Задачи республиканских олимпиад

34

Задание
республиканских
олимппад

Наакануне математических
олимппад, которые будут проходит в большинсте соозных ресурубликки в дни весенних каникул, мы предлагаем нашим читателем позначить с неокторыми задачими, предлагавшимся на ресурубликских olимппадах в прошлом году.

1. Некоторые клетки бесконечного листа клетчатой бумаги okрашены в белый цвет, остальные — в красный. Наозем клетку особенной, если ее цвет отличен от цвета хотя бы одной из всём окружающих ее клеток. Докажите, что всегда найдется хотя бы 9 особенных клеток.

2. Докажите, что для любых чисел p и q суммарная длина отрезков оси $Ox$, на которых выполняется неравенство
   $$|x^2 + px + q| \leq 2$$,
   не превысит 4.

3. Всюду определенная функция f при любых x и y удовлетворяет соотношению $f(xy) = f(x) \cdot f(y) - f(x+y) + 1$, причем $f(1) = 2$. Найдите:

a) $f(m)$ для произвольного целого m;

6. $f\left(\frac{m}{n}\right)$ для произвольного рационального числа $\frac{m}{n}$.

4. На прямой даны точки $A, B$ и $C$, причем $B$ лежит между $A$ и $C$. На отрезках $AB, BC$ и $AC$, как на диаметрах, построены ресурубликности, лежащие по одному сторону от этой прямой. Перpendикуляр к $(AC)$, проведенный через точку $B$, пересекает большую полукружность в точке $D$.

a) Докажите, что общая касательная двух меныших полукружностей, отличная от $(BD)$, паралельна касательной к большей полукружности, проведенной через точку $D$.

6. Докажите, что точки $B, D$ и точки касания меныших полукружностей с их общей касательной являются вершинами прямого лилика.

5*. Учитель написал на доске многочлен степени 3. Один из учеников прибавил к этому многочлену его произвольную, либо вычел ее — по своему желанию. Полученный многочлен он написал на листке бумаги и передал его другому ученику. Тот ученик продолжал с новым многочленом — опять-tаки, по своему усмотрению, — одну из указанных выше двух операций (прибавление или вычитание произвольной) и листок с результатом передал следующее ученику, и так далее.

Через некоторое время у одного из учеников получился тот же самый многочлен, который был написан учительем не доске. Докажите, что хотя бы один из учеников ошибся.

6. По тем веткам дерева — по тем некомпланным луцам с общим началом $O$ — получит три жука, $A, B$ и $C$. В каждой момент времени расстояния от жуков до точки $\theta$ удовлетворяют соотношям
   $$\frac{1}{|OB|} - \frac{1}{|OA|} = 1, \quad \frac{1}{|OC|} - \frac{1}{|OB|} = 1.$$
   Докажите, что существует прямая l такая, что плоскость $(ABC)$ в любой момент времени проходит через $l$.

7. На двух одинаковых бумажных кругах художник нарисовал двух совершенной одинаковых дракона. На одном рисунке глаз дракона совпал с центром круга, а на втором не совпал. Докажите, что второй круг можно разрезать на части так, что из них можно сложить тот же круг с тем же драконом, у которой глаз находится в центре круга.

8. Внутри данного угла расположены две точки $A$ и

B. Постройте параллелограмм, у которой две противоположные вершины совпадают с $A$ и $B$, а две другие лежат на сторонах данной угла.

9. Найти длину сторон наименшего квадрата, в котором можно поместить без наложений три круга радиусов $1, \sqrt{2}, 2$.

10. Докажите, что множество чисел $1, 2, 3, \dots, 1413, 1414$ можно разбит на группы так, чтобы сумма чисел в каждой группе равная 1981.

11. По тем параллельным дорогам с постоянными скоростями $A, B, C$. В некоторых момент времени площадь треугольника $ABC$ равна $2\ m^2$, а через 5 секунд стала равна $3\ m^2$. Как изменится эта площадь еще через 5 секунд?

12. Доказать, что для произвольных $n$ различных натуральных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ выполняется неравенство
    $$\frac{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}{a_1 + a_2 + \dots + a_n} \geq \frac{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}{1 + 2 + \dots + n}.$$

13. Докажите, что если для всех $x \in ]-1; 1[$ выполняется неравенство
    $$|a_1 \sin b_1 x + a_2 \sin b_2 x + \dots + a_n \sin b_n x| \leq |\sin x|,$$
    то
    $$|a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n| \leq 1.$$

14. Существует ли многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами такой, что $P(19) = P(81) = 1981$, а $P(1981)$ равняется 19 или 81?

15. Докажите, что если выражение
    $$2\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right) + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} + \frac{1}{11} - \frac{1}{12}$$
    привести к общему знаменателю, то его числитель будет делиться на 13.