Решения задач М876—М878, М880; Ф887—Ф889

38

P906. A conductor whose resistance depends on temperature is connected to a source of constant tension $U$. The resistance of the conductor depends on temperature according to the rule $R=R_0(1-\mu t)$, where $R_0$ is the resistance at $t=0$ °C, $\mu>0$. Determine the established temperature of the conductor if the surrounding temperature is $0$ °C, while the power of heat loss to the surroundings is $W=b \cdot \Delta t$, where $\Delta t$ is the temperature difference between the conductor and the surroundings. Changes in the conductor’s size may be neglected.

P. Yu. Vinokur

P907. Two metallic balls of mass $m$ each, whose radii are $r$ and $2r$ are placed in an electric field whose tension is directed from the larger ball to the smaller one and equals $E$. The distance between the centres of the balls is $R_0=4r$. The larger ball carries the charge $q(kq/r^2 \ll E)$, the small one is uncharged. The ball are released. The time between the first and second collisions of the ball is $\tau$. Find the time between the $n$-th and $(n+1)$-st collisions and the distance covered by the balls during that time. What is their average acceleration during a sufficiently long period of time? The collisions are assumed absolutely elastic.

A. A. Lapides

Решения задач

M876 — M878, M880*); Ф887 — Ф889

Будем считать, что окружность расположена вне треугольника $PCD$ (см. рисунок; второй случай, когда она висена в этот треугольник, рассматривается аналогично). Пусть $C'$ и $D'$ — точки пересечения сторон угла с касательной к окружности в точке $A$, так что (в рассматриваемом случае) данная окружность висена в треугольник $PC'D'$. Очевидно, что этот треугольник готовится треугольнику $PCD$ с центром $P$, следовательно, $E$ — точка касания висанной окружности треугольника $PCD$ со стороны $CD$. Обозначим через $M, M', N$ и $N'$ точки касания этих двух окружностей с прямыми $PC$ и $PD$. По теореме о равенстве касательных, проведенных к окружности из одной точки,

$$2|BC| + |BE| = |BC| + |CE| = |M'C| + |CM| = |M'M|,$$

аналогично,

$$2|DE| + |BE| = |N'N|,$$

по той же теореме, $|M'M| = |PM'| - |PM| = |PN'| - |PN| = |N'N|$, поэтому $|BC| = |DE|$, что и требовалось.

A. C. Меркурьев

*) Решение задачи M879 войдет в статью «Теорема Виета и вспомогательный многочлен», публикуемую в «Кванте» № 12 за этот год.

39

М877. Из листа клецчатой бумаги размеры 29×29 клеtok вырезали 99 квадратков размеры 2×2 каждый. Докажите, что из него можно вырезать еще один квадратик.

На рисунке серым цветом закрашены 100 квадратков 2×2. Вырезая из исходного квадрата 29×29 любой квадратик 2×2, мы «задеваем»ровно один квадратик. Следовательно, после 99 таких операций один из серых квадратков останется нетронутым.

С. В. Фомин

М878. Докажите, что если сумма плоских углов при вершине парамды больше 180°, то каждое боковое ребро парамды меньше полуперimetра ее основания.

Пусть $SA_1 \dots A_n$ — данная парамида. Разрежем ее боковую поверхность по ребру $SA_1$ и развернем ее на плоскость (см. рисунок, на котором $SA_1$ и $SA_1'$ — это два экземпляра ребра $SA_1$, образовавшиеся в результате разрезания, так что $|SA_1| = |SA_1'|$). Из условия задачи следует, что точка $S$ лежит внутри многоугольника $A_1 \dots A_nA_1'$. Продолжая отрезок $A_1'$ $S$ за точку $S$ до пересечения с ломаной $A_1 \dots A_nA_1'$, мы получим точку $B$, разбиивающий ломаню на две части: ломаную $A_1 \dots B$ длины $a$ и ломаную $A_1' \dots B$ длины $b$. Из неравенств $|SA_1| < a + |SB|$, $|A_1'S| + |SB| = |A_1'B| < b$ следует, что $2|SA_1| = |SA_1| + |SA_1'| < a + |SB| + |A_1'S| = a + b = |A_1A_2| + ... + |A_{n-1}A_n| + |A_nA_1'|$.

Остается заметить, что в правой части стопперметр основания парамиды.

Ю. И. Ионин

М880*. В последовательности 1, 0, 1, 0, 1, 0, … каждый член, начняя с седьмого, равен последней цифре суммы предыдущих. Докажите, что в этой последовательности не встречается подряд шесть чисел 0, 1, 0, 1, 0, 1.

Эту задачу схематически можно представить так: задано преобразование некоторого множества (множества шестерок чисел; шестерке $(x_1, \dots, x_6)$ сопоставляется $(x_2, \dots, x_6, x_7)$, где $x_7$ — последняя цифра суммы $x_1 + \dots + x_6$); требуется доказать, что повторяя это преобразование, из одной данной «точки» множества (шестерки $(1, 0, 1, 0, 1, 0)$) нельзя получить другую (шестерку $(0, 1, 0, 1, 0, 1)$). Очень часто такие задания решения решить, найдая инвариант, то есть величину, не изменяющего при заданном преобразовании: достаточно установить, что значение инварианта для двух данных «точек» различны *).

