Задача для исследования

43

$$y_{AM}(x_A) = 0 \Rightarrow x_A = -\frac{1}{2g \text{tg} \varphi} (\text{tg} \alpha - \text{tg} \varphi)^2 v_0^2 \cos^2 \alpha.$$

Таким образом, если тело брошено под углом $\alpha > \varphi$, то тень проходит путь (см. (2))

$$S_2 = \frac{1}{g} v_0^2 \sin 2\alpha + \frac{1}{g \text{tg} \varphi} (\text{tg} \alpha - \text{tg} \varphi)^2 v_0^2 \cos^2 \alpha.$$

Посмотрим, при каких значениях $\alpha$ это выражение максимально. Для этого найдем производу $S'(\alpha)$ и приравняем ее нулю:

$$S'(\alpha) = \frac{2}{g} v_0^2 \cos 2\alpha + \frac{1}{g \text{tg} \varphi} v_0^2 (\sin 2\alpha + 2 \text{tg} \varphi \cos 2\alpha - \text{tg}^2 \varphi \sin 2\alpha) = 0,$$

или

$$(1 - \text{tg}^2 \varphi) \sin 2\alpha = 0 \Rightarrow \sin 2\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 90^\circ$$

(случай $\alpha = 0$ нам не подходит, так как $\alpha > \varphi$).

Следовательно, $S_2$ максимально при $\alpha = 90^\circ$, то есть когда тело бросают вертикальное вверх, и (см. рис. 4)

$$S_{2\max} = 2h_{\max} \text{ctg} \varphi = \frac{1}{g} v_0^2 \text{ctg} \varphi.$$

Тепер выязываим, при каких условиях $S_{2\max} > S_{1\max}$ и при каких $S_{2\max} < S_{1\max}$. Для этого найдем отношение $S_{1\max}: S_{2\max}$ (см. (1)):

$$\frac{S_{1\max}}{S_{2\max}} = \frac{v_0^2 g \sin 2\varphi}{v_0^2 g \text{ctg} \varphi} = 2 \sin^2 \varphi.$$

При $\varphi = 45^\circ$ это выражение равно 1 ($S_{1\max} = S_{2\max}$) — тень проходит одинаковые пути при $\alpha = 45^\circ$ и при $\alpha = 90^\circ$. Если $\varphi < 45^\circ$, то $2 \sin^2 \varphi < 1$ ($S_{1\max} < S_{2\max}$) — тень проходит максимальный путь при $\alpha = 90^\circ$. При $\varphi > 45^\circ$, как мы уже говорили, $S_{1\max} = \frac{1}{g} v_0^2$, и $S_{1\max}: S_{2\max} = \text{tg} \varphi > 1$ — тень проходит максимальный путь при $\alpha = 45^\circ$.

Выпишем окончательный ответ:

если $\varphi < 45^\circ$ — тело надо бросать вертикально;
если $\varphi = 45^\circ$ — тело надо бросать либо вертикально, либо под углом $45^\circ$ к горизонту;
если $\varphi > 45^\circ$ — тело надо бросать под углом $45^\circ$ к горизонту.

В. А. Нахшин

Задча
для исследования
«произведение соседних чисел»
в таблице из ±1

В связи с двумя задачами Всесоюзной олимпиды этого года (№ 5 для 10 класса и № 8 для 9 класса; см. с. 47—48) естественно возникают следующее более общие вопросы.

Для каждой таблицы $T$ раз-мера $m \times n$, в клетках которой стоит числа 1 и —1, определяя ляяся новая таблица $P(T)$; в каждой ее клетке пишется число, равное произведению чисел, стоящих в соседних (имеющих с ней общую сторону) клетках в таблице $T$. Для каждой $m$ и $n$:

1. разным таблицам $T$ соответствует обязательно разные таблицы $P(T)$?

2. для любой таблицы $T$ в последовательности таблиц $T_1 = P(T)$, $T_2 = P(T_1)$, … встретиется таблица из один?

Попробуйте ответить на эти вопросы (по-види-

мому, более простых) следующей:

«цилиндрической» таблицы $m \times n$, у которой две противоположные стороны длины $m$ считаются склеенными, и для «тора», у которой считаются склеенными две пары противоположных стороны (при этом у каждой клеткировно четыре соседних).

Заметим, что вопрос 2) для цилиндрира. высоты $m = 1$, то есть для $n$ клеток по окружности, разбирается в «задачние Кванта»; положительный ответ на него получается при $n = 2^k$ ($k = 2,3,...$).

Н. В. Васильев, И. К. Жук