Основная теорема алгебры

4

движения, а не та линия, которую описывает движущая точка. Однако и ту же линию можно описать разными способами.

В процессе движения точка $z(t)$ в различных моменты времени может попадать в одну и ту же точку плоскости, так что не исключается равенство

$$z(t_2) = z(t_3)$$ при $t_2 \neq t_3$.

Таким образом, пусть может иметь самопересечения. Он может даже состоять из одной точки, именно в случае, когда точка $z(t)$ вовсе не перемещается при изменении $t$.

В дальнейшем, если это не будет оговорено специально, мы всегда будем предполагать, что пусть не проходит через начало координат, то есть что величина $z(t)$ ни при каком значении $t$ не обращается в нуль.

Toчка $z(t_0) = z_0$ называется началом пути, а точка $z(t_1) = z_1$ — его концом.

Если имеет место равенство $z_0 = z_1$, то пусть называется замкнутым (рис. 2).

Так как комплексно число $z(t)$ не обращается в нуль, для всякого значения $t$ определяен аргумент $\varphi(t)$ комплексно числа $z(t)$; но он определяен лишь с точностью до слагаемого $2k\pi$. Эта неоднозначность для нас не желательна. Для того чтобы освободиться от нее, мы выберем для начальной точки $z_0$ вполне определенный аргумент $\varphi_0 = \varphi(t_0)$.

Затем по мере возрастания $t$ будем выбирать аргумент $\varphi(t)$ точки $z(t)$ так, чтобы при малых изменениях $t$ он менялся мало. Этот неоднозначность выбора аргумента будет устранена. Добавление к аргументу числа $2k\pi$ при $k \neq 0$ приводило бы сразу к резкому изменению величины $\varphi(t)$. Выбрав начальное значение аргумента $\varphi(t_0) = \varphi_0$ и следя за тем, чтобы аргумент $\varphi(t)$ точки $z(t)$ менялся вместе с $t$ непрерывно, мы получаем вполне определенную функцию $\varphi(t)$, меняющую непрерывно, то есть без скачков. Если выбрать начальное значение аргумента $\varphi_0$ иначе, изменив его на $2k\pi$, то он будет отличаться от ранее выбранногоровно на $2k\pi$ на всем протяжении изменения $t$. Отсюда следует, что при таком способе построения функции $\varphi(t)$ величина

$$\varphi(t_1) - \varphi(t_0)$$

не зависит от случаяно выбранного начального значения аргумента числа $z_0$.

Если пусть замкнут, то точки $z_0$ и $z_1$ совпадают и, следовательно, их аргументы $\varphi(t_0)$ и $\varphi(t_1)$ могут отличаться лишь на $2k\pi$. Поэтому число (1) в случае замкнутого пути есть $2k\pi$. Целое число $k$ называется индексом замкнутого пути в плоскости комплексно первогоного $z$. Следует еще раз подернуть, что индекс замкнутого пути можно определить лишь в том случае, когда пусть не проходит через начало координат.

Индекс $k$ имеет простой геометрический смысл. Именно, он указывает, сколько раз точка $z(t)$, описывая замкнутый пути, обходит начало координат (рис. 3).

Рассмотрим простой пример. Пусть $1 + r(\cos t + i \sin t); 0 \leq t \leq 2\pi$ является замкнутым. Он описывает окружность с центром в точке 1 и радиусом $r$ и проходит окружность

5

с течение времени $t$ равномерно против часовой стрелки. Если число $r$ меньше 1, то окружность не содержит внутри себя начало координат и индекс пути равен 0. Если $r > 1$, то окружность содержит внутри себя начало координат, и индекс пути равен 1 (проверьте это самостояльно). В случае $r = 1$ пусть проходит через начало координат и его индекс не определялен. Если число $r$ меньше 2, как говоря, деформация замкнутого пути его индекс не меняется, если только пусть в какой-то момент деформация не проходит через начало координат.

