Что такое теория протекания

Квант 1982, №2 с. 2, 3, 5, 7, 8, 9 Тег 28C3

А. Эфрос

Два учены мужа кромсают экранную сетку

Не так уж часто в современных научных журнальных появляются отчеты об экспериментах, объектом которых является кусок объIkновеной экранной сетки*), купленный с несколько необычной целью в близжайшем магазине скобных изделия. И хотя статья американских физиков Ватсона и Лиса, появившаяся в журнале «Физикл Ревью» («Физическая обозрение») в 1974 году, была далекне первой работой в области теории протекания, наш рассказ начинается именно с нее.

*) Прямоное назначение экранной сетки состоит в том, чтобы зашищать различную радиоаппаратуру от электрических помех.

Кусок сетки, с которым работали Ватсон и Лис, имел квадратную форму и содержал $137 \times 137 = 18769$ узлов с расстоянием $1/4$ дюйма (6,35 мм) между соседними узлами. Учены припаяли к двум противоположным сторонам квадрата медные электроды и включили сетку в электрическую цепь (рис. 1, а), чтобы изменить ее электропроводность (напомним, что электропроводность — величина, обратная сопротивление). Затем они стали вырезать узлы из этой сетки (рис. 1, б) и изучать электропроводность в зависимости от доли вырезанных узлов.

Каждайный новый узел, который нужно вырезать, выбирался среди невырезанных раннее узлов случайно. В принципе для этого можно было бы написать координаты каждой узла на отдельной бумажке, положить все бумажки в шапку, хорошо перемешать и вынимать по одной. Однако при большом количестве узлов такая процедура (как и другие механические способы жеребевки) крайне неудобна, и потому учены пользовались случайной по-

следовательность координат, составленной ЭВМ.

Ясно, что по мере увеличения числа вырезанных узлов электропроводность сетки уменьшалась. Большое это, если отношение числа невырезанных узлов к полному числу узлов (137²) обозначает $x$ , то при некотором значении $x$ , которое в дальнейшем мы будем называть пороговым значением и обозначает $x_c$ , электропроводность обращалась в нуль. Это происходитло, когда перерезался последний путь, связывающий левый и правый электроды. Определение вырезанных $x_c$ и являлось одной из задач эксперимента Batсона и Лиса. Они нашли, что $x_c = 0,59$ .

Естественно возникнет вопрос: является ли величина $x_c$ случайной и невоспроизвольной от опыта к опыту, или она вплоне определяется?

Казалось бы, повторив эксперимент с другими куском экраниной сетки и воспользовавшись другой случайной последовательностью вырезаемых узлов, мы получим иное значение $x_c$ . Этот ответ поддерживает здравый смысл: поскольку на каждом этапе вся конфигурация выреза

$\bar{x}_c(N) = \frac{x_{c1} + x_{c2} + \ldots + x_{cQ}}{Q} = \frac{\sum_{i=1}^{Q} x_{ci}}{Q}.$

Для того чтобы определить, насколько в среднем отличся значения $x_{ci}$ , полученные в разных экспериментах, от $\bar{x}_c(N)$ , сделаем следующее. Найдем сумму выражений вида $(x_{ci} - \bar{x}_c(N))^2$ (то есть сумму квадратов отклонений $x_{ci}$ от $\bar{x}_c(N))$ и поделим эту сумму на $Q$ . Величина

$\delta(N) = \frac{\sum_{i=1}^{Q} (x_{ci} - \bar{x}_c(N))^2}{Q}$

представляет собой среднее значение квадрата отклонения $x_{ci}$ от $\bar{x}_c(N)$ при заданном $N$ . Эту величины называют дисперсей. Величина же $\sqrt{\delta(N)}$ и характеризует разброс значений $x_{ci}$ , полученных в серии экспериментов с сетками, содержащими $N$ узлов. (Заметим, что если мы стали складывать не квадраты отклонений, а perвыские степени, то есть выражения вида $x_{ci} - \bar{x}_c(N)$ , то для среднего значения отклонения мы получили бы нуль, поскольку $x_{ci} - \bar{x}_c(N)$ имеют как положительные, так и отрицательные значения.)

