Надо ли искать ОДЗ?

39

Надо ли искать ОДЗ?

Традиционный вид задач на вступительных экзаменах вузы — уравнения, неравенства, системы (уравнения или неравенств).

Многочисленные пособия для школьников и абитриентов при их решении часто дают безоговорочную рекомендацию: «Сначала ищем ОДЗ!» По-видимому, отголоском этой рекомендации является художественный оформленный признав «Помни ОДЗ!», висевший в одном из ленинградских ПТУ.

Прежде всего заметим, что аббревиатуры ОДЗ в нынешних школьных учебниках нет. Словосочетание «Области Допустимых Значений» означает «области определения».

ОДЗ уравнения или неравенства — это, по определению, пересечение ОДЗ его левой и правой части.

Так, надо ли решение уравнения (неравенства, системы) начинать с понска ОДЗ? Обязательно ли, решая уравнение (неравенство, система), искать ОДЗ, тем более — начинать решение с понска ОДЗ, не обязаτεльно; как правило, то есть в большей части уравнения (неравенств, системе), предлагаемых обычно на вступительных экзаменах, начинать решение с понска ОДЗ не надо; иногда, в некоторых специально подобранных или более трудных уравнениях (неравенств, системы), полезно начиная решение с понска ОДЗ.

Как правило, не надо

$$\sqrt{x^2-3x+4}=1-3x. \tag{1}$$

Уравнение (1) равносильно системе

$$\begin{cases} x^2-3x+4=(1-3x)^2 \\ 1-3x\geq 0, \end{cases}$$

решить которую уже нетрудно. (Между прочитам, неравенство $x^2-3x+4\geq 0$, определяющее ОДЗ уравнения (1), вытекает из уравнения, входящо в систему (2).) Можно также при желании от уравнения (1) перейти к выводному*) уравнение $x^2-3x+4=(1-3x)^2$ и найтиные корни проверить. (Решив вместе уравнения (1) равносильно ему системы (2), проверку делать, конечно, не нужно.) Этот пример: переходит не к равносильно, а к выводному и делать проверку — надо иметь в виду и в других рассматриваемых примерах.

Легко доказать, что любое уравнение вида

$$\sqrt{f(x)}=g(x) \tag{3}$$

равносильно системе

$$\begin{cases} f(x)=[g(x)]^2 \\ g(x)\geq 0. \end{cases}$$

В самом деле. Если $x_0$ является корнем уравнения (3), то есть справедливо числовое уравнение $\sqrt{f(x_0)}=g(x_0)$, то $f(x_0)=[g(x_0)]^2$ и $g(x_0)\geq 0$; значит, $x_0$ является решением системы (4). Если же, обратно, $x_0$ является решением системы (4), то есть справедливо числовое уравнение $f(x_0)=[g(x_0)]^2$ и $g(x_0)\geq 0$, то $\sqrt{f(x_0)}=\sqrt{[g(x_0)]^2}=|g(x_0)|$; поскольку $g(x_0)\geq 0$, $|g(x_0)|=g(x_0)$; значит, $x_0$ является корнем уравнения (3).

В уравнения (1) поиск ОДЗ приводит к ненужному, но легко выполняетсяному расчету. Однако иогда абитриентом, привышим всегда искать ОДЗ, возникают непредодолимые трудности. Так, установливая ОДЗ уравнение $\sqrt{x^3-x+1}=\sqrt{1-x}$, он, верогнутно, не справится с неравенством $x^3-x+1\geq 0$, в то время как рассматриваемое уравнение равно

$$*) См. п. 74 пособия «Алгебра и начала ana-лиза 9—10» (М., «Просвещение», 1981).$$

40

сильно системе
$$\begin{cases} x^3 - x + 1 = 1 - x \\ 1 - x \geqslant 0, \end{cases}$$

решаемой мгновенно.

Вообще, любое уравнение вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ равносильно «на выбор» каждой из систем
$$\begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) \geqslant 0 \end{cases}$$

Выбирая «более легкую» из них, обычно удается обойтись без поиска ОДЗ.

