Планеты движутся по эллипсам

13

Я. Смородинский

Планеты
движутся
по эллипсам

«Каждая планета обращается вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце».
Этот закон приоды был открыт Кеплером в XVI веке. Как «первый закон Кеплера» он вошел во все учебники, стал привчным и «само собой разумениюся». И для нас нет ничего странного в поведении планеты.

А ведь на самом деле этот факт удивительен. Почему по эллипсу? Конецно, по какой-то кривой планета должна двигаться. Но почему она движется по замкнутой кривой? Почему планета, сделав полный оборот вокруг Солнца, возвращается в ту же точку? Как она эту точку запоминает? Почему движение планеты в поле тяжестей Солнца оказывается периодически? Это свойство весына

необычно. Если бы сила притяжения планеты к Солнцу не была обратно пропорциональная квадрату расстояния, а изменялась бы, например, по закону $1/r^3$ или даже $1/r^2,^{01}$, то орбита планеты не была бы замкнутой.

Отсюда, между прочим, следует, что в Солнечной системе планеты, вообще говоря, не могут движаться по эллипсу. Прияжение других планет, и особенно такого гигаента, как Юпитер, должно как-то сказаться на движении планеты. И оно сказывается: сделав полный оборот вокруг Солнца, планета не возвращается точно на старое место, а «просакивает» его. Именено этим объясняется смение перигеля Меркурия в направлении его движения примерно на 1,2″ за один оборот (на 5″ за земной год). (К счастью, Кеплер об этом не знал — его наблюдения Марса, для которого он строил свою теорию, был недостаочно точны, чтобы заметить столб маленькую «прецессию».)

Нелегко было Кеплеру в XVI веке освободиться от старого убеждания, что небесные тела — самые «идеальные» тела в нашем мире — должны и двигаться по самым идеальным кривым, то есть по окружностям. Дa-

14

Же Коперник, отбросивший представление о покоящейся Земле и приписавший ей такое же круговое движение, какое совершают другие планеты, не смог отказывать от идеальных кривых и использовал для точного описания движения планет системы каташихся окружностей.

Но ни Коперник, ни его предшественники не проволили тщательного сравнения своих моделей с наблюдаемыми. А небольшие расхождения их не смущали. Только Кеплер поставил перед собой деревку по тому времени задачу: описать движение планет точно, не примяясь ни с какими расхождениями наблюдаемей с теорией. Решить такую задачу ему помогло сотрудничество с датским астроνομом Тихо Браге, который, из дня в день наблюдая в течение почти 25 лет положение планет, собрал необычайно полный по тому времени материал *).

Кеплер задумался о том, почему планеты искривляют свой путь вокруг Солнца. Оногдаался, что Солнце действует на планеты, несмотря на то, что планеты находятся на больших расстояниях от него. Но установить правильную зависимость силы этого действия на расстоянии Кеплер не смог — он думал, что эта сила обратно пропорциональна расстоянию. О вывода формулы орбиты Кеплер не мог даже подумать — у него не было уравнения движения.

Только спустя более чем полвека Ньюотон в своей замечательной книге «Начала натуральной физистичной» (так тогда назвали физику) показал, как вывести все законы движения планеты из уравнения **). Вывод Ньюотона лежит в основе небесной механики и в наших дни. Только сейчас для

*) Тихо Браге был последним Великим астроνομом, у которого не было телескопа. Все наблюдения он проволил, просто смотря на него и измеря углы с помощью астроологии.

**) Ньюотон решил обратную задачу: какова должа быть зависимость действия на планете силы прятяжения к Солнцу от расстояния между планетой и Солнцем чтобы планета двигалась по эллипсу? Он показал, что должа быть обратно пропорциональна квадрату расстояния.

Рис. 1. $r_1 - r = 2c, r_1 + r = 2a$.

15

Закон сохранения энергии

При движении планеты ее полная энергия $E$ остается постоянной:
$$E = \text{const.}$$

Эта энергия равна сумме кинетической энергии $K = \frac{mv^2}{2}$ и потенциальной энергии планеты в поле силы тягежи Солнца
$$\Pi = -\gamma \frac{mM}{r} = -\frac{\alpha m}{r} \quad (\alpha = \gamma M)^*$$

$(m - \text{masca планеты}, M - \text{masca Солнца}, r - \text{расстояние между ними и } \gamma - \text{гравитационная постоянная}).$ Итак,
$$E = \frac{mv^2}{2} - \frac{\alpha m}{r}. \quad (1)$$

Для удобства вместе постоянной $\Sigma$ введем другую постоянную $v_0$ такую, что
$$E = -\frac{mv_0^2}{2}.$$

Мы поставили в этой формуле знак минус, потому что полная энергия планеты отрицательна, а $v_0^2 > 0$.

