Звёздная динамика

5

Исследования Млечного Пути превращлись в одну из главных задач астрономии в XVIII и XIX веках, и теперь мы знаем, что звезды Млечного Пути принадлежат к гипантской звездной системе, содержащей в себе более ста миллиардов звезд, среди которых и близкой к нам звезда — Солнце. Общие черты строения и динамики этой системы, называемой Галактикой*), надежно выясены лишь в последние 30—40 лет. Вместе с тем стало известно, что во Вселенной имеются и другие системы такого рода — галактики.

Движение звезд в галактиках определяется слиами тяготения. Закон взаимного тяготения тел, установленный в исследованиях земного притяжения, в наблюдениях за движениями тел в Солнечной системе, справедлив и в звездных системах, которые в миллионы и миллиарды раз больше Солнечной системы; в этом проявляется универсальный, всемирный характер тяготения.

Галактика и галактики

Встроении Галактики различают два главных структурных элемента — диск и сферическую составляющую. Диск образован молдыми и яриками звездами, у него имеется уголшение в середине, так что он похож на чечenuцу или линзу (рис. 1). Диаметр диска составляет примерно 75 тысяч световых лет, его поперечный размер раз в десять менше; Солнце находится в диске на расстоянии двух третий радиуса от центра. Видимый изнутри диск Галактики и представляется нам полосой Млечного Пути.

Кроме звезд диска в Галактике имеются и другие, менее яркие звезды; они заполняют, гушаясь к центру, сферический объем с диаметром, близким к диаметру диска. Найболее плотная центральная часть Галактики — ее ядро (см. рис. 1).

Один из самых впечатляющих астрономических феноменов — спиральный узор галактик (рис. 2). Он образован самых молдыми, яриками звездами дисковой составляющей. Наша Галактика и другие газы

*) Что в переводе с новогреческого означает «млечный».

Рис. 1. Галактика в попереном разрезе. Диск, сферическая составляющая и ядро — три главных элемента ее структуры. Положение Солнца указано символом Э; так его обозначали еще в древнегипетских надписах. В сферической составляющей показаны некоторые из шаровых звездных скоплений, ее коллективных членов.

лактически, украшенные этим узором, называются спиральными. В руках спиралей находится очень небольшая доля звезд, но загоно ярче всех, и потому в удаленных галактиках бывают чаше всего виден только их спиральный узор. Самая близкая к нам гипантская спиральная галактика

Рис. 2. Схема спиральных рукавов в диске Галактики «анфас». В диске имеется газ, который врашает вместе со звездами; это гипантский вхрь, и в создаваемых им уплотнений роздаются молдые звезды, которые и обрисовывают спиральный узор.

6

тика — значення туманность Андромеды.

Галактики, лишенные спирального узора, обчено не имеют и дисковой составляющей. Их сферическая составляющая (в действительности она всегда в той или иной степени сплошнута) представляется настроничческих摄影ях эллипсом; поэтому такие галактики называют эллиптическими. Встречаются и во все бесструктурные на вид образования — неправильные галактики, которые выглядят ключоватыми облаками звезд. Иного оказывается, что и у них имеется сферическая составляющая, содержащая, как и в других случаях, слабые, нерркие звезды. Наконец, сейчас находится очень концентрированные звездные системы, напоминающие плотные центральные области, ядра спиральных и эллиптических галактик, только они еще плотнее и гораздо массивнее.

Движение звезд в диске Галактики

Звезды дисковой составляющей Галактики движутся по почти круговым орбитам. Их движение похож на образшение планет вокруг Солнца, хотя в Галактике нет такого подавляющего по массе центрального тела, как Солнце в Солнечной системе, которое одно создаело бы притяжение всех тел к центру. Ядро нашей Галактики имеет небольшую массу и не оно удерживает звезды на их орбитах. Сила притяжения к центру создается в Галактике совместными тяготениями самих звезд.

На звезду, движущуюся по круговой орбите радиуса $r$, действует притяжение звезд, находящаяся внутри этой орбиты. Сила притяжения, создаваемые внешними звездами, направлены в разные стороны и друг друга уравновешивают*). Звезды «не замечают» внешних тяготюших масс, а масса всех внутренних звезд действия так, как если бы она была целиком сосредоточена в центре. В соответствии с этим и на основа

*) Это всегда так, когда в системе имеется сферическая или цилиндрическая симметрия. Доказательство приведено в Приложении I на с. 10.

Рис. 3. Кривая врашення — типичная зависимость скорости врашення звезд в диске спиральной галактики от расстояния до центра. К пунктирной линии, уходящей за пределы галактики, мы вернемся позже.

