[Об ошибках, связанных с понятием корня из числа, в сборнике задач Л. В. Кованцовой и И. Г. Малышева]

34

нозамедленно вдоль наклонной плоскости (мы считаем массу матрика много меньше массы тележки). Будем считать, что переход от горизонтальной поверхности к наклонной плоскости очень гладкий и время движения тележки по закругленному много меньше перiodа колебаний матрика, так что практический мгновенно точка подвеса матрика начинает движаться вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью $v_0$ и сускорением, равным по абсцилтной величины $b = g \sin \alpha$ и направлением вниз вдоль наклонной плоскости. Относительно тележки матрик имеет в начальной момент скорость $v_0(1 - \cos \alpha)$; вектор относительной скорости перpendикуляренниты (считаем, что параллельная составляющая скорости гасится). Новоеускорение свободного падения равно $|\vec{g} - \vec{b}| = g \cos \alpha$. Эквипотенциальные уравнения энергии, как нетрудно видеть, параллельны наклонной плоскости.

Максимальный угол $\phi'_0$ отклонения матрика относительно нового положения равно

$$\frac{m(v_0(1 - \cos \alpha))^2}{2} + mgl \cos \alpha \cdot (1 - \cos \alpha) = mg \cos \alpha \cdot l(1 - \cos \phi'_0),$$

откуда

$$\cos \phi'_0 = \cos \alpha - \frac{v_0^2}{2gl \cos \alpha} (1 - \cos \alpha)^2 = \cos \alpha - \frac{v_0^2 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{gl \cos \alpha},$$

$$\phi'_0 = \arccos \left( \cos \alpha - \frac{2v_0^2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{gl \cos \alpha} \right).$$

С. Кротов

Несколько лет назад в «Кванте» была опубlikована заметка «Чему равен $0,5\sqrt{4}$?» (1976, № 11), в котором рассматривалось ошибки, связанные с определением корня из числа. В математике это определение выполня однозначно: «Корень уравнения $x^n = a$, где $n$ — натуральное число, называют корнем $n$-й степени $u_3 a$» («Алгебра 8», 1980, п. 24). О словах «где $n$ — натуральное число» часто забывают абитриенты. Так, если уравнение содержит $\sqrt{a}$, то в предлагаемых ответах можно встретить такие числа, как 0,5, —3 и т. д.

К сожалению, подобного рода ошибки встречаются не только в ответах абитриентов. Расмотрим два примера из книги Л. В. Кованцов и И. Г. Малышев «Сборник задач по математике» (Киев, «Вишша школа», 1980).

На с. 101 приводится следующие «решение» неравенства

$$\log x \sqrt{x} > 10x^4. \tag{1}$$

«Запишем неравенство в виде

$$\frac{1}{x^{\lg x}} > 10x^4. \tag{2}$$

Сейчас хорошего видно, что область допустимых значений $x > 0$, $x \neq 1$. Продолгификумем

обе части неравенства по основанию 10 (знак неравенства сохранится):

$$\frac{1}{\lg x} \cdot \lg x > 1 + 4 \lg x \Leftrightarrow \Leftrightarrow \lg x < 0 \Rightarrow 0 < x < 1.$$

Ответ. $X = ]0; 1[$

Ответ не верен, так как при $x \in ]0; 1[$ число $\lg x$ (показатель корня в (1)!) — не натуральное. Где же ошибка? Указанный в книге ответ является правильным ответом для неравенства (2), но неравенства (1) и (2) не равны. Правда, на множество $\{10^n\} (n \in \mathbb{N})$, является область допустимых значений неравенства (1), они равны. Учитывая это, получаем ответ: $\emptyset$.

На стр. 97 ответ к системе уравнений

$$\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = a^2, \\ \log_x \sqrt{a} + \log_y \sqrt{b} = \frac{a}{\sqrt{3}} \end{cases}$$

записан в виде «При $a > 0$, $b > 0$, $a, b \neq 1$:

$$\left( \frac{a}{\sqrt{3}} \frac{a}{\sqrt{3}} \right),$$

что также, оченьindo, неверно.

Аналогичные неточности по существу содержат в решении примеров № 153 и № 183.

В. Хлобистов

Поправка

В «Кванте» № 6 в заданке «Кванта» имеются неточности. В задание M686 в левой части равенства должна быть $[\sqrt{\sqrt{x}}]$. В задание M688 сумма $a_1 + a_2 + \dots + a_n$ четна. Срок присылки решений этих задач продлевается до 1 октября 1981 года.