Итак, для того чтобы оценить «степень случайности» величины $x_c$ , надо проследить за поведением величины $\delta(N)$ .

Расчеты показывают, что с увеличением числа узлов сетки $N$ величина $\delta(N)$ резко (по степени закону)

возникает суммарный магнитный момент $M = \mu N$ , где $N$ — число atoms в образце, а $\mu$ — магнитный момент одного atoms. Важно, что магнитный момент, относный к единице объема, не зависит от объема и равен $M = \mu/v_0$ , где $v_0$ — объем, приходящая на один atom. Величина $M$ называется спонтанной намагниченность (слово «спонтанная» означает «самопроизвольная», то есть возникающая не под действием внешнего поля, а сама по себе).

Тепловое движение разрушает магнитный порядок, и потому существует критическая температура, называемая температурой Кюри, выше которого спонтанная намагничность равна нулю. Для железа, например, температура Кюри составляет $770^\circ C$ . При более высоких температурах железо не может быть ферромагнитным.

Рассмотрим теперь вещество, представляющее твердый раствор (смесь магнитных и немагнитных (не имеющих магнитного момента) atoms. Это кристалл, в узлах которого располагаются магнитные или неmagнитные atoms, причем их расположение оказывается не упорядоченным, а совершенно случайным. Обозначим $x$ относительно концентрации (долю) магнитных atoms и выясим, при всех ли значения $x$ существует спонтанная намагничность, то есть вещество является ферромагнетиком.

Допустим, что взаимодействие между магнитными моментами atoms убивает с расстоянием так быстро, что учитывает нулю лишь взаимодействие близкой ших, непосредственных, соседей. Это значит, что если два магнитных atoms стоит рядом, то их моменты обязаательно параллельны, но если между ними оказывается хотя бы один немагнитный atom, то моменты могут быть направлены произвольно: они уже «ничего не знают» друг о друге.

Введем некоторые определения. Будем называть два магнитных atoms связанных друг с другом либо если они стоят рядом, либо они соединены друг с другом целочкой из строящих рядом магнитных atoms (рис. 2, а). Совокупность связанных atoms приято называть классером

Рис. 2. Магнитные atoms обозначаны красными кружочками, немагнитные — синими. Штриховые линии — границы кластеров.

(● англійского слова «cluster», что в переводе означает «гроздь», «кисть»).

Предположим, теперь, что магнитных atoms очень мал ( $x \ll 1$ ). Естественно, что при этом они, в основном, располагаются по одиночеке. Классер из двух магнитных atoms представляется собой редкое событие, из трех atoms — еще более редкое и т. д.

Благодаря магнитному взаимодействию магнитные moments связи этих atomsом ориентированы в одну сторону. Таким образом, каждый классер обладает результатующим магнитным моментом, пропорциональным числу atoms в кластере. С другой стороны, мы договорились, что магнитные atoms, не являющиеся близкой шихми, создают не взаимодействуют друг с другом. Поэтому не взаимодействуют друг с другой atomом, принадлежшие разные классерами. Вследствие этого ориентированных моментов, принадлежших к классам, оказывается произвольной (см. рис. 2, а), так что средний момент всех классеров равен нулю.

Итак, мы получили, что при малой концентрации магнитных atoms спонтанная намагничность отсутствует.

Теперь рассмотрим случай, когда почти все atoms — магнитные. Очевидно, что небольшая примесь неучтожает спонтанной намагничности, а только несколько уменшает ее. Обсуим этот вопрос на языке классеров. При $x=1$ все $N$ atoms принадлежат одному кластеру. Если $x$ немного отлично-

Задача об электроноводности формулировалась нами для плоской сетки; однako ясно, что ее легко поставить и для куба, к двум противоложным граям которого припаяны электроны. В задаче о ферромагнетике наша рассуждания относились в равной мере и к сетке, и к кубу. Таким образом, с точки зрения критической концентрации $x_c$ задача об электроноводности сетки и задача о примесном ферромагнетике — это одна и та же задача. Ее называют задачей узлов.

