XXI Международная математическая олимпиада школьников

53

XXI Международная математическая олимпиада, проходившая с 28 июня по 9 июля 1978 года в Великобритании, была одной из самых представительных олимпиад. В ней приняли участие команды 22 стран: Австралии, Бельгии, Болгарии, Бразилии, Великобритании, Венгрии, Вьетнама, ГДР, Греция, Израния, Кубы, Нидерландов, Польщи, Румыния, СССР, США, Финляндия, Франция, ФРГ, Чехословакии, Швеции и Югославии. В команде Бельгии был дополнительный участник от Люксембурга. В качестве наблюдаемого приступоввал представитель Австралии.

По традиции команда каждой страны состояла из 8 школьников и 2 руководителей. Исключение составили команды Бразилии — 5 школьников, Вьетнама и Кубы — по 4 школьника. В команде СССР вошли победители Всесоюзной математической олимпиады: десятиклассики Мурман Амброладзе (ФМШ им. Комарова, Тбилиси), Алексадр Деттярев и Илья Захаревич (оба из школь-интерната при ЛГУ), Игорь Лысенок, Андрей Ляховец, Сергей Хлебутин (все из школь-интерната при МГУ), Михаил Рудковский (школа-интернат при КГУ) и девятиклассик из Москвы Алексадр Разборов (школа № 2).

Поездке представовал месяцный тринировочный сбор на базе экспериментальной школы АПН СССР в поселке Черноголовка Московской области. Поскольку состав команды был определен заранее (в команду вошли все 6 школьников, получивших на Всесоюзной олимпиаде первые premii по 10 классам, а также школьник, получивший premii по 9 классам, и школьник, получивший premii по 10 классам), сбор носил лишь тринировочный характер, что избавило его участников от лишних воленений, связанных с дальнейшим отбором команды. На сборе изучались вопросы как теоретического, так и практического характера, в частности разбиались задачи предыдущих олимпиад. По традиции на сборах проводилась весма содержательная культурино-воспитательная работа и интересные спортивные соревнования.

Еще до приезда школьников в Великобритании, 28 июня в г. Брисстоле жюри олимпиады, состоящее из научных руководителей команда, начало работы по отбору задач. До 1 июля жюри отбрало 6 задач для совершенствования числа задач, присланных странами-участницами олимпиады. Задания, сформированные вначале на официальных языках олимпиады: русском, немецком, французском и английском, затем были переведены на языки стран-участниц олимпиады, с тем чтобы каждой школьник писал работу на родном языке.

Школьники вместе с педагогическими руководителями приближали в Лондон 30 июня. Команды размешались в общежитиях Вестфильдокледа Лондонского университета. В аудиториях этого же коллекция 2 и 3 июля проходили и сами совершенствовали. В каждой из этих двух участникам предлагалось по 3 задачи.

Публикуем условия задачи (в конце каждой задачи указывается страна, предложившая задачу, и количество очков за ее полное решение).

Первый день

1. Пусть $p$ и $q$ — натуральные числа такие, что
   $$\frac{p}{q} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots - \frac{1}{1318} + \frac{1}{1319}.$$

54

Доказать, что число $p$ делится на 1979. (ФРГ, 6 очков).

2. Дана пятугольная призма с основанием $A_1A_2A_3A_4A_5$ и $B_1B_2B_3B_4B_5$. Все ребра оснований и все отрезки $A_iB_j$ ($i, j = 1, 2, 3, 4, 5$) окрашены либо в красный, либо в зеленьй цвет так, что в каждом треугольнике с вершинами в вершинах призмы, все стороны которого окрашены, есть две стороны разного цвета. Доказать, что все десять ребер оснований окрашены одинаково. (Болгария, 7 очков).

3. На плоскости даны две пересекающие окружности $C_1$ и $C_2$. Пусть точка $A$ — одна из точек их пересечения. Из точки $A$ по окружности $C_1$ и $C_2$ соответственно одновременно начнают двигаться точки $M_1$ и $M_2$. Точки движутся с постоянными скоростями в одном и том же направлении. После одного оборота обе точки одновременно возврашаются в точку $A$.