В нашем случае такой величины может служить последняя цифра числа $s(x_1, \dots, x_6) = 2x_1 + 4x_2 + 6x_3 + 8x_4 + 10x_5 + 12x_6$. В самом деле, просто вычисление показывает, что разность $s(x_2, \dots, x_7) - s(x_1, \dots, x_6)$ (далее цифра $x_1 + \dots + x_6$) равна $10x_7 + 2(x_7 - (x_1 + \dots + x_6))$, то есть окончательно нулю.

*) Об инвариантах мы расссказывали неоднократно: см., например, статью А. Ходулева «Расселенение физек» («Квант», 1982, № 7, c. 28); там же приводятся ссылки и на другие статьи по этой теме. Ряд задач на инварианты можно найти в «Кванте» № 10 за 1983 г. на с. 30.

40

lem. Следовательно, последние цифры чисел $s(x_1, \dots, x_6)$ и $s(x_2, \dots, x_7)$ совпадают: указывая намивлична — действительное инвариант. Остается проверить, что ее значения для заданных в условиях шестерок различины:
$$s(1, 0, 1, 0, 1, 0) = 18, s(0, 1, 0, 1, 0, 1) = 24.$$
A. C. Меркурьев

Ф887. На проразное стеклянное тело, представляющее собой два соедининых оснований конуса, падает пучок параллельных световых лучей, имеющих круглое сечение диаметра $d$ (рис. 1,a). Размеры тела указаны на рисунке 1,a; показатель преломления стекла n. Кавая картина будет наблюдаться на экране, установленном на расстоянии $l$ от тела?

◆ Изображение на экране будет различным в зависимости от соответствия между $a$, $d$ и $l$.

1. Расстоярим случай, когда луч $I(I')$ после преломления на грани $AB(AD)$ попадает в точку $C$ (см. рис. 1,a). В этом случае после двукратного преломления лучей (на гранях $AB$ и $DC$, $AD$ и $BC$) пучок остается параллельным $AC$ и на экране получится равномерно освещенный круг (рис. 1,6) диаметра $d$. Получающая картина от $l$ не зависит.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

варнит, определяем из рисунка 1,a:
$$\frac{d_1}{2} = |KA| \sin \alpha = (a - |BK|) \sin \alpha = (1 - tg \alpha) \sin \alpha.$$
Подставляя
$$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin \beta = \frac{\sin \alpha}{n}, \text{tg} \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{1}{\sqrt{2n^2 - 1}}.$$
получаем:
$$d_1 = a\sqrt{2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2n^2 - 1}}\right).$$

41

2. Пусть $0 < d_2 < a\sqrt{2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2n^2-1}}\right)$. В этом случае каждый луч после двукратного преломления будет новый паралелен $AC$ (рис. 2, а). На экране получится равномерно освещенное колюцо (рис. 2, б). Радиусы внутри и внешней окружности колюца —

$$r_1 = \frac{a}{\sqrt{2}}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2n^2-1}}\right) + \frac{d_2}{2\sqrt{2}},$$

$$r_2 = \frac{a}{\sqrt{2}}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2n^2-1}}\right) + \frac{d_2}{2\sqrt{2}}(1 + 2\sqrt{2}).$$

Получаются картина от $l$ не зависит.

3. Пусть $a\sqrt{2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2n^2-1}}\right) < d_2 < a\sqrt{2}$. В этом случае (рис. 3, а) картина, получющаяся на экране, зависит от того, на каком расстоянии от точки $C$ находится экран. На рисунке 3, б показаны картины, получшиеся при разных положениях экрана: $\exists_1, \exists_2, \exists_3$.

А. В. Хельвас

Ф888. На рисунке изображена прициппальная схема грамметра — прибора для измерения варшацей ускорения свободного падения $g$. В теплозолювованных газовых баллонах $1$ и $2$ давления соответственно $p_1 \approx 2 \cdot 10^4$ Pa и $p_2 \approx 3 \cdot 10^4$ Pa. Цилиндрические сосоды $A$ и $B$ радиуса 10 см и соединицая их трубка заполнены рутью. Поверх력 налита очень легкая жидкость (толуол); эта жидкость заполняет также частью капилляры радиуса 1 мм, соединицание сосоды $A$ и $B$ с баллонами 1 и 2. Опишите процесс измерения варшацей ускорения $g$ с помощью этого прибора. Какова величина варшацей $g$, которые можно зарезервировать этим грамметром, если известно, что при измерениях в разных пунктах измерения разности горизонтальных смесений толуола в капиллярах могут достигать несколько