низакона всемирного тяготения сила притяжения звезды к центру дается формулой

$$F = G \frac{m \cdot M(r)}{r^2}.$$ (1)

Здесь $m$ — масса звезды, $M(r)$ — полная масса внутри орбиты радиуса $r$, $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ m}^3 (\text{кг} \cdot \text{с}^2)$ — постоянная тяготения. Сила $F$ направлена к центру Галактики. При скорости движения звезды $v$ сила тяготения создает центростремительное ускорение

$$\frac{v^2}{r} = \frac{F}{m}.$$ (2)

Из уравнения (1) и (2) следует связь между скоростью звезды, радиусом орбиты и массой звезды:

$$v^2 = \frac{G \cdot M(r)}{r}.$$ (3)

Такая же по виду формула описывает круговые движения планет и образование спутника вокруг Земли.

Формула (3) позволяет оценить скорости звезд в диске Галактики по известным значениям радиуса орбиты и массы внутри нее. Если радиус орбиты сравним по величины с полным радиусом Галактики, то есть $r \sim R \sim 10^{20} \text{ m}$, то под массой $M(r)$ нужно понимать величины, сравним с массой всего Галактики: $M(r) \sim M \sim 10^{41} \text{ кг}$. (Масса Галактики находится уножением средней массы звезд $m \sim 10^{30} \text{ кг}$ на полное число звезд в Галактике $N \sim 10^{11}$.) Для этих величины $r$ и $M(r)$ находится

7

приближение из соответствия (3)
$$v \approx 3 \cdot 10^5 \text{ m/c} = 300 \text{ km/c}.$$

Согласно данным наблюдений Солнеце обращается вокруг центра Галактики со скоростью $v = 220 \text{ km/c}$, что довольно близко к полученной нами оценке. (Это — самое быстroe из всех движений, в которых мы участвуем вместе с Землей; скорость обращения Земли вокруг Солнца составляет 30 km/c, а линейная скорость собственного врашения Земли — 0,5 km/c.)

Движение звезд в диске Галактики происходит согласно этому процессу — разные на разных расстояниях от центра (рис. 3).

Динамика сферической составляющей

Движение звезд в сферической составляющей Галактики иное, их орбиты не круговые, а сильно вытянутые. Некоторые орбиты весма близки к прямым линиям, а в принципе возможно и чисто прямолинейные, радиальные орбиты.

Чтоы разобраться в особенностях такого движения, стоит вспомнить сначала один вопрос, который, кажется, любят задавать наузовских приемных экзаменах: как будет движаться камень, брошенный в шахту, пробуренную в Земле насвободы через центр? Очевидно, камень будет сначала падать сускорением к центру вдоль радиуса; затем, миновав центр, начинает замедлять движения; потом на миг остановится и полетит обратно, наращивая скорость; но пролетев центр, он снова начинает замедлять движения, остановится, полетит опять к центру и т. д. Это будет периодическое колебательное движение от одного апостерия, то есть точки максимального удаления от центра, до другого.

Подобные колебательные движения вокруг Галактики и совершают звезды ее сферической составляющей. Το обстоятельство, что их орбиты немного отличаются от чисто радиальных, мало что меняет в этой картине. Поведение скорости радиального движения звезд на помощь интересующим нас величинами мы воспользовемся методом размерности $M, R, G$:

$$[M] = \kappa r, [R] = m, [G] = \frac{M^3}{k\Gamma \cdot c^2}.$$

Интересующая нас средневартическая скорость $\vec{v}^2$ имеет размерность

$$[\vec{v}^2] = \frac{M^2}{c^2}.$$

*) Метод размерностей посвящена большая статья в 6 номере «Кванта» за этот год.

8

Из трех величины $M, R, G$ — можно составить единственную (проверьте!) комбинацию, имеющую размерность квадрата скорости:

$$\left[ \frac{GM}{R} \right] = \frac{M^2}{c^2}.$$

Позному нужно считать, что

$$\overline{v^2} = a \frac{GM}{R}.$$

Здесь $a$ — некоторый безразмерный множитель, зависит от деталей строения системы; как показывает накопленный в теоретической физике опыт оценок такого рода, безразмерный множитель чаше всего не слишком сльно отличается от единицы.

Из соответствии (4) следует, что характерная скорость радиальных движений звезд в сферической составляющей Галактики близка к значению в несколько сотен километров в секунду, которое мы находим выше для круговых движений в диске. Эти скорости — одного порядка.

Метод анализа размерностей и оценок по порядку величины незаменным, когда точная теория либо слишком сложна математически, либо невозможна из-за неопределенности или недостатка имеющихся наблюдаемых или экпериментальных данных. Формально он как будто прост, но, по существу, предполагает, что сначала достаточно общее качественное понимание того, что происходит. Точность оценок невелика, но, например, для целей астрофизики во многих случаях достаточно.

