Московский институт инженеров землеустройства

55

3. Бригада лесорубов должна по плану заготовить за несколько дней 216 м³ древесины. Первые три дня бригада выполняя ежедневно установленный планом норму, а затем каждый день заготовляла 8 м³ сверхплана, поэтому за день до срока было заготовлено 232 м³ древесины. Какова ежедневная норма бригады по плану?

4. При каких α и β вектор $a = (3; -1; \alpha)$ ortogonalен вектор $b = (2; \beta; 1)$, если $|b| = 3$?

5. В шар радиуса $R = 3$ см вписан цилиндр наиболее объема. Найти объем этого цилиндра.

Вариант 2

1. Доказать точность

$$\frac{1 - 2\sin^2\alpha}{2\mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)\cdot\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)} = 1.$$

2. Решить систему уравнений

$$\begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 144, \\ \log_{\sqrt{2}}(y - x) = 2. \end{cases}$$

3. Поезд выходит из города $A$ и через 10 час. 40 мин. приходит в город $B$. Если бы поезд проходил в час на 10 км меньше, то прибил бы в $B$ на 2 час. 8 мин. позже. Определить расстояние между городами и скорость поезда.

4. Найти предел выражения

$$\lim_{x \to 2} \frac{x - \sqrt{3x - 2}}{x^2 - 4}.$$

5. Сумма длини диагоналей параллелограмма равна 8 см. Найти минимум суммы квадратов длини всех сторон параллелограмма.

Физика

1. За пятую секунду равномерноускореного движения тела проходит 45 м. Расчитать скорость тела в конце пятой секунды и пройденный путь за пять секунды, если начальная скорость тела равна нулю.

2. При какой скорости поезда мятник длиной $l = 11$ см, подвешенный в вагоне, особенно сильно раскачивается, если длина рельсов $L = 12,5$ м?

3. Какое количество воды может испариться в помещении размером $10 \times 8 \times 4,5$ м, если температура воздуха 22°C, а относительная влажность 70%? Плотность насыщенных водных паров при 22°C $\rho_H = 1,94 \times 10^{-2}$ кг/м³.

4. Альфа-частица движения в циклотрене по кругу радиусом $r = 1$ м со скоростью $|\vec{v}| = 20,000$ km/c. Какова должа быть индекция магнитного поля, чтобы удержать частицу на окружности? Масса альфа-частицы $m = 6,5 \cdot 10^{-27}$ кг, заряд $q = 3,2 \times 10^{-19}$ Кл.

Л. Милованава

Московский институт инженеров землёстройства

Подробно о факультетах и специальности инженеров землёстройства в «Кванте», 1977, № 7.

Matematika

1. Исследовать на максимум и минимум функции

$$y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1.$$

2. Решить неравенство

$$\frac{x - 2}{x^2 + 1} < -\frac{1}{2}.$$

3. Решить уравнение

$$\lg \sqrt[3]{3^{x^2 - 8x}} = 0.$$

4. Найти sin ($\alpha + \beta$), если sin $\alpha = -\frac{5}{13}$, $\alpha \in ]\frac{3\pi}{2}$; $2\pi [$, cos $\beta = -\frac{3}{5}$, $\beta \in ]\pi; \frac{3\pi}{2}[$.

5. Зная большое основание равноведренной трапеции $a$, ее высоту $h$ и угол $\alpha$ при основании, найти площадь трапеции.

Физика

1. Автомобиль массой $m = 2,0$ т поднимается в гору с уклоном 0,20. На участке пути $s = 32$ м скорость автоматического возросла от $|\vec{v}_1| = 21,6$ km/ч до $|\vec{v}_2| = 36$ km/ч. Считая движение автоматического равновесным, определить силу тягги дивигателя. Козффициент сопротивления движения приять равным $k = 0,020$.

2. Снаряд массой $m = 40$ кг, летевший в горизонтальном направлении со скоростью $|\vec{v}| = 600$ м/c, разрывается на две части с массами $m_1 = 30$ кг и $m_2 = 10$ кг. Больше часть стала дивгаться в прежнем направлении со скоростью $|\vec{v}_1| = 900$ м/c. Определить величины и направление скорости меньшей части снаружи.

3. На сколько градусов сечением $S = 6$ мм², чтобы она прияла ту же длину, что и под действием растягивающего усилия $|\vec{F}| = 508$ Н? (Справочные таблицы прилагатся.).

4. Электрон, обладающий скоростью $|\vec{v}| = 1,8 \cdot 10^4$ м/c, влагает в однородное электрическое поле с напряженной $|\vec{E}| = 0,0030$ Н/Kл и движется против силовых линей. С каким ускорением будет движется электрон и какова будет его скорость, когда он пройдет расстояние $s = 7,1$ см? Сколько времени потребуется для достижения этой скорости? На сколько изменится при этом энергия электрон (масса электрон $m = 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг, его заряд $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл)?

5. Два шарик массой $m = 1,5$ г каждой, подвешенные в вакууме в одной точке на