Уравнение $\sqrt{x+4} - \sqrt{x-1} = 1$ равносильно уравнению
$$\sqrt{x+4} = 1 + \sqrt{x-1},$$
(5)

которое, в свою очередь, равносильно уравнению
$$x+4 = (1 + \sqrt{x-1})^2.$$

В самом деле, если $x_0$ является корнем уравнения (5), то оно, конечно, является и корнем уравнения (6): уравнение $[f(x)]^2 = [g(x)]^2$ в сердда, то есть при любых $f$ и $g$, является выводным из уравнения $f(x) = g(x)$. Если же обратно, $x_0$ является корнем уравнения (6), то есть справедливо числовое равенство $x_0 + 4 = (1 + \sqrt{x_0-1})^2$, то, прежде всего, $x_0 + 4 \geqslant 0$; значит, $\sqrt{x_0+4} = \sqrt{(1 + \sqrt{x_0-1})^2} = |1 + \sqrt{x_0-1}|$; поскольку $1 + \sqrt{x_0-1} \geqslant 0$, $|1 + \sqrt{x_0-1}| = 1 + \sqrt{x_0-1}$; следовательно, $x_0$ является корнем уравнения (5).

Уравнение (6) равносильно каждому из уравнений
$$x+4 = 1 + 2\sqrt{x-1} + x-1,$$
$$\sqrt{x-1} = 2,$$
$$x-1 = 4.$$

Уравнение $\sqrt{x+3} + \sqrt{3x-2} = 7$ равносильно, конечно, уравнение $\sqrt{x+3} = 7 - \sqrt{3x-2},$ (7)
но, в отличие от предыдущего случая, уравнение (7) не равносильно уравнению $x+3 = (7 - \sqrt{3x-2})^2$; оно равносимо, ввиду доказанной выше равносимости (3) и (4), системе
$$\begin{cases} x+3 = (7 - \sqrt{3x-2})^2 \\ 7 - \sqrt{3x-2} \geqslant 0 \end{cases}$$
и, далее, каждому из систем
$$\begin{cases} x+3 = 49 - 14\sqrt{3x-2} + 3x-2 \\ \sqrt{3x-2} \leqslant 7, \end{cases}$$
$$\begin{cases} 7\sqrt{3x-2} = x+22 \\ \sqrt{3x-2} \leqslant 7, \end{cases}$$
$$\begin{cases} 49(3x-2) = (x+22)^2 \\ 3x-2 \leqslant 49. \\ x+22 \geqslant 0. \end{cases}$$

Аналогично можно решить уравнение $\sqrt{x-2} + \sqrt{1-x} = 3$, однако в данной случае проще сразу тить, что его ОДЗ есть пустое множество и, следовательно, корней оно имеет.

---

Перейдем к неравенствам
$$3\sqrt{6+x-x^2} > 4x-2.$$

Неравенство (8) равносильно совокупности
$$\begin{cases} 4x-2 \geqslant 0 \\ 9(6+x-x^2) > (4x-2)^2 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 4x-2 < 0 \\ 6+x-x^2 \geqslant 0. \end{cases}$$

(Решая вторую из системы (9), мы заодно. находим ОДЗ неравенства (8).)

В самом деле, пусть сначала $x_0$ является решением неравенства (8), то естьправедливо числовое неравенство $3\sqrt{6+x-x^2} > 4x-2$. Докажем, что тогда $x_0$ является решением одной из систем (9). Расмотрим два случая: $4x_0-2 \geqslant 0$ и $4x_0-2 < 0$. Если $4x_0-2 \geqslant 0$, то по одному из свойств числовых неравенств (если $a > b \geqslant 0$ и $n \in \mathbb{N}$, то $a^n > b^n)$ $9(6+x-x^2) > (4x_0-2)^2$; также обозрам, в этом случае $x_0$ является решением первого из системы (9). Если же $4x_0-2 < 0$, то $x_0$ является решением второй из системы (9), поскольку справедливо и, естественно, $\sqrt{6+x-x^2} \geqslant 0$; из $4x_0-2 < 0$ следует $\sqrt{6+x-x^2} > 4x_0-2$, то есть $x_0$ опять является решением неравенства (8).