◆ Предположим, что в некоторых пунктке на поверхности Земли разность уровней рутии в сосудах $A$ и $B$ оказывается равной $h_0$. Если разность давления $p_2$ и $p_1$ в сосудах фиксирована, то из условия $p_2 - p_1 = \varrho g_0 h_0$ определяется значение ускорения свободного падения $g_0$ в данной пунктке:

$$g_0 = \frac{p_2 - p_1}{\varrho h_0}.$$

В другом пункте ускорение будет отличаться от $g_0$; пусть оно равно $g = g_0 + \Delta g$. Разность уровней рутии в сосудах $A$ и $B$ будет теперь $h = h_0 + \Delta h$. При сохранении разности давления в сосудах и при малых варшацях $\Delta g$ и, соответственно, малых приращениях $\Delta h$

$$\frac{\Delta h}{h_0} \approx \frac{\Delta g}{g_0}.$$

Таким образом, порядок величины варшацей $\Delta g$ определяется порядком измерения $\Delta h$. Измерить непосредственно малые приращения $\Delta h$ трудно. Чтобы определить значение $\Delta h$, поверх력 налита легко удовлетворяет требованиям толуола в капиллярах равна $\Delta l$ (эта величина измеряется), то, очевидно,

$$\Delta h \cdot S = \Delta l \cdot s,$$

где $S$ и $s$ — площади секений сосудов и капилляров, соответствующих.

$$\frac{\Delta g}{g_0} \approx \frac{\Delta h}{h_0} = \frac{s}{S} \frac{\Delta l}{h_0} = \frac{s}{S} \left( \frac{\varrho g_0 \cdot \Delta l}{p_2 - p_1} \right).$$

По условиям $s/S \sim 10^{-4}$, $\varrho \sim 10^4$ кг/м$^3$, $(p_2 - p_1) \sim 10^4$ Pa, $\Delta l \sim 10^{-2}$ м. Поскольку $g_0 \sim 10$ м/c$^2$, относя

42

Миллиметров (до 1 см)? Температура во время разных изменений поддерживает постоянной плотность ртути $\varphi = 13,5 \cdot 10^3 \text{ ке/м}^3$.

Ф889. Солнце находится на угловой высоте ф над горизонтом. Под каким углом α к поверхности Земли нужно бросить тело в вертикальной плоскости, проходящей через Солнце, чтобы тело тела прошана набольшей путь по Земле?

Рассмотрим отдельно случай, соответствующий различным соответствиим между α и φ.

1. Если бросать тело под углом α≤φ, то путь, проходимый тенью за время полета тела, будет равен дальнейсти полета, то есть $S_1 = \frac{1}{g} v_0^2 \sin 2\alpha$ (см. рис. 1).

При $\varphi < 45^\circ$ ($\alpha < 45^\circ$) значение $S_1$ тем больше, чем больше α; следовательно, надо бросать тело под углом α=φ, и тогда

$$S_{1\max} = \frac{1}{g} v_0^2 \sin 2\varphi. \tag{1}$$

Если же $\varphi \geq 45^\circ$, то α должно быть равным 45°, так как $S_1$ максимально при $\alpha=45^\circ$ (в этом случае $S_{1\max} = \frac{1}{g} v_0^2$).

2. Если бросать тело под углом α>φ, то тень пройдет путь, равный (см. рис. 2)

$$S_2 = 2|OA| + S_x = 2|OA| + \frac{1}{g} v_0^2 \sin 2\alpha. \tag{2}$$

Найдем $|OA|$. Для этого нам надо получить уравнение касательной к параболе в точке M и определить абсциссу $x_A$ точки пересечения касательной с осью X ($|x_A| = |OA|$).

Чтобы получить уравнение касательной AM, определим координаты $x_M$ и $y_M$ точки M. Угловой коэффициент касательной равенtgφ и равен произвольной функции $y(x)$, описывающей парабoly, в точке M. Нетрудно показать, что

$$y(x) = (tg\alpha)x - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2,$$

и следовательно,

$$tg\varphi = \left((tg\alpha)x_M - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x_M^2\right)' = tg\alpha - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x_M,$$

откуда

$$x_M = \frac{1}{g} \left(tg\alpha - tg\varphi\right)v_0^2 \cos^2\alpha,$$

$$y_M = \frac{1}{g} tg\alpha \left(tg\alpha - tg\varphi\right)v_0^2 \cos^2\alpha -$$

$$-\frac{1}{2g} \left(tg\alpha - tg\varphi\right)^2 v_0^2 \cos^2\alpha = \frac{1}{2g} \left(tg^2\alpha - tg^2\varphi\right)v_0^2 \cos^2\alpha.$$

Теперь мы можем записать уравнение касательной AM (см. рис. 3) —

$$y_{AM}(x) = x tg\varphi + \frac{1}{2g} \left(tg^2\alpha - tg^2\varphi\right)v_0^2 \cos^2\alpha -$$

$$- \frac{1}{g} tg\varphi \left(tg\alpha - tg\varphi\right)v_0^2 \cos^2\alpha =$$

$$= x tg\alpha + \frac{1}{g} \left(tg\alpha - tg\varphi\right)^2 v_0^2 \cos^2\alpha -$$

и найти абсциссу $x_A$ точки A (и $|OA| = |x_A|$):

42