И на круговых, и на радиальных (или близких к ним) орбитах звезды совершают финитное движение, то есть при своих перемещениях они не выходят за пределы неокоторого ограниченного объема: их связь в звездной системе их общее поле тяготения. Связанное состояние звезд обеспечивает неизменное во времени, Staционное состояние системы в целом.

Массы галактик

Возможен только один способ определения масс звездных систем — по создаваемой имми силе тяготения. Тяготение проявляется в движениях звезд,

и если удается изменить их характеристика скорости и размер системы, то масса может быть найдена с помощью формул (3) или (4).

Первая применена к спиральным галактикам с дисками, а вторая — к сферическим составляющим галактик и к эллиптическим галактикам, которые динамическими им подобны.

В обихх случае речь чаше всего идет о приближенной оценке, и потому, опуская в (4) неопределенный множитель, можно написать общую оценочную формулу для массы галактики:

$$M \sim \frac{\overline{v^2} R}{G}.$$ (5)

Найденные таким способом массы спиральных галактик лежат в пределах от $3 \cdot 10^{-8} M_\odot$ до $3 \cdot 10^{11} M_\odot$, где $M_\odot$ — масса Солнца; диапазон масс эллиптических галактик шире — от $3 \cdot 10^6 M_\odot$ до $3 \cdot 10^{12} M_\odot$; массы неправильных галактик сравнительно невелики — от $10^6 M_\odot$ до $10^9 - 10^{10} M_\odot$.

Многие круглые галактики, и наша Галактика в том числе, обычно имеют по нескольку малых галактик спутников. Эти спутники обращаются вокруг центраной галактики, и по анализу их движений тоже можно получить динамическую оценку масс круглых галактики. Если центраная галактика целиком лежит внутри орбит ее спутников, а именно такая картина и наблюдается на фотографиях, то силы тяготения, действующие на все спутники, обусловлены одной и той же тяготению массой.

Приемя в этом случае формулу (3), найдем, что скорость $v_1$ выражения близкого спутника с радиусом орбиты $r_1$ больше скорости $v_2$ более далекого спутника с радиусом орбиты $r_2$:

$$\frac{v_1}{v_2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{1/2},$$

и скорость убывает с радиусом орбиты по закону

$$v(r) \sim r^{-1/2}$$ (6)

(этому закону подчиняется и планет Солнечной системы).

К удивлению астрономов, в последние годы стали появляться ука-

9

заня на то, что в семействах спутников нашей Галактики, галактики Андромеды и неокторых других массивных галактик закон (6) не выполняется. В наблюдениях изменялись скорости спутников, находящихся на расстояниях до десяти радиусов центральной галактики, и всякий раз оказывалось, что скорости отнюдь не убывают с радиусом орбиты, а остатся (с известной точностью) постоянными. Это обстоятельство и отражает пунктриная линия на кривой врашения (см. рис. 3).

В поисках обяснения советские астрономы из Тартуской обсерватории и американские астрономы из Приинстонского университета предложили обсуить одну далею идущую возможность. Что если масса галактики на самом деле не ограничивается той, что лежит в пределах видимого на фотографиях объема?
Не могут ли, кроме звезд, существовать и какие-то иные тяготющие массы, распределенные по гораздо большему объему вокруг галактик?
Так возникла гипотеза о невидимых, «скрытых» массах галактик.

Предполагается, что эта дополнительная масса образует корону галактики, которая простадает на большие расстояния и достигает самых дальних орбит галактик-сплутников. Если так, то спутники движут не в пустоте, а среди невидимых, «скрытых» масс. Тогда тяготющая масса, влияющая на движение спутника, складывается из массивных звезд галактики и «скрытой» массы, находящейся внутри орбиты спутника. В результате суммарная тяготющая масса возрастает с ростом радиуса орбиты; из-за этого скорости галактик-сплутников и не подчиняются закону (6). Если скорости одинаковы на орбитах разных радиусов, то, как видно из формул (3) и (5), с ростом $r$ тяготющая масса должна возрастать по закону

$$M \sim r.$$ (7)

Отсюда следует, что полная масса галактики может оказаться во много раз большие массы видимых звезд. Если семейство галактик-сплутников, движущихся с одинаковыми скорностями, находится на расстоянии, скажем, $3R$ от центра галактики, то и полная масса всей системы в три раза большие массы видимых звезд, то есть видимого тела галактики.

