Московский институт стали и сплавов

47

Физика
Задание устного экзамена

1. Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю через время $t = 3$ с. Какова была начальная скорость тела? На какой максимальной высоте побывал тело? Сопротивление воздуха не учитывать.

2. Тележка с песком катится со скоростью $|\vec{v}_1| = 1$ м/с по горизонтальной поверхности без трения. Навстречу тележке летит шар массой $m = 2$ кг с горизонтальной скоростью $|\vec{v}_2| = 7$ м/с. После встречи с тележкой шар застрел в песке. С какой скоростью и в какую сторону покаются тележка после встречи с шаром? Масса тележки $M = 10$ кг.

3. Посередние между двумя точными положительными зарядами $q_1 = q_2 = q = 2 \times 10^{-10}$ Кл помещили отрицательный заряд. Какова величина этого заряда, если система нахождения в равновесии?

4. Шарик массой $m = 10^{-3}$ кг перемещается из точки $A$ с потенциальом $\varphi_1 = 600$ В в точку $B$, потенциаль которого $\varphi_2 = 0$. Определите скорость шарика в точке $A$, если в точке $B$ его скорость $|\vec{v}| = 0,2$ м/с. Заряд шарика $q = 10^{-8}$ Кл.

А. Назаретов, Г. Ткачев, Г. Шадрин

Московский институт инженеров геодезии, аэрофотосъемки и картоффиции

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(факультет оптического приборастроения)

1. Решить уравнение
   $$\frac{3(x-2) + 4\sqrt{2x^2-3x+1}}{2(x^2-1)} = 1.$$

2. Найти область определения функции
   $$\log_{x+0,5}\frac{x^2+2x-3}{4x^2-4x-3}.$$

3. Доказать, что $\triangle ABC$, вершины которого расположены в точках $A(1; 0; 1)$, $B(1; 1; 0)$ и $C(1; 1; 1)$, — прямойный. Найти расстояние от начала системы координат до центра окружности, описанной около этого треугольника.

4. Решить уравнение
   $$\frac{1+\mathrm{tg} x}{1-\mathrm{tg} x} = (\sin x + \cos x)^2.$$

5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 2x^2 + 1$, $y = x + 2$ и $y = 1,5$.

Вариант 2
(геодезический факультет)

1. Решить уравнение
   $$3 \cdot 16^x + 2 \cdot 81^x = 5 \cdot 36^x.$$

2. Найти область определения функции
   $$y = \log_{100x}\frac{2\lg x + 2}{-x}.$$

3. Данные векторы $\vec{a}(1; 1; -1)$, $\vec{b}(5; -3; -3)$ и $\vec{c}(3; -1; 2)$. Найти векторы, коллинеарные векторы $\vec{c}$, длина которых равна длине вектора $\vec{a} + \vec{b}$.

4. Решить уравнение
   $(\sin x + \cos x)^2 + (\sin x - \cos x)^2 = 1 - \cos 2x.$

5. Исследовать на monotonность функцию
   $$y = \frac{x^2-2}{2x+3}.$$

Вариант 3
(aэрофотогеодезический и картоффициейный факультеты)

1. Решить уравнение
   $$-\frac{1}{3}\lg 0,001 + \lg 3\sqrt{27} + 3\sqrt{2x} = 2.$$

2. Решить неравенство
   $$x < \sqrt{3}-2x.$$

3. Решить уравнение
   $$\frac{1}{\cos x} = \sin x + \cos x.$$

4. При каких $x$ и $y$ вектор $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + 2\vec{k}$ ortogonalен вектор $\vec{b} = \vec{i} - \vec{j} + \vec{k}$ и скалярное произведение $\vec{a}$ на $\vec{c} = \vec{i} + 2\vec{j}$ равно четыре?

5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{4}{x}$, $y = 0$, $x = 2$ и $x = 4$.

Н. Болотина,
И. Журкин

Московский институт стали и сплавов

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(факультет оптического приборастроения)

1. Решить неравенство
   $$\log \frac{1}{3}\frac{x+1}{2x-5} \ge 0.$$

2. Решить уравнение
   $$\sqrt{3y^2+6y+16} + \sqrt{y^2+2y} = 2\sqrt{y^2+2y+4}.$$

3. Плоский угол при вершине правильно шестиугольной пирамиды равен углу между боковым ребром и плоскостью основания. Найти этот угол.

48

4. Четыре точки $A, B, C$ и $D$ в указанном порядке лежат на параболе $y = ax^2 + bx + c$. Координаты точки $A, B$ и $D$ известны: $A(-2; 3), B(-1; 1), D(2; 7)$. Определить координаты точки $C$, когда площадь четырехугольника $ABCD$ наобольшая.

