жидкости, и два пустых сосуда, емкостью 5 литров и 3 литра, хотя разделить эти 8 литров жидости поровну.

Первое, что нужно сделать — это наполнить либо сосуд емкостью 5 литров, как на рисунке 5, либо сосуд емкостью 3 литра, как на рисунке 6.

Рис. 3.

Рис. 4.