При возрастании массы по закону (7) плотность вещества в галактике убивает от центра наружу как $r^{-2}$ (мы показем это в Приложении II). На достаточно удалении от центра плотность падает быстрее и сходит на нет.

---

Гипотеза «скрытой» массы объясняется диамикку галактик-сплутников, но ставит вместе с тем новые трудные вопросы. Прежде всего, что представляется собой эта масса? Ответ не известен. Предполагают, что она может складывать из масс малых и очень слабых по блеску звезд. Если так, то звезд в Галактике города больше, чем можно увидеть даже в самых лучший телескоп.

Но это — не единственная возможность. В последнее время астрономы и физики внимательно обсуждают идею, согласно которой «скрытая» масса представляется собой газ элементарных частиц — нейтрино. Эти частицы известны в физике уже почти полвека, но до них пор неясно, имеют они массу покоя (подобно протону, электрону и другим частицам) или их массу покоя нуллю (как у фотона). При наличии массы покоя, хотя бы и гораздо меньшей, чем у электрона (легчайшей из частиц, относительно которой точно известно, что она имеет массу покоя), нейтрино действительное могло бы создавать вокруг массивных галактик протяженные облака, невидимые, но тяготющие.

В недавних экспериментах Moscovских физков, проведенных не с космическими, а с laboratorными нейтрино, возникло ошибки при радиоактивном распаде, были обнаружены признаки того, что нейтрино, возможно, на самом деле имеют массу покоя. Сообщается, что она приблизительно в десяти тысяч раз меньше массы покоя электрона. Это предварительная результат, но если он подтвердится, то нужно будет считать, что и космические нейтрино имеют массу покоя. Тогда идея нейтриной «скрытой» массы получит надежное физическое обоснование.

10

А пока что, как и много веков назад, высказываются все новые договора, иен, гипотезы — споры о природе галактик продолжются…

Приложение I
Докажем, что силы притяжения, действующие на звезду со стороны «внешних» звезд, уравновешивают друг друга, если внешнее распределение сферической симметрично.

Рассмотрим сначала gravитационное действие тонкого сферического слоя радиуса $r$ и толщины $l \ll r$ на области внутри этого слоя (рис. 4). Для этого подсчитаем сумму сил, действующим со стороны отдельных элементов слоя на массу $m$, помещенную в произвольной точке $A$. Выделим пару элементов, «вырезаемых» в слое двуполостным конусом с вершиной в точке $A$ (см. рис. 4). Конус считаем очень узким, так что $a \ll \pi$. Образуемые таким сечением элементы слоя можно приближенно считать плоскими дисками, пренебрегая кривизной их поверхности. В этом приближении диаметры дисков равны
$$d_1 = r_1 a, \quad d_2 = r_2 a,$$
где $r_1, r_2$ — расстояния дисков от точки $A$.

So стороны диска 1 на массу $m$ в точке $A$ действует сила $\vec{F}_1$, со стороны диска 2 — сила $\vec{F}_2$.

Ввиду малости размеров диска ($d_1 \ll r_1, d_2 \ll r_2$) силы $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ можно определить, считая, что все масса каждой из дисков сосредоточена в точке, находящейся, соответственно, на расстояниях $r_1$ и $r_2$ от точки $A$. Тогда
$$|\vec{F}_1| = \frac{G m_1 m}{r_1^2}, \quad |\vec{F}_2| = \frac{G m_2 m}{r_2^2},$$
где $m_1, m_2$ — массы дисков. Чтобы найти $m_1$ и $m_2$, учтем, что диски имеют столбную толщину, что изменением плотности $\rho$ внутри них можно пренебречь, так что эти массы равны

Приложение II
Докажем, что если полная масса $M$, заключенная внутри сферы радиуса $r$, возвращает пропорционально $r$, то плотность $\rho(r)$ (сферической симметричной распределения) по закону $\rho \sim r^{-2}$.

Выделим тонкий сферический слой толщины $l$ с внешним радиусом $r$. Масса такого слоя равна $\Delta M = M(r) - M(r-l) = Kr - K(r-l) = Kl$, где $K$ — коэффициент пропорциональноности. Объем такого слоя равен $\Delta V = \frac{4}{3} \pi r^3 - \frac{4}{3} \pi \cdot (r-l)^3 = \frac{4}{3} \pi (3r^2 l - 3rl^2 + l^3)$ (объем сферы радиуса $r$ равен $\frac{4}{3} \pi r^3$). Средняя плотность в слое равна
$$\rho_{cp} = \frac{\Delta M}{\Delta V} = \frac{3Kl}{4\pi(3r^2 l - 3rl^2 + l^3)} = \frac{K}{4\pi r^2} \sim r^{-2},$$
что и требовалось доказать.

Рис. 4.