Легко доказать, что любое неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности системы
$$\begin{cases} g(x) \geqslant 0 \\ f(x) > [g(x)]^2 \end{cases}$$

(Неравенство $\sqrt{f(x)} \geqslant g(x)$ решается аналогично.)

Проще обойти дело с решением неравенства вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$; так

*) См. скоку на с. 229 вышуказанного по-собия.

41

кое неравенство равносильно одной системе
$$\begin{cases} f(x) < [g(x)]^2 \\ f(x) \geq 0 \\ g(x) > 0. \end{cases}$$

Нераваренство $\sqrt{x^3-x-1} > \sqrt{x^3-1}$ равносильно системы
$$\begin{cases} x^3-x-1 > x^3-1 \\ x^3-1 \geq 0. \end{cases}$$

Любое неравенство вида $\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}$ равносильно системы
$$\begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) \geq 0. \end{cases}$$

---

Решим два более сложных неравенства. (Проверьте, научились ли вы доказывать равносильность, — доказите каждую из указаных ниже равносильностей.)
$$18\sqrt{2x-3}-9\sqrt{(2x-3)(x-2)} \geq 2\sqrt{x-2}$$
$$18-9\frac{\sqrt{(2x-3)(x-2)}}{\sqrt{2x-3}} \geq 2\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{2x-3}},$$
$$18-9\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{2x-3}}-2\left(\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{2x-3}}\right)^2 \geq 0.$$

Множество решения вспомогательного неравенства $18-9t-2t^2 \geq 0$ равно $[-6; \frac{3}{2}]$. Следовательно, неравенство (11) равносильно неравенству
$$0 \leq \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{2x-3}} \leq \frac{3}{2}$$
$$0 \leq \frac{x-2}{2x-3} \leq \frac{3}{2}$$
$$x-2 \geq 0$$
$$2x-3 > 0$$

(чтобы написать систему, равносильную неравенствам (12), мы были вынуждены приписать неравенства, заданное фактически ОДЗ неравенствам (10))

$$\begin{cases} 0 \leq \frac{x-2}{2x-3} \leq \left(\frac{3}{2}\right)^4 \\ x-2 \geq 0 \\ 2x-3 > 0 \end{cases}$$

Дальнейшее решение очевидно.
Нераваренство
$$\frac{(x-1)^2}{(3+\sqrt{8+x})^2} > x-7$$
равносильно совокупности системы
$$\begin{cases} \frac{(x-1)^2}{(3+\sqrt{8+x})^2} > x-7 \\ 3-\sqrt{8+x} = 0 \end{cases}$$
$$\frac{(x-1)^2}{(3+\sqrt{8+x})^2} > x-7$$
$$3-\sqrt{8+x} \neq 0.$$

Первая из этих систем имеет решение $x=1$. Вторая система равносильна система

$$\begin{cases} \frac{(x-1)^2}{(3-\sqrt{8+x})^2} > x-7 \\ 3-\sqrt{8+x} \neq 0, \end{cases}$$
$$\frac{(x-1)^2}{(3-\sqrt{8+x})^2} > x-7$$
$$x \neq 1,$$
$$\frac{(3-\sqrt{8+x})^2}{(1-x)^2} > x-7$$
$$x \neq 1,$$
$$\frac{(3-\sqrt{8+x})^2}{(1-x)^2} > x-7$$
$$x \neq 1,$$

С неравенством $\sqrt{8+x} < 4$ мы уже справляться научились.

Иногда полезно

Решать уравнение
$$\sqrt{2-x}+x-3=\sqrt{x-1}$$
(13)
возведением в квадрат «кисло» (получается полное уравнение четырёх степени). Поэтому найдем сначала ОДЗ уравнения — [1; 2]. На ОДЗ
$$\sqrt{2-x}+x-3 \leq \sqrt{2-1}+x-3 = x-2 \leq 0.$$
С другой стороны, $\sqrt{x-1} \geq 0$. Следовательно, уравнение (13) равносильно системе
$$\begin{cases} \sqrt{2-x}+x-3=\sqrt{x-1} \\ \sqrt{x-1}=0, \end{cases}$$