Формулу (1) мы теперь можем записать так, что масса «выпадет» из уравнения:
$$-\frac{v_0^2}{2} = \frac{v^2}{2} - \frac{\alpha}{r},$$
или
$$\frac{v^2}{2} + \frac{v_0^2}{2} = \frac{\alpha}{r}. \quad (1')$$

Разделив обе части этого равенства на $v_0^2/2r$, получим
$$\left(\frac{v}{v_0}\right)^2 r + r = \frac{2\alpha}{v_0^2}.$$

Постоянную $2\alpha/v_0^2$ обозначим через $2\alpha$, а отношение $v/v_0 - \text{буквой } u$.

*) Наломним, что потенциальная энергия принимается равной нулю при бесконечном большом $r$. Поэтому в случае сил притяжения потенциальная энергия оказывается отрицательной. По абсолотной величине потенциальная энергия больше кинетической — планета не может «оторвать» от Солнца.

Рис. 2.

Получим простую формулу
$$\sqrt{ru^2 + r} = 2a. \quad (*)$$

В таком виде закон сохранения энергии очень удобен для наших целей.

Мoment импульса

При движении планеты остается постоянной еще одна величины — момент импульса:
$$L = mvr \sin \alpha,$$
где $\alpha$ — угол между радиус-вектором $r$ планеты и вектором $v$ ее скорости (о моменте импульса рассказано в Приложении).

Нам удобнее будет вместе $L$ ввести величину, которая тоже остается постоянной,—
$$L_0 = L/m = rv \sin \alpha.$$

Из рисунка 2 видно, что $v \sin \alpha$ — это проекция вектора $v$ на направление, перpendикулярное радиус-вектор $r$. Это означает, что величины $(v \sin \alpha)/r$ равна угловой скорости $\omega$ планеты в тот момент, когда ее положение определяется радиус-вектором $r$. Таким образом,
$$L_0 = \omega r^2. \quad (2)$$

Уравнение движения

Согласно второму закону Ньютона под действием силы притяжения к Солнцу $F = -\gamma \frac{mM}{r^2}$ планета движется, сускорением
$$w = -\gamma \frac{M}{r^2} = -\frac{a}{r^2}.$$

16

Это уравнение движения планеты правильнее записьать в векторном виде. Чтобы сделать это, введем вектор $n$ такой, что

$$\vec{n} = \frac{\vec{r}}{r}.$$

Эта запись означает, что длина вектора $n$ равна единице, а направлен этот вектор по радиус-веktorу $\vec{r}$. Таким образом, в векторном виде уравнение движения планеты можно записать так:

$$\vec{w} = -\frac{\alpha}{r^2} \vec{n}.$$

(3)

Вектор Лапласа

Теперь мы можем приступить непосредственно к нашей задаче. Попытаемся найти вектор, связанный с орбитой планеты, который при движении планеты остается постоянным и которое мы можем сопоставить вектор $2c$.

При движении по круговой орбите угловая скорость постоянна и векторы $v$ и $n$ все время остаются взаимно перепределкульрями. При движении же по некруговой орбите (например, по эллипсу) угловая скорость изменяется со временем и угол между векторами $v$ и $n$ не остается постоянным.

Найдем, по какому закону изменяется вектор $n$. Для определения будем считать, что движение по орбите проискодит против часовой стрелки.

Пусть за малый промежуток времени $\Delta t$ планета переместилась по орбите из точки $B$ в точку $C$ (рис. 3) так, что радиус-веktor ее $r$ повернулся на угол $\omega \Delta t$ (время $\Delta t$ мало настолько, что угловую скорость $\omega$ можно считать неизменной). Вектор $n$ в результате поворота перейдет в новый вектор $n + \Delta n$, но длина этого нового вектора, разумеется, равна единице. Изменение $\Delta n$ вектора $n$ найти нетрудно: $\Delta n = \omega \Delta t n$, а на

17

Это выражение, очень удобно, можно записать так:

$$\Delta(-L_0 v' - \alpha n) = 0.$$

Но это означает, что вектор

$$\vec{A} = -L_0 v' - \alpha n$$

при движении планеты остается постоянным. Как мы увидим далее, это и есть тот вектор, который мы ищем.

