Кросснамбер

18

«головы» не играет никакой роли. В нижней части «тульвиша» находится массивное тело в форме сферического сегмента высотой $h$. Сегмент ограничен часть поверхности «тульвиша» и плоскостью, перpendикулярной оси, проходящей через центры сферы и точку их соприкосновения.

Если попытаться положить кукулу на горизонтальном поверхности и представить ее самой себе, она немедленно встает. Почему? Очевидно, что вертикальное положение Ваньки-Встанки является положением устойчивого равновесия. В механике есть правило: в состоянии устойчивого равновесия центр тяжести тела должен находиться в самом низком из возможных для него положении. Это означает, что значение потенциальной энергии, вызванной силой тяжести, должно быть наименьшим из всех возможных.

Выясним, при каких условиях потенциальная энергия Ваньки-Встанки будет минимальной, когда он занимает вертикальное положение. Выведем кукулу из положения равновесия, отклонив ее ось на угол $\alpha$ от вертикали. Пусть $h_c$ — высота центра тяжести массивного тела при вертикальном положении оси, $M$ — его масса и $m$ — масса «головы». Масса оболочки тульвиша не имеет значения, так как высота центра тяжести оболочки, а значит, и ее потенциальная энергия при наклоне Ваньки-Встанки не изменяется.

Как видно из рисунка, высота центра тяжести массивного тела при наклоне оси равна $h_c = |CD| + |BL| = h_c \cos \alpha + R - R \cos \alpha$, а высота центра тяжести головы — $h_2 = |LO| + |KO_1| = R + (R + r) \cos \alpha$.

Общая потенциальная энергия массивного тела и «головы» равна $E_\pi = Mgh_1 + mgh_2 = (M + m)gR + (m(R + r) - M(R - h_c))g \cos \alpha$.

Отсюда следует, что потенциальная энергия Ваньки-Встанки при вертикальном положении оси, то есть при $\alpha = 0$, будет минимальной, если выражение, на которое умножается $g \cos \alpha$, отрицательное:

$$m(R + r) - M(R - h_c) < 0,$$

или

$$m < M \frac{R - h_c}{R + r}.$$

Осталясь, правила, неизвестной величины $h_c$, но ее можно выразить через известные величины $R$ и $h$ (прием это без доказательства):

$$h_c = h \frac{8R - 3h}{12R - 4h}.$$

Таким образом, мы нашли точное математическое условие, показывающее, в какой мере должна быть «легка голова» у Ваньки-Встанки, чтобы он принимал вертикальное положение, как только будет предоставлен самому себе.

Кроссамбер

Заполнительные клетки цифрами 1, 2,…, 9 так, чтобы для каждой числа, получшегося по горизонтали, в розовой клетке следа от него была записана сумма его цифр;

Для каждой числа, полученного по вертикали, в розовой клетке над ним также была записана сумма его цифр;

цифры в каждой из этих чисел были различны.

Голубые клетки остаются пустыми.

Э. Рекстин