Задачи М691—М695; Ф703—Ф707

19

Задачи

М691—М695; Ф703—Ф707

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки ньюшней школьной программы. Найболее трудные задачи отмещаются звездочек. После формировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Задачи этого номера предлагались на заключительном туре Всегоозной олимпиды школьников. Число в скобках обозначает класс, в котором предлагается задач. Решения задач из этого номера можно отправлять не позднее 15 сентября 1981 года по адресу: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка 21/16, редакция журнала «Квант». В графе «Кому» написите: «Задачик «Кванта» № 7 — 81» и номера задач, решения которых вы посылаете, например «М691, М692» или «Ф703». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. В письмо включите конверт с написанными на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решений). Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи.

М691. Будем говорить, что число обладает свойством (K), если оно разлагается в произведение K последовательных натуральных чисел, больших 1. а) Найдите K такое, для которого неокоторое число N обладает одновременно свойствами (K) и (K+2).

6. Докажите, что чисел, обладащих одновременно свойствами (2) и (4), не существует. (8)

В. Федотов

М692. Точки $C_1, A_1, B_1$ взяты на сторонах, соответственно, $AB, BC, CA$ треугольника $ABC$ так, что $|AC_1| : |C_1B| = |BA_1| : |A_1C| = |CB_1| : |B_1A| = 1:3.$

Докажите, что периметр $P$ треугольника $ABC$ и периметр $P_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ связаны неравенствами a) $P_1 < \frac{3}{4}$ P; 6) $P_1 > \frac{1}{2}$ P. (8)

В. Турчанинов

М693. В некоторых последних 1000 жителей. Ежедневно каждый из них делится узнанным вчера новостями со всеми своим знакомыми. Известно, что любая новость становится известной всем жителем поселка. Докажите, что можно выбрать 90 жителей так, что если одновременно всем им сообщить какую-то новость, то через 10 дней она станет известной всем жителем поселка. (9)

Н. Карташов, А. Савин

М694. В каждой вершине куба записано число. За один шаг к двум числам, размещенным на одном (любом) ребре, прибавляется по единице. Можно ли за несколько таких шагов сделать все восемь чисел равными между собой, если вначале были поставлены числа, как на рисунке 1? Как на рисунке 2? Как на рисунке 3? (9)

М695*. Можно ли все клетки какой-нибудь пря-mогуольной таблицы окрасить в белый и черный цвет так, чтобы белых и черных клеток было по-

20

ровну, а в каждой строке и в каждом столбце было более 3/4 клеток одного цвета? (10)

С. Конягин

Ф703. Ракета запущена с поверхности Земли вертикально вверх с первой космической скоростью и возвращается на Землю недалеко от места старта. Сколько времени она находилась в полете? Радиус Земли $R_3=6400$ км.
Примечение. Площадь эллипса с получениями $a$ и $b$ равна $S=\pi ab$. (10)

Е. Сурков

Ф704. По двум гладким наклонным плоскостям, образующим одинаковые углы $\alpha$ с горизонтом, движутся, касаясь друг друга, цилиндр и клин (рис. 4). Найти, с какой силой клин давит на цилиндр. Масса цилиндра $m_1$, масса клина $m_2$. Третий между цилиндром и клином пренебречь. (8)

С. Кротов

Ф705. Горизонтальное расположенный цилиндрический теллоизолированный сосуд объема $V_0=100$ л, заполненный гелем, разделен на две части теллопропониаемым поршнем, который может перемещаться без трения. Газу, находящему в левой части сосуда, сообщают количество телла $\Delta Q=100$ Дж. Найти изменение давления в сосуде к тому моменту, когда поршень перестает двигаться. (9, 10)

А. Зильберман

Ф706. Для горизонтального перемещения грузов на расстояние $L=20$ м используется самоходная тележка, перемещаются по горизонтальным рельсам. На троссе длины $l=5$ м к тележке подвешивают перемещаемый груз (рис. 5). Тележка половину вверхяется равноускорению, а половину — равнозамедленно. Определять возможность значенияускорения тележки, при которых груз после остановки тележки в конце пути будет неподвижным. (10)

В. Можаев

Ф707. Объектив телефонна Гейла имеет диаметр $D=250$ см и фокусное расстояние $F=160$ м. Тележкоп используется для фотографирования искусственного спутника Земли, имеющего диаметр $d=200$ см и находщегося на расстоянии $L=320$ км.

1. На каком расстоянии от фокуса должна быть расположена фотопластика?
2. Каким будет размер изображения искусственного спутника?
3. Каков будет диаметр размещых (несфокусированных) изображений звезд на фотографини? (10)

С. Козел