Говоря, что пусть описывается движением точки во времени, мы лишь хотели придать более интуитивный характер определению пути. В действительности же речь идет о зависимости комплексного переменного $z$ от некоторого действияного параметра $t$ (который можно обозначить и другой буквой). Так, например, пусть (2) можно записать в виде $1 + r(\cos \alpha + i \sin \alpha); 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,$ (3) где параметром уже является не $t$, а $\alpha$. Ясно, что пусть (3) описывается точкой $1 + z$, когда точка $z$ описывает пусть

$$r(\cos \alpha + i \sin \alpha); 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi.$$

Здесь $r$ есть числовой параметр, от которого зависит сам пусть. Говоря, что при изменении $r$ пусть (3) деформауется.

Введем понятие деформации пути. Будем считать, что пусть деформация, если он постепенно меняется

$$r( \cos \alpha + i \sin \alpha ); 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi.$$

Рис. 4.

Деформация пути 1+r(cosα+i sinα) при изменении $r$

Рис. 5.

6

до 2π, аргумент точки $z^n$ меняется от 0 до $2n\pi$. Таким образом, индекс пути (5) равен $n$ (см. рис. 6, где схематически показан случай $n=3$).

Комплексные функции комплексного переменного

Если числовое значение комплексной переменной величины $w$ можно найти, зная числовое значение другой комплексной переменной величины $z$, то переменная величина $w$ называется функцией переменной величины $z$, что записьается в форме

$$w = f(z).$$

Если комплексная функция $f(z)$ комплексного переменного $z$ имеет произвольную, то она называется аналитической функцией. Теория аналитических функций является теперь одним из важнейших разделов математики. Здесь нас будут интересовать лишь аналитические функции очень частного вида, именно многочлены.

Рассмотрим многочлен

$$w = f(z) = z^n + a_1 z^{(n-1)} + \dots + a_{(n-1)} z + a_n,$$

где $a_1, a_2, \dots, a_n$ суть комплексные коэффициенты, а $n$ — неотрицательное целое число, которое называется степенью многочлена. Целью нашего исследования будет доказательство того, что многочлен (6) положительный степень имеет корень, то есть что уравнение

$$f(z) = 0,$$

где $f(z)$ — многочлен (6) и $n > 0$, имеет решение. Для доказательства этого мы рассмотрим замкнутый путь

$$f(r(\cos \alpha + i \sin \alpha)); 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,$$

которые описывают точка $f(z)$, когда точка $z$ описывает замкнутый путь

$$r(\cos \alpha + i \sin \alpha); 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi.$$

Случай, когда свободный член $a_n$ многочлена $f(z)$ равен 0, не требует рассмотрения, так как в этом случае многочлен $f(z)$ имеет оченьный корень $z = 0$. Поэтому мы будем считать, что $a_n \neq 0$. Замкнутый путь (7) зависит от параметра $r$ и при изменении параметра $r$ деформаруется. При $r = 0$ число $z$ равно 0, и путь $f(z)$ состоит из неподвижной точки $a_n$. Таким образом, его индекс при $r = 0$ равен 0. Мы доказем, что если взять $r$ достаточно большим, то индекс пути (7) равен $n$. Но по предположению $n \neq 0$, поэтому при изменении чисел $r$ от большого значения к нулю путь (7), деформаруется, прошёт при каком-то значении $r$ через начало координат, а это и значит, что при некотором значении $z$ функция $f(z)$ обратится в нуль, то есть корень у этого многочлена существует (рис. 7).

Для доказательства того, что при достаточно большом $r$ замкнутый путь (7) имеет индекс, равный $n$, продолжируем этот путь в более простой, индекс которого легко сосчитать.

Прежде всего мы разобем многочлен $f$ на сумму двух

$$f(z) = z^n + g(z),$$

где $g(z)$ задается формулой

$$g(z) = a_1 z^{n-1} + a_2 z^{n-2} + \dots + a_{n-1} z + a_n.$$

Многочлен $g(z)$ суть вполне определенные числа, то они все не преосходят по модulo неокоторую константу $C$. Из доказанного в предыдущей статье (см. «Квант», 1982, № 3) неравенства (8), распространенного на произвольное число слагаемых, следует, что при $|z| > 1$

$$|g(z)| \leqslant nC|z^{n-1}|.$$

Рассмотрим многочлен $f(z, s)$, зависящий от параметра $s$, $0 \leqslant s \leqslant 1$, задаваем следующей формулой:

$$f(z, s) = z^n + sg(z).$$

Мы имеем равенство

$$z^n = f(z, s) - sg(z),$$

откуда

$$|z^n| \leqslant |f(z, s)| + |-sg(z)| \leqslant |f(z, s)| + nC|z^{n-1}| \leqslant |f(z, s)| + nC|z^{n-1}|,$$

7

Рис. 7.

