Задачи М596—М600; Ф608—Ф612

20

Задачи

М596—М600; Ф608—Ф612

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки ньюшеней школьной программы. Наноблее трудные задчи отмеются звездочкой. После формирования задчи мы обчено указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задчи публикуются впервые. Решения задач из этого номера можно отправлять не позднее 1 февраля 1980 года по адресу: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Квант». В графе «Кому» написите: «Задачик «Кванта» № 12—79» и номера задач, решения которых вы посылаете, например «М596, М597» или «Ф607». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присваивают в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результат проверки решения). Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации (или цикла задач), присвайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конвертеометьте: «Задачик «Кванта», новая задча по физике» или «… новая задча по математике»). В начале каждой письма просим указываать вашем, фамилию, номер школьи и класс, в котором вы учитесь.

М596. Дана пятнуюльная признама с основаниями $A_1A_2A_3A_4A_5$ и $B_1B_2B_3B_4B_5$. Все ребра оснований и все отрезки $A_iB_j(i, j=1, 2, 3, 4, 5)$ окрашены либо в красный, либо в зеленьй цвет так, что в каждом треугольнике вершинами в вершинах признамы, стороны которого окрашены, есть две стороны разного цвета. Докажите, что все десять ребер оснований окрашены одинаково.

XXI Международная олимпiad по математике, 1979 г.

М597. Положим
$$x_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}.$$
a) Докажите существование предела
$$\gamma = \lim_{n \to \infty} (x_n - \ln n).$$
b) Докажите, что для любых $n$, $m \in N$
$$\gamma < x_n + x_m - x_{nm} \subseteq 1.$$
b) Найдите $\gamma$ с точностью до 0,1.

В. Ясинский

М598. Даны плоскость $P$, точка $P$ на этой плоскости и точка $Q$ вне плоскости $P$. Найдите все точки $n$ в плоскости $P$, для которых отношение $(|QP| + |PR|)/|QR|$ максимально.

XXI Международная олимпiad по математике, 1979 г.

М599. a) Сколькими нулями оканчивается число $4^{56} + 6^{54}$?
b) Указите наиболее наиболее интересный число
$$1978^{1979}1980 + 1980^{1979}1978.$$
П. Гусятиков

М600. Два величины едут по двум пересекающимся окружностям. Каждый едет по своей окружности с постоянной скоростью. Выехав одновременно из одной из точек их пересечения и сделав по одному обороту, величины вновь встретились в этой точке. Докажите, что на плоскости, в которой лежат окружности, существует такая неподвижная точка, расстояния от которой до величины встретились все время одинаковы, если они едут:
a) в одном направлении (против часовой стрелки);
b) в разных направлениях.

Н. Васильев, И. Шарьен

$^*) a^{bc}$ означает $a^{(bc)}$

21

Ф608. Космический корабль массой $M=12$ т движется вокруг Луны по круговой орбите на высоте $h=100$ km. Для перехода на орбиту приложения на короткое время включается реактивный двигаель. Скорость вылеташих из солла ракеты газов $u=10^4$ м/c. Радиус Луны $R_\perp=1,7 \cdot 10^3$ km,ускорение свободного падения у поверхности Луны $g_\perp=1,7$ м/c$^2$.

1. Какое количество топлива необходимо израсходовать для того, чтобы при включении тормозного двигаеля в точке $A$ траектори корабля он опустился на Луну в точке $B$ (рис. 1)?

2. Во втором варианте приложения кораблю в точке $A$ сообщается импульс в направлении на центр Луны, чтобы перевести корабль на орбиту, касающийся Луны в точке $C$ (рис. 2). Какое количество топлива необходимо израсходовать в этом случае?

X1 Международная олимпиада по физике, 1979 г.

Ф609. Деталь, изготовления из алюминия, взвешивается на аналитических весах с помощью латунных гирь. При одном взвешивании воздутири весов сухой, при другом — влажный, давление водяных паров в котором равно $p_B=15,2$ мм рт. ст. Внешнее давление ($p=760$ мм рт. ст.) и температура ($t=20^\circ\text{C}$) воздуха в обонх случах одинаковы.

При какой массе детали можно заметить разница в показаниях весов, если их чувствуетность $m_0=0,1$ мг? Плотность алюминия $\rho_1=2,7$ г/cм$^3$, латуни $\rho_2=8,5$ г/cм$^3$

X1 Международная олимпиада по физике, 1979 г.

Ф610. В советско-французском эксперименте по оптической локации Луны импульсное излучение рубинового лазера на длине волны $\lambda=0,69$ мкм направляясь с помощью телекскола с диаметром зеркала $D=2,6$ м на лунную поверхность. На Луне был установлен отражатель, который работал как идеальное зеркало диаметра $d=20$ см, отражающей свет точно в обратном направлении. Отраженный свет улавливается тем же телекскопом и фокусировался на фотоприемник.

1. С какой точностью должен быть установлен оптическая ось телекскола в этом эксперименте?

2. Пренебрегая потерями света в атмосфере Земли и в телекопе, оценить, какая доля световоэнергии лазера будет после отражения от Луны зарегистирована фотоприемником.

3. Можно ли отраженный световой импульс зарегистировать невооруженным глазом, если пороговочую чувствуетность глаза принять равной $n=100$ световых квантов, а энергия, излучаемая лазером в течение импульса, равна $E=1$ Дж?

4. Оценить выигрыш, который дает применение отражателя. Считать, что поверхность Луны рассеивает $\alpha=10\%$ падающего света равномерно в телесный угол 2π стер.