Преобразуем формулу (7). Прежде всего избавимся от вектора $v'$. Сделаем мы это с помощью рисунка 4. Как видно из рисунка,

$$v' = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \vec{v} - \frac{v}{\sin \alpha} \vec{n}.$$

Учитывая, что $\sin \alpha = L_0/rv$, а $\cos \alpha = \frac{r \cdot v}{rv}$, выражение для $v'$ мы можем записать так:

$$v' = \frac{1}{L_0} [(r \cdot v) \vec{v} - v^2 r]$$

(поскольку $rn = r$). Подставляя это $v'$ в формулу (7), получим:

$$\vec{A} = v^2 r - (r \cdot v) v - \alpha r/r.$$

(8) Этот вектор в механике называют вектором Лапласа.

Выражение (8) мы еще преобразуем. Из формулы (1’) для закона сохранения энергии находится:

$$\frac{\alpha}{r} = \frac{v^2 + v_0^2}{2}.$$

Подставим это выражение в (8), разделим обе стороны на $v_0^2/2$, перейдем к новой переменной $u = v/v_0$ и обо-

Рис. 4.

значит вектор $\vec{2A}/v_0^2$ через $\vec{2c}$:

$$\vec{2c} = u^2 r - 2(r \cdot u) u - \vec{r}$$

(здесь $\vec{u} = v/v_0$). Если ввести и еще одно обозначение:

$$\vec{r}_1 = u^2 r - 2(r \cdot u) \vec{u},$$

то последнее равенство записется совсем просто:

$$\vec{r}_1 - \vec{r} = 2\vec{c}$$

(**)

Уравнение эллипса

Если читатель надоели преобразования, то ему будет принято узнать, что задача уже решена. Траектория планеты заключита в двух формулах в рамках: в формуле (*), которое мы получили из закона сохранения энергии,

$$u^2 r + r = 2a$$

и в формуле (***).

Для того чтобы убедиться в этом, вычислим квадрат длины вектора $\vec{r}_1$:

$$\vec{r}_1^2 = u^4 r^2 - 4 u^2(r \cdot u)^2 + 4(r \cdot u)^2 u^2 = u^4 r^2.$$

Отсюда следует, что длина вектора $\vec{r}_1$ равна $u^2 r$, то есть как раз первому члену в равенстве (*).

Теперь это равенство (*) выглядит как уравнение эллипса

$$r_1 + r = 2a.$$

Итак, мы доказали, что три вектора $\vec{r}, \vec{r}_1$ и $2c$ образуют треугольник, сумма двух сторон которого постоянна и равна $2a$. Но это и значит, что геометрическое место концов всевозможных радиус-векторов $r$ (при постоянном векторе $c$) есть эллипс.

Теперь выясняется геометрический смысл введенных постоянных, $a = \alpha/v_0^2$ — это большая полученная эллипса. Она зависит только от полной энергии планеты и не зависит от момента импульса. Вектор $2c$ соединяет два фокуса эллипса. Длина $c$ равна фокусному расстоянию (половине расстояния между фокусами). По-

18

Приложение

Закон, о котором поддет речь, впервые был установлен И. Кеплером. Изучая движение планет вокруг Солнца, Кеплер обнаружил, что площадь, «заметаемая» радиус-вектором планеты в единицу времени, постоянна. Она не зависит от положения планеты на орбите. Обозначим через $r$ радиус-вектор планеты и через $v$ ее скорость в момент времени $t$ (рис. 6). За маленный промежуток времени $\Delta t$ планета совершит перемещение $v \Delta t$. При малых $\Delta t$ площадь сектора эллипса совпадает с площадью треугольника, построенного на векторах $r$ и $v \Delta t$, то есть

$$\Delta S = \frac{1}{2} rv \Delta t \sin \alpha,$$

сторная $v_0$ — это значение скорости планеты в тот момент, когда планета находится на конце малой полуоси. Покажем это. На конце малой полуоси, по определению, длины радиус-векторов $r$ и $r'$ равны. Следовательно, $u^2 = 1$ (так как $r_1 = u^2 r$). Это и означает, что $v = v_0$. Отсюда, в частности, следует, что малая полуось эллипса $b$ равна

$$b = L_0/v_0$$

(это равенство разьясняется рисунок 5).