5. Найти все значения $x$ и $y$, удовлетворяющие уравнению
   $$12 \sin x + 5 \cos x = 2y^2 - 8y + 21.$$

Вариант 2
(факультет полупроводниковых материалов и прибора)

1. Решить уравнение
   $$\sqrt{17+x} - \sqrt{17-x} = 2.$$
2. Решить неравенство
   $$x + \log_2(12 - 2^x) \geq 5.$$
3. Из города $A$ в город $B$ вышел пассажирский поезд. В то же время из $B$ в $A$ вышел товарный поезд. Скорость каждого из поездов на всем участке движения постоянна. Через 2 часа после того, как поезд встретился, расстояние между ними составляет 280 км. Пассажирский поезд прибил к месту назначения через 9 часов, а товарный — через 16 часов после встречи. Определить, какое время в пути находился каждой поезд.
4. В треугольнике $ABC$ точка $H$ — точка пересечения высот. Известно, что $\overrightarrow{AB} = (6; -2), \overrightarrow{AC} = (3; 4)$. Найти координаты вектора $\overrightarrow{AH}$.
5. При каких значениях $a$ функция
   $$y(x) = (1+a)x + 2 \sin \frac{x}{2} - (8a+4) \sin \frac{x}{4} + \frac{a\pi}{2}$$
   имет на интервале $x \in ]-5\pi; 11\pi[$ четыре экстремума?
   Вариант 3
   (факультет металлургии цветных и редких металлов и сплавов)
6. Упростить выражение
   $$\left( \frac{m\sqrt{m} + n\sqrt{n}}{\sqrt{m} + \sqrt{n}} - \sqrt{m \cdot n} \right) \cdot \left( \frac{m-n}{\sqrt{m} + \sqrt{n}} \right)^{-2}.$$
7. Решить уравнение
   $$\sqrt{x+7} - x+3 = 0.$$
8. Решить систему
   $$\begin{cases} \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} = 1 - \sin x \\ \left| \frac{x}{2} - \frac{\pi}{2} \right| \leq \frac{3\pi}{4}. \end{cases}$$
9. Решить неравенство
   $$\frac{1}{6} \log_2(5^x - 4) + \frac{1}{2} \log_{5x-4} 2 < \frac{\log_3\sqrt{2} \sqrt{4}}{\log_9 729}.$$
10. Obъем прямой треугольной прямы $ABCA'B'C'$ равен 3. Определить координаты вершины $A'$, если координаты вершин одного из оснований прямых известны: $A(1; 0; 1), B(2; 0; 0), C(0; 1; 0)$.

Вариант 4
(технологический факультет)

1. Решить неравенство
   $$(0,4)^x - (2,5)^{x+1} > 1,5.$$
2. Решить уравнение
   $$\sin^4 x - \cos^4 x = \cos \left( \frac{3\pi}{2} - x \right).$$
3. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} \log_2 x - \log_4 y = \log_4(4-x) \\ \log_3 (x+y) = \log_3 \frac{y}{x}. \end{cases}$$
4. Парабола $y = x^2 + px + q$ пересекает прямую $y = 2x - 3$ в точке с абсциссой 1. При каких $p$ и $q$ расстояние от вершины парабола до оси $Ox$ минимально? Найти это расстояние.
5. Найти площадь треугольника, если длины двух его стороны соответствующего равны 1 см и $\sqrt{15}$ см, а длина медины третий стороны равна 2 см.

Вариант 5
(факультет металлургии черных металлов и сплавов)

1. Решить уравнение
   $$2 \cos^2 2x - \cos 2x - 1 = 0.$$
2. Решить неравенство
   $$\log_3 (8 - 3x - 2x^2) < -1.$$
3. В правильную четырехугольную парамиду вписан шар. Расстояние центра шара от вершины парамиды равно $a$, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен $a$. Определить полную поверхность парамиды.
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченную параболой $y = x^2 - 2x + 2$, касательной к ней в точке $M(3; 5)$ и осью ordинат. Сделать рисунок.
5. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} 2^y \cos x + 2^{-y} \sin x = \frac{3}{2} \\ 2^y \sin x - 2^{-y} \cos x = \frac{1}{2}. \end{cases}$$
   Физика
   Задание устного экзамена
   1 (факультет металлургии черных металлов и сплавов). Сколько молекул находится в сосуде объемом $V = 1$ см$^3$ при температуре $t = 10^\circ C$, если давление в сосуде $p = 10^{-11}$ мм рт. ст.?
   2 (факультет металлургии цветных и редких металлов и сплавов). Определите стоимость получения $m = 12$ кг меди при электролизе $\mathrm{CuSO}_4$, если КПД установки $\eta = 80\%$, электролиз идет при напряжении $U = 10$ В, тариф $B = 2$ коп/(кВт·ч), молярная масса меди $M = 63,5 \cdot 10^{-3}$ кг/моль.
   3 (технологический факультет). Камень брошен с базни со скоростью $|\vec{v}_0| = 32,6$ м/c в горизонтальном направлении. Найти радиус кривизны траектории камня в точке, в которой он будет через $\tau = 5$ с после начала движения. Сопротивлением воздуха можно пребежать.
   4 (физикко-химический факультет). Пучок электронов, ускоренных разностью потенциальов $\Delta \varphi = 300$ В, влетает в плоский горизонтальный расположенный конденсатор параллельно его пластинам. Найти разность потенциальов $\Delta \varphi_1$, приложенную к пластинам конденсатора, если пучок смешается на экране на $h = 3,6$ см. Длина пластин конденсатора $l = 4$ см, расстояние от конца конденсатора до экрана $l_1 = 10$ см, расстояние между конденсаторами $d = 1,2$ см.