В заключение этого раздела еще раз подерknем, что основные понятия теории протекания, такие как порог протекания, бесконечный кластер и т. д., прибретают четкий характер лишь в применении к бесконечно большой системе. В любой конечной системе порог протекания «размыт»; при повторении эксперимента результаты воспроизводаятся лишь с определенной точностью, само определение порога становится неднозначным. Например, в эксперименте с проводящей сеткой мы могли бы назвать порогом протекания то значение $x$ , при котором возникнет протекание сверху вниз, а не слева направо, или минимальное значение $x$ , при котором существует протекание и сверху вниз, и слева направо. В достаточно большой системе разница между этим определениями страется, и порог протекания становится вполне определенной величины.

Заметим, что повышенная чувствительность к размерам системы есть общее свойство всех так называемых критических явлений. Так, температура Кюри, при которой исчезает ферромагнетизм, в конечной системе всегда немного «размазана» по тем же причинам, что и порог протекания. Следует, однako, иметь в виду, что фактически размер системы важен, только если мы пытаемся искустенно моделировать критическое явление (например, с помощью экранной сетки). Реальную же макросоппечую систему практические всегда можно считать бесконечной. Ведь один кубический сайт вещества содержит примерно $10^{22}$ атомов!

Другие решеточные задачи

В предыдуших разделах рассматривась решеточная задача узлов. Тепер мы обьясим, в чем состоит задача связи. Представьте себе, что в эксперименте с экранной сеткой мы не будем троять узлы, а будем разрезать проволочки (связи), которые эти узлы соединены (рис. 4). Обозначим через $x$ долю неразрезанных проволокек. Тогда снова можно поставить вопрос о критической доле $x_c$ , при которой перевыается ток в очень большей сетке с металлическими контакками на боках. Эту задачу можно сформировать и на кластерном языке, считая, что узлы связываны друг с другом, если они соединены цепочкой из неразрезанных provолокек.

Задача узлов и задача связи кажутся очень похожими. Однако они не только детственны. Эти задачи могут быть сформированы и для решеток более сложных, чем квадратная и кубическая. При этом предполагается, что каждый узел решетки может быть связыван со всеми узлами, которые являются его ближайшими соседями. Число ближайших соседей зависит от типа решетки, и потому пороги протекания меняются от решетки к решетке. Но на любой решетке порог протекания в задаче связыва не больше порога протекания в задаче узлов.

Задача связыва на простой квадратной решетке решается точно; порог протекания $x_c = 1/2$ (он меньше порогового значения $x_c = 0,59$ в задаче узлов на такой же решетке). Точные решения существуют и для некоторых других двумерных (плоских) решеток. Для трехмерных (объемных) решеток пока не найдено ни одного точного решения. Такие трех-

Рис. 5.

мерные задачи решают приближенные методами (вроде описанного в первом разделе) и моделированием ЭВМ.

Пороговые значения для различных типов решеток приведены в таблице. Точные значения подчеркины. Остальные результаты получены приближенными методами. Естественно, приближенные результаты, полученные различных методами, несколько отличия друг от друга. В таблице приведены результаты, наиболее подходящее с точки зрения автора.

Различные применения теории протекания

Teория протекания — очень молодая математическая дисциплина. Ее основные идеи были сформированы в 1957 году в работе английских математиков Бродбента и Хаммерсли. В этой же работе было done и назван теории. (По-английски она называется «percolation theory».
В точном переводе «percolation» ознакомлен «просачивание», «фильтрация»; в русской литературе вместе термин «протекание» можно встретить слово «перkolляция».