(см. (8)). Отсюда следует
$$|f(z, s)| \geq |z^n| - nC |z^{n-1}|.$$

Обозначим $|z|$ через $r$, тогда последнее неравенство принимает вид
$$|f(z, s)| \geq r^n - nCr^{n-1} = r^{n-1}(r - Cn).$$

Таким образом, при $r > Cn$ права часть предыдущего неравенства положительного. Следовательно, модель функции $f(z, s)$ не обращается в нуль ни при каком значении $S$, если только $0 \leq s \leq 1$.

Обратим внимание теперь на тот факт, что при $s = 0$ многочлен $f(z, s)$ превращается в известный нам многочлен $z^n$. А индекс пути $z^n$, когда $z$ описывает окружность $r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$, нами уже сосчитан (см. (5)). Он равен $n$. При $s = 1$ многочлен $f(z, s)$ превращается в многочлен $f(z)$ и определяемый им путь (7) имеет индекс, тоже равный $n$. Итак, мы доказали, что индекс пути (7), определяемый многочленом $f(z)$, при $r > Cn$ равен $n$. Из этого, как сказано выше, уже следует, что многочлен $f(z)$ обращается в нуль при некотором значении $z$, где $|z| < Cn$.

Итак, основная теорема алгебры доказана.

Деление многочленов

При делении целого положительного числа $a$ на целое положительное число $b$ мы приходим к равенству
$$a = bh + k,$$
где $h$ и $k$ — целые неотрицательные числа и $k < b$. Число $h$ называется частным, а $k$ — остатком при делении числа $a$ на число $b$.

Способ деления чисел хорошего из арифметики. Но так же, как целые числа, можно делить друг на друга и многочлены. Будем исходить из двух многочленов
$$a(z) = a_0 z^p + a_1 z^{p-1} + \dots + a_p,$$
$$b(z) = b_0 z^q + b_1 z^{q-1} + \dots + b_q.$$

Мы будем предполагать здесь, что числа $a_0$ и $b_0$ не равны нулю, так что многочлен $a(z)$ имеет степень $p$, а многочлен $b(z)$ имеет степень $q$. В результате деления многочлена $a(z)$ на многочлен $b(z)$ мы можем прийти к следующему равенству, аналогичному равенству (9):
$$a(z) = b(z)h(z) + k(z),$$
(10)

где степень многочлена $k(z)$ меньше $q$. Многочлены $h(z)$ и $k(z)$ называются, соответственно, частным и остатком при делении многочлена $a(z)$ на многочлен $b(z)$.

Если $k(z) = 0$, то говорят, что многочлен $a(z)$ делится на многочлен $b(z)$, а $h(z)$ является частным от их деления.

Равенство (9) доказано в арифметике, а равенство (10) должно доказывать в алгебре. Но деление многочленов не входит в ниле действияующего школьную программу. Чтобы доказать (10), мы должны построить такие многочлены $h(z)$ и $k(z)$, которые удовлетворяют этому равенству. Процесс этого построения представляется собой очень важный алгоритм. Опишем его.

Если $p < q$, то тогда $h(z) = 0$, $k(z) = a(z)$, и равенство (10) выполнен.

Теперь мы будем строить многочлены $h(z)$ и $k(z)$ в предположении, что $p \geq q$. Сперва построим равенство
$$a(z) = b(z)h_1(z) + a_1(z),$$
(11)
в котором строить многочлена $a_1(z)$ меньше $p$. Для этого положим
$$h_1(z) = \frac{a_0}{b_0}z^{(p-q)}.$$

Тогда разность
$$a(z) - b(z)h_1(z) = a_1(z)$$
имеет степень меньше, чем $p$, так как в этом многочлене коэффициент при $z^p$ равен нулю, а остальные степени $z$, входящие в этот многочлен, очень меньше $p$. Таким образом, равенство (11) построено.