Доказать, что на плоскости существует неподвижная точка $P$ такая, что расстояния от точки $P$ до точки $M_1$ и $M_2$ равны в течение всего времени движения. (ССCP, 7 очков).

Второй день

4. Дана плоскость $\pi$, точка $P$ на этой плоскости и точка $Q$ в нее плоскости $\pi$. Найти все точки $R$ в плоскости $\pi$, для которых отношение $(|QP| + |PR|)/|QR|$ максимальное. (США, 6 очков).

5. Найти все вещественные числа $a$, для которых существуют вещественные неотрицательные числа $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$, удовлетворяющие соответствующим

$$\sum_{k=1}^{5} kx_k = a, \sum_{k=1}^{5} k^3x_k = a^2, \sum_{k=1}^{5} k^5x_k = a^3.$$

(Израиль, 7 очков).

6. Пусть $A$ и $E$ — две противоположные вершины правильно восbmнуюника. В вершине $A$ находится кенгуру. Из любой вершины восbmнуюника, кроме вершины $E$, кенгуру может прыгнуть в любую из двух соседних вершин. Попав в вершину $E$, кенгуру останавливается и остается там. Пусть $a_n$ — количество способов, которые кенгуру может прыгнуть из вершины $A$ в вершину $E$ровно за $n$ прыжков. Доказать, что

$$a_{2n-1} = 0, \quad a_{2n} = \frac{1}{\sqrt{2}} (x^{n-1} - y^{n-1}), \quad n = 1, 2, 3, \dots,$$

где $x = 2 + \sqrt{2}, y = 2 - \sqrt{2}$.

(Способом попадания из вершины $A$ в вершину $E$ за $n$ прыжков называется последовательность вершин $(P_0, \dots, P_n)$, удовлетворяющей следующим условиям:

1. $P_0 = A$,
2. $P_n = E$,
3. для любого $i, 0 \leq i \leq n-1, P_i \neq E$,
4. для любого $i, 0 \leq i \leq n-1, P_i + P_{i+1} =$ соседние вершины многоугольника.) (ФРГ, 7 очков).

В каждый из дней на решение предложенных задач давалось по 4 часа.

4, 5 и 6 июля проходила проверка работ и координация оценок за работы. Проверку работ проводили руководители команда, а окончательная оценка выступлялась совместно с координатами — англійскими математиками. Школьники в это время знакомплисс с достопримечательности Лондона.

После подведения итогов оказалось, что команда СССР набрала в сумме 267 очков и заняла первое место. На втором месте — команда Румынии (240 очков), на третьем — команда ФРГ (235 очков), на четвертом — Великобритания (218 очков), на пятом — США (199 очков).

В личном перевенстве четверо участников набрали полное количество очков: А. Разборов и И. Захаревич (ССCP), а также по одному участнику от команда Вветнама и Чехословакии. Они и участники, набравшие более чем по 36 очков, всего 8 человек, получили первые премии. Вторыми премиями был нагружен 21 участник — те, кто набрал от 29 до 36 очков, в том числе 4 участника команда СССР: И. Лысенок и М. Рудковский (по 36 очков), С. Хлебутин (35 очков) и А. Ляховец (34 очка). Третьими премиями были нагружены участники олимпиды, набравшие от 20 до 28 очков, в том числе А. Деттярев (27 очков); М. Амброладзе набрали 19 очков.

Следует отметить, что среди лучших десяти работ четые были написаны советскими школьниками.

Аналіз результатов команды СССР по заданным показывает, что наша командаров выступила по всем заданным, набрав от 73 до 100 процентов от возможного количества очков по отдельным задачам.

После закрытия олимпиды ее участники двух дней были гостями Оксфордского университета. Они знакомплисс с многочисленными коллекциями этого университета, одного из старейших в Англійи, а также выезжали на экскурсию в Стратефорд — на родину В. Шекспира. Поздно вечером 9 июля команда СССР вылетела на Родину.