Московский институт электронного машиностроения

43

Московский институт электронного машиностроения

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} x^2 = (x-a)y \\ y^2 - xy = 9ax. \end{cases}$$

2. Решите уравнение
   $$(6x-5)|\ln(2x+2,3)| = 8\ln(2x+2,3).$$

3. Решите уравнение
   $$\frac{3\cos 5x-2(\cos 6x+\cos 4x)}{3\sin 5x-2(\sin 6x+\sin 4x)} = \mathrm{tg} 17x.$$

4. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром длины $a$ точка $K$ — середина ребра $AB$, точка $L$ — середина ребра $DD_1$. Найдите стороны треугольника $A_1KL$ и определите, в каком отношении делит объем куба плоскость, проходящая через вершины этого треугольника.

5. Изображите на плоскости множества точек $(x; y)$, координаты которых удовлетворяют системе неравенств
   $$\begin{cases} 2y \geq x^2 \\ y \leq -2x^2 + 3x. \end{cases}$$

Докажите, что для всякой такой точки $(x; y)$ выполняется неравенство $x^2 + y^2 \leq 2$.

Вариант 2

1. Решите уравнение
   $$\lg(x-a) - \lg 2 = 3\lg(x-1).$$

2. Решите уравнение
   $$\sqrt{2\cos^2 x + 4\sin(x+1)} = \sqrt{4\sin x \cdot \cos 1 - \sin 2x}.$$

3. Найдите наиболее и наиболее значения функции
   $$f(x) = (3x^2 - 7x + 7)e^x$$
   на отрезке $[0; \frac{2}{3}]$.

4. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ последовательно соединиты середины ребер $AA_1, A_1B_1, B_1C_1, C_1C, CD, DA$ и $AA_1$. Докажите, что полученная функция есть правильный шестиугольник и определите его площадь по ребру куба $a$.

5. Для каких чисел из множества $A=\{1, 2, 3\}$ неравенство
   $$2\sin x \cdot \cos y \cdot \sin z - \cos x \cdot \sin y \cdot \cos z \leq a$$
   выполняется для всех значений $x, y, z$?

Физика
Задачи устного экзамена

1. Два груза одинаковой массы $M=400$ г связываны неевесомой нитью, перекиниут через блок массой $m=100$ г, и находятся на одинаковом расстоянии от блока (рис. 1). На один из грузов кладаут перегрузок массой $m$. С какой скоростью $v$ будет движаться обод блока, когда расстояние между грузами будет $h=1$ м, если на каждый из грузов массой $M$ действует одинаковая средняя сила сопротивления $F_c=0,17$ Н? Считать, что масса блока сосредоточена в его ободе. Силами сопротивления, действующего на блок, нить и перегрузок, претензь. Просkalьзывание между блоком и нитью отсутствует.

2. Стержень длиной $l$ и массой $m$ одним коном упирается в вертикальное стену, а другой его конец удерживается с помощью нити, длина которого равна длине стержня (рис. 2). При каких углах $a$ стержень будет находиться после установки равновесия, если температура газа осталась неизменной? Obъем каждой половины цилиндра $V=1$ л, сечение цилиндра $S=100$ см², а $m=2M$.

3. В двух половин цилиндра, разделенных поршнем, находятся одинаковые массы $M$ азота при одинаковой температуре. Затем масса азота в одной из половин цилиндра увеличивается на $m$. На каком расстоянии $d$ от первого начального положения будет находиться поршень после установки равновесия, если температура газа осталась неизменной? Obъем каждой половины цилиндра $V=1$ л, сечение цилиндра $S=100$ см², а $m=2M$.

4. Сферические джедевая капля радиусом $R=2$ мм падает на землю с постоянной скоростью $v$. На сколько повышается температура капли за время $t=10$ с, если все вышешлещеся при движении коливесто теллоты идет на ее нагревание, а сила сопротивления воздействия описывается выражением $F_c=0,24\pi R^2v^2$ (в единицах СИ)?

5. Три точечных конденсатора емкости $C_0=1$ мкФ каждой соединены последовательно. Конденсаторы заряжены и отключены от источника. Заряд этой батареи $Q_0=10^{-4}$ Кл. Затем пространство между обкладками одного из конденсаторов полностью диаполяют ди-

Рис. 1. Рис. 2.