8

Если многочлен $a_1(z)$ имеет степень меньше, чем $q$, то равенство (11) уже является равенством (10). В противоположном случае к многочлену $a_1(z)$ применим ту же процедуру, которая применена к многочлену $a(z)$ при построении равенства (11). И тогда мы получим для него равенство

$$a_1(z) = b(z)h_2(z) + a_2(z),$$

причем степень многочлена $a_2(z)$ уже меньше, чем степень многочлена $a_1(z)$. Если многочлен $a_2(z)$ уже имеет степень меньше, чем $q$, то подставляя $a_1(z)$ из последнего равенства в равенство (11), мы получим

$$a(z) = b(z)(h_1(z) + h_2(z)) + a_2(z),$$

которое уже является равенством (10). Если многочлен $a_2(z)$ тоже имеет степень больше, чем $q$, то мы продолжим наше построение дальнейше, и в конце концов докажем нужное равенство (10).

Здесь мы описали процесс деления многочлена $a(z)$ на многочлен $b(z)$, то есть нахождение многочленов $h(z)$ и $k(z)$, входящих в равенство (10). Докажем теперь, что они однозначно определяны многочленами $a(z)$ и $b(z)$. Допустим, что нарушу с равенством (10) имеет место равенство

$$a(z) = b(z)h_0(z) + k_0(z),$$

причем степень многочлена $k_0(z)$ меньше $q$. Вычитая равенство (12) из равенства (10), получим

$$b(z)(h(z) - h_0(z)) = k_0(z) - k(z).$$

Так как степень многочлена $b(z)$ равна $q$, а степень многочлена $k_0(z) - k(z)$ меньше $q$, то последнее равенство может иметь место лишь при условии $h(z) - h_0(z) = 0$, так что и $k(z) - k_0(z) = 0$.

Многочлены с произвольными комплексными коэффициентами

Теперь существуетющий по основной теореме алгебры корень многочлена $f(z)$ с комплексными коэффициентами обозначим через $z_1$. Докажем, что многочлен $f(z)$ делится на двулен $(z - z_1)$. Производа деление многочлена $f(z)$ на многочлен первого степени $(z - z_1)$ по правилам, описанным в предыдущем разделе, мы получим частное, которое обозначим через $f_1(z)$, и некоторый остаток в виде многочлена нулевой степени, то есть числа, которое мы обозначим через $k$. Таким образом, имеем

$$f(z) = f_1(z)(z - z_1) + k.$$

Так как $f(z_1) = 0$, то полагая в предыдущем равенстве $z = z_1$, получаем $k = 0$.

Итак, многочлен $f(z)$ разделился на $(z - z_1)$, и мы имеем

$$f(z) = (z - z_1)f_1(z),$$

где $f_1(z)$ — многочлен степени $n-1$, который, очевидно, начинается с члена $z^{n-1}$. Если $n > 1$, то $n-1 > 0$; тогда многочлен $f_1(z)$ будет положительным степени и, по доказанному ранее, имеет некоторый корень $z_2$. Таким образом, по только что доказанному, многочлен $f_1(z)$ разделяется на многочлен

$$f_1(z) = (z - z_2)f_2(z).$$

(13)

Продолжая этот процесс dalleше, мы получим разложение $f(z)$ на $n$ линейных многочленей

$$f(z) = (z - z_1)(z - z_2) \dots (z - z_n).$$

Числа $z_1, z_2, \dots, z_n$ являются корнями многочлена $f(z)$, и других корней многочлен $f(z)$, очевидно, не имеет. Можно, однако, оказаться, что один и тот же корень встречается в этом разложении несколько раз. Группируя равные между собой корни, мы получаем разложение

$$f(z) = (z - z_1)^{k_1}(z - z_2)^{k_2} \dots (z - z_q)^{k_q},$$

где все корни $z_1, z_2, \dots, z_q$ различны. Число $k_1$ называется кратностью корня $z_1$, число $k_2$ — кратностью корня $z_2$, и так далее, число $k_q$ — кратностью корня $z_q$. Таким образом, число различных корней многочлена $f(z)$ может быть и меньше, чем $n$. Однако если учитывать кратность каждой корня, то сумма кратностей в точности равна $n$. В этом смысле многочлен $f(z)$ имеетровно $n$ корней.