Несмотря на молодость теории, область ее применений чрезвычайно широка. Мы разобрали в этой статье лишь так называемые решеточные задачи, но они далеко не исчерпывают всей области и играют сравнительно малую роль в приложениях.

Для того чтобы сформировать еще одну задачу теории протекания, вспомним древнюю легенду о Невом ковчете. В этой легенде говорится, что некоторые говорятся, что неокогда на Земле произошло градинозное наводнение. Спаслась от него лишь небольшая группа людей, заранее построивших большой корабль (ковчет). Корабль этот, видимо, курсировал где-то в район Кавказа, так как первым местом, куда он приналл, когда стала спадать вода, оказался вершина горы Арарат… А теперь представим себе, что путешественики решили пересечь Кавказский хребет с юга на север по воде. При каком минимальном уровне это путешествие еще

будет возникнуть? Иными словами, до какой выcisты должны опуститься уровень воды, чтобы исчез водный путь, пересекающий Кавказский хребет с юга на север? (Разумеется, когда разрешается лавировать между выступающим из воды вершинами.)

Эта задача (при условии, что горная система имеет достаточно большую протяженность во всех направлениях) также является задачей теории протекания, только сформированной не на решетке, а в непрерывном пространстве. Искомый уровень воды называется уровнем протекания.

С помощью представления об уровня протекания описывается, например, переход диэлектрик — металл, произходящий в полупроводниках с примесями при увеличении концентрации электронов. Дело в том, что примеси в полупроводниках расположены случайно и могут быть заряжеными. Вследствие этого в некоторых областях преобладает положительный заряд, в некоторых — отрицательный. Добавляемые в систему электроны собираются в области с положительным зарядом, образуя там нечто вроде озер или капель. Области, где возникают электронные капли, обладают высокой электропроводностью. Однако если концентрация электронов в системе мала, то эти капли не связаны друг с другом. Между находящаяся область с очень низкой электропроводностью, так что результатующая электропроводность полупроводника оказывается ничтожно малой. Положение резко меняется, когда концентрация электронов увеличивается настолько, что электронные капли, расположены друг с другом или соединяются друг с другом или соединяются по средством узких электронных каналов. При некоторых критических концентрации появляется возможность пересечь весь полупроводник, дивяясь только по области, заполненным электронами. Тогда электропроводность резко возратает. Это явление, и называют переходом диэлектрик — металл. Для определения критического концентрации нужно решить задачу теории протекания, ана-

логичную задаче о водном пути через горную систему.

Можно перечислить самые разнообразные применение теории протекания: произкновения жидкости в пористое тело (каждая пора имеет свой диаметр, и из-за капиллярности жидкости проходит ее лишь при определенном давлении; нужно найти критическое давление, при котором жидкость протекает на очень большое расстояние по системе случайных пор), разрушение горных пород (от старости или от нагрузки образуют микротрешины, которые, сливаясь, раскалывают камень), различные модели перехода металл — диэлектрик, обязывание аномальных свойства переохладенной воды и т. д.

Попытаемся теперь сформировать, что общего между всеми этими задачами и что, собственно, является предметом теории протекания. Это сделать довольно сложно. Я бы сказал, что теория протекания занимается связностью очень большого (макросоппечского) числа элементов при условии, что связь каждого элемента со своим соседями является величины случайной, но полученной определяным способом (например, с помощью бросания монетки). Важно, что выработанный с помощью этого способа набор связей должен быть зафиксирован и не может меняться в процессе решения задачи.

Следует еще заметить, что теория протекания занимается не только отисканием пороговых значений, но и (в гораздо большей степени) законами, определяющих поведение различных величины порога. Если пороговые значения являются специфическим для каждой задачи, то законы, по которым обращаются в нуль такие функции как $P(x)$ в задаче о применном ферромагнетике или электропроводность в задаче о сетке, оказываются универсальными для всех задач теории протекания. Это, пожалуй, самый интересный круг вопросов теории протекания, но расскааз о нем должен быть длинным, и он выходит за рамки этой статьи.