5
ного фокуса большие, чем бесконечного, то кривая — эллипс; если же степень удаленого в бесконечность фокуса большие, то кривая — гипербола. Очевидно, первый сулучай соответствует отражению параллельных лучей в фокус, когда при отражении от поверхности скорость света не изменяется; второй сулучай — это преломление параллельных лучей в фокус тела, оптически более плотного, чем окружающей пространство; третьий — это преломление параллельного лучка в оптически менее плотную среду.
Декарт описал свои овалы в «Геометрии», предложив также способ их построения, но только в частином случае, и его метод оказался менее простым, чем метод мистера Максвелла. Иллюстрация оптических свойств овалов быладана Ньюотоном с помощью синусов и Гюйгенсом (в его «Трактate о свете»). Но вряд ли кто подозревал, что существует такой легкий и изящный способ построения овалов с помощью булавок и нити в любом случае, когда порядки фокусов созмерены. Например, на рисунке 2
Кривая с фокусами второго и третьего порядка задает форму сечения поверхности тела из стека с коэффициентом преломления 1,5, подходящую для того, чтобы лучи, испущенные из точки f, собрались в точке F.
Что же касается сложных кривых с треем и более фокусами, то мы не в состоянии на сегодящий день дать им четкую физическую интерпретацию, но такой метод построения кривых, удовлетворяющих уравнению
в силу своей простоты представляется самостояльный интерес. И если, следуя мистеру Максвеллу, считать овалы Декарта предельным случаем овальных кривых со многими фокусами, то мы имеем дальнейшее обобщение того же сорта, как у Монтиокла *, предлагавшего рассматривать конечное сечение как частный сулучай овалов Декарта.
*) Жан-Этъен Монтюкла — французский ученый XVIII века, механик, автор многоотомной «Истории точных наук».
Построим овал
Для тех, кого заинтересовала работа Дж. Максвелла (с. 3), мы здесь приводим несколько геометрических задач на построение овалов различных цертежными средствами. Для выполнения цертежей, кроме карандаша, циркуля и линейки, вам потребуетсяровная доска, булавки или тонкие гвоздики, суровая нитка и тонкий длиной металлической прутик (можно прямой кусок жесткой проволоки) со свободно скользывающим по нему колечком. А для решения задач — смекалка! (Впрочем, нетерпельные любители черчения могут подглядеть решения на с. 63.)
Для разминки начните с повторения конструкций Максвелла: прикрепите конопками лист чертежной бумаги к доске, воткините в него две булавки, обмотайте нитку так, как показано на рисунке 2 на с. 4, и проведите овал Декарта первого рода типа m:n = 2:3. (Если у вас нитка будет сокальзывать с карандаша, рекомендуем на его кончике проделать круговую лунку, по которой нитка сокальзывать не выскакивать.)
Задча 1. Укажите способ построения точек лежащих на овале Декарта первого рода, с помощью только циркуля и линейки. Проверьте его экспериментально, построив несколько точек на направлении Максвелла овале Декарта типа 2:3.
Задча 2. Укажите способ вычерчивания профиля плосковыпуклой линзы (см. рис.) толщины d (по оси), фокусирующей точечный источник A (расположенный по оси на расстоянии l₁ от выпуклой поверхности) в точку B (на расстоянии l₂ от плоской поверхности), если коэффициент преломления материала, из которого сделана линза, равен 1,5 или 2. (Здесь, кроме нитки и булавок, вам приготовится стержень с колечком!)
А. Митрофанов