Многочлены с действительными коэффициентами

Рассмотрим теперь случай, когда все коэффициенты многочлена $f(z)$ — действительные числа. О корнях та-

9

кого многочлена можно высказать некоторые весы интересные дополнительные сообщения.

Для рассмотрения многочлена с действительными коэффициентами введем понятие числа $\bar{z}$, комплексного сопряженного данному комплексному числу $z$. Именно, если
$$z = x + iy,$$
то, по определению, число
$$\bar{z} = x - iy$$
(14)

называется комплексно сопряженным с $z$. Таким образом, число $\bar{z}$, комплексного сопряженное с числом $z$, является зеркальным образом числа $z$ относительно оси действительных чисел.

Если
$$z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha),$$
то
$$\bar{z} = r(\cos \alpha - i \sin \alpha) = r(\cos (-\alpha) + i \sin (-\alpha)).$$
(15)

Таким образом, аргументы двух комплексно сопряженных чисел отличаются лишь знаком. Из формулы (14) следует, что
$$\bar{z}_1 + \bar{z}_2 = \bar{z}_1 + \bar{z}_2.$$
Из формулы (15) следует, что
$$\bar{z}_1 \bar{z}_2 = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2.$$
Заметим еще, что равенство
$$\bar{z} = z$$
имеет место тогда и только тогда, когда $z$ есть действительное число.

Из трех предыдущих формул легко получить, что для многочленов $f(z)$ с действительными коэффициентами имеет место равенство
$$\bar{f}(\bar{z}) = f(\bar{z}).$$
Из этого равенства следует, что если $z_1$ есть корень многочлена $f(z)$ с действительными коэффициентами, то $\bar{z}_1$ есть также его корень. В случае, если $z_1$ есть действительное число, то это утверждение бессодержательно. В случае, если $z_1$ не есть действительное число, то утверждение указывает на существование наряду с корнем $z_1$ отличного от него корня $\bar{z}_1$. Таким образом, если $z_1$ — не действительное число, то многочлен $f_1(z)$ (см. (13)) имеет делитель $(z - \bar{z}_1)$, и мы получаем разложение на множители

$$f(z) = (z - z_1)(z - \bar{z}_1)f_2(z).$$
Поляга в этом равенстве
$$z_1 = x_1 + iy_1,$$
получаем
$$f(z) = (z^2 - 2x_1z + x_1^2 + y_1^2)f_2(z).$$

Таким образом, мы видели у многочлена $f(z)$ действительный квадратический множитель $z^2 - 2x_1z + x_1^2 + y_1^2$. Отсюда следует, что многочлен $f_2(z)$ — также многочлен с действительными коэффициентами, так как он получается в результате деления многочлена $f(z)$ на действительный квадратический трехчлен. Следовательно, у этого многочлена $f_2(z)$ комплексные корни опять попарно сопряжены. Если у него найдется корень, равный уже равен найdenному корню $z_1$, то найдется и корень $\bar{z}_1$. Таким образом, в этом случае из многочлена $f_2(z)$ выделяется один квадратический множитель, равный прежнему квадратическому множитель. Из этого видно, что кратность комплексного корня многочлена $f(z)$ с действительными коэффициентами равна кратности сопряженного корня, и мы получаем разложения многочлена $f(z)$ на действительные множители:

$$f(z) = (z^2 - 2x_1z + x_1^2 + y_1^2)^{k_1} \dots (z^2 - 2x_pz + x_p^2 + y_p^2)^{k_p} \times (z - z_{p+1})^{k_{p+1}} \dots (z - z_q)^{k_q}.$$

Заметим, что квадратические множители вида
$$z^2 - 2x_i z + x_i^2 + y_i^2, \quad i = 1, 2, \dots, p,$$
в которых все $y_i$ не равны нулю, уже не разлагаются на действительные множители.