Итак, подведем итог. Мы показали, что планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Параметры этого эллипса таковы:

большая полуось: $a = \alpha/v_0^2$,
малая полуось: $b = L_0/v_0$,
где $\alpha = \gamma M$ (M — масса Солнца), $L_0$, $v_0$ — константы для данной планеты.

Посленее замечание

Мы получили практические все формылы, которые описывают движение планеты по эллипсу. Все, кроме одной, — мы не знаем, как изменяется во времени положение планеты на орбите. Это — более сложная задача, и мы не станем его запоминается. По крайней мере сейчас.

Рис. 6.

19

Рис. 7.

Таким образом, мы будем считать, что
$$\Delta r = v \Delta t,$$
$$\Delta v = w \Delta t^*).$$

Естественно, что при вычислении изменения площади параллелограмма нас также будет интересовать только скорость изменения площади, а ускорения (величины, пропорциональные $(\Delta t)^2)$ мы будем отбрасывать. Ускорение планеты пропорционально силе $\vec{F}$, действующей на планету. Сила же направлена к Солнцу, т. е. противоположна по направлению радиусвектору. Следовательно, вектор $\Delta v$ параллелен вектору $\vec{r}$. Направлен же он противоположно вектору $\vec{r}$. Телерь нетрудно наиссовать векторы $\Delta r$ и $\Delta v$, затем векторы $r' = r + \Delta r$ и $v' = v + \Delta v$ и построить на них параллелограммы (рис. 7). Площади этих параллелограммов равны соответствию $S_2 = v' r' \sin \beta$, где $\beta$—угол между векторами $v'$ и $r'$, и $S_3 = \Delta r \Delta v \sin \alpha$. Нетрудно показать, что
$$S_2 = S_1 + S_3.$$
Телерь мы заметим, что площадь $S_3$ пропорциональная $\Delta t^2$, так как и $\Delta r$, и $\Delta v$ пропорциональных $\Delta t$. Так как мы условиям величины, пропорциональных $(\Delta t)^2$, пренебрегаются, мы можем выкинуть и площадь $S_3$. Мы получаем нужное нам утверждение
$$S_2 = S_1,$$
т. е. площадь параллелограмма не изменяется со временем.

*) $w$ есть ускорение для вектора $\vec{r}$, но это—скорость изменения скорости $v$.

Наше рассужждение, конечно, не очень строгое, но его можно сделать точным, особенно если уметь дифференцировать.

Вернемся теперь к физике. Если $\Delta t$ мало, то площадь маленького параллелограмма можно считать очень маленькой. Так что при движении планеты площадь параллелограмма, построенного на векторах $r$ и $v$, остается постоянной:
$$vr \sin \alpha \approx v' r' \sin \beta = \text{const.}$$

Остается только заметить, что площадь треугольника, построенного на тех же векторах, вдвое меньше площади параллелограмма, и мы приходим к второму законуке:

Кеплера: $$\frac{1}{2} vr \sin \alpha = \text{const.}$$

При доказательстве мы используем только то обстоятельство, что сила, действующая на планету, направлена вдоль радиус-вектора. В таких случаях говорят, что тело движется под действием центральной силы, т. е. силы, направленной всегда в одну точку (или от нее). Поэтому доказанное нами утверждение можно сформулировать так:

Для матерIALНОЙ МОЧКИ, коморая движется под действием центральной силы, величины $rv \sin \alpha$ остаются постоянной. Остается построенной в величины $mvr \sin \alpha$, где $m$ — масса матерIALНОЙ ТОЧКИ. Но $mv = p$ — это импульс частицы. Величина же $L = pr \sin \alpha$ называется моментом импульса. Так мы пришли к закону сохранения момента импульса:

При движении матерIALНОЙ МОЧКИ в поле центральной силы момент импульса остаются постоянными.

Этот закон играет для движения в поле центральной силы роль, пожекую на роль закона сохранения импульса для движения в отсутствие сил.