Квант
Смесь

Встреча с читателями

Розов Н. Х.

Квант 1984, №11с. 57, 59, 60, 62, 63, 64Тег SBMH

57

Парьев В. (п. Красногвардейск Белгородской обл., Красногвардейская с. ш.), Прокоров М. (Полтава, с. ш. № 28), Слепухин А. (Калуга, с. ш. № 5), Тимкин В. (Новосибирск, с. ш. № 110), Усаток В. (Владивосток, с. ш. № 23), Ферлегер С. (Ташкент, с. ш. № 110);

по 9 классам —
Алексеев Р. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ), Биргер А. (Иваново, с. ш. № 6), Гольденберг И. (Мурманск, с. ш. № 8), Гонцаренко Ю. (Винница, с. ш. № 15), Земцов П. (Новосибирск, с. ш. № 25), Ковцов Д. (Арзамас, с. ш. № 15), Ойхберг Т. (Ленинград, с. ш. № 239), Самойлов Д. (Минск, с. ш. № 30), Славинский М. (Люберцы, с. ш. № 115), Филиппов С. (Белорец, с. ш. № 14), Ясько Р. (Киев, с. ш. № 145);

по 10 классам —
Бураго А. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ), Гочев Г. (Дубна, с. ш. № 9), Кабанов А. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ), Кравченко А. (Харьков, с. ш. № 122), Кривоносов А. (Свердловск, с. ш. № 37), Курганов Д. (Туапсе, с. ш. № 6), Марревелашили Г. (Кутанси, ФМШ), Михайлок В. (Киев, ФМШ № 2 при КГУ), Николаев В. (Хабаровск, с. ш. № 2), Румянцев И. (Ангарск, с. ш. № 10), Филиппов В. (Караганда, с. ш. № 63).

Физика

Дипломы I степени
по 8 классам получили
Свердлов М. (Минск, с. ш. № 50);
по 9 классам —
Барзыкин В. (п. Черноголовка Московской обл., с. ш. № 82), Грицорье Г. (Киев, ФМШ № 2 при КГУ), Жестков Ю. (Алма-Ата, РФМШ), Линдунен И. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ), Севастянов А. (Северодвинск, с. ш. № 17);

по 10 классам —
Алексеев А. (Ленинград, с. ш. № 239), Грицорье Г. (Киев, ФМШ № 2 при КГУ), Жестков Ю. (Алма-Ата, РФМШ), Линдунен И. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ), Севастянов А. (Северодвинск, с. ш. № 17);

по 10 классам —
Алексеев А. (Ленинград, с. ш. № 239), Грицорье Г. (Киев, ФМШ № 2 при КГУ), Жестков Ю. (Алма-Ата, РФМШ), Линдунен И. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ), Севастянов А. (Северодвинск, с. ш. № 17);

Дипломы II степени
по 8 классам получили

Встреча с читателями
В текущем году в Московском университете проходилиставшие уже традиционными курсы повышения квалификации учтелей средних школа. 12 июня учтеля математики, слушатели этих курсов, встретились с членами редколлегии журнала «Квант».

На встречу с учтелями, которые вел заместитель главного редактора журнала

«Квант» Ю. П. Соловьев, пришили члены редакlerin Н. В. Васильев, Н. Х. Розов, заведующий отдел математики журнала А. В. Сосинский. В своих выступлениях они рассказали об истории, работе и планах журнала, задачах, поставленных перед журналом представшейеформ общеобразовательной и профессиональной школьы.

В развернутемся обсуждении активное участие приняли многое из присутствовали квалифицированную помощь, которую журнал оказывает им при проведении факультативов и вnekлассных занятий, значение «Кванта» для воспитания интереса учащихся к физике и математике. В выступлениях учтелей произвели и критически замещали в адрес редколлегии журнала, были высказаны конкретные советы и предложения по его дальнейшем улушению.

Н. Р.

59

то число P(11)−P(7)=13−11=2P(11) - P(7) = 13 - 11 = 2 делилось бы на число 11—7=4.

  1. Могут. Приведем пример. Для этого через вершину DD треугольной прямоды ABCDABCD, у которой ребро DADA перепределиллярно основанию, проведем плоскость DMNDMN (рис. 5). Пирамида DNBCMDNBCM, очень удобно, удовлетворяет условиям.

  2. a) Верно. 6) Может. Пример: 2\sqrt{2} и −2-\sqrt{2}.
    b) Предположим, что первое число рационально. Тогда оно является перiodической десятичной дробью. Пусть период этой дроби содержит kk цифр, а перед перым период имеет nn цифр. Поскольку средние натуральных чисел чисел число, записываемое единицей с m(m>n+k)m(m>n+k) нулями, получается, что период должен состоять из kk нуляй, что неверно. Получили противоречие.
    Предположим, что tg5∘tg 5^\circ — рациональное число.
    В силу формулы tgα+tgβ1−tgαtgβ=tg(α+β)\frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha tg \beta} = tg (\alpha + \beta) (в частиности, tg2α=2tgα1−tg2αtg 2\alpha = \frac{2tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha}) имеем, что числа tg10∘tg 10^\circ, tg20∘tg 20^\circ и tg30∘tg 30^\circ — числа рациональные, но tg30∘=33tg 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} — рациональное число. Получили противоречие.

  3. Ответ. 3, 4, 6. Решение. Примеры таких сечений привести легко (вершины шестугольника — середины соответствующих ребер, рис. 6). Докажем, что иных служебь бы не может. Во-первых, поскольку у куба 66 граней, то больше 6 сторон в сечении его плоскостью не бывают. Во-вторых, если предположить, что в сечении получается пятугольник, то хотя бы его стороны должны лежать в параллельных гранах куба, и, значит, эти стороны параллельны; но в правильном пятугольнике нет параллельных сторон.

  4. a) Умножьте обе части доказываемого равенства на 2sin⁡π52\sin \frac{\pi}{5}. 6) Ответ. sin⁡(n+1)α2sin⁡na2sin⁡α2\frac{\sin \frac{(n+1)\alpha}{2}\sin \frac{na}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}} при α≠2πn\alpha \neq 2\pi n, n∈Zn \in \mathbb{Z}; 0 при α=2πn\alpha = 2\pi n, n∈Zn \in \mathbb{Z}. Указание. Идея решения та же, что и в пункте a):

nsin⁡α−nαcos⁡(n+1)α2sin⁡α при α≠πn,n∈Z;\frac{n \sin \alpha - n \alpha \cos (n+1)\alpha}{2 \sin \alpha} \text{ при } \alpha \neq \pi n, n \in \mathbb{Z};

0 при α=πn\alpha = \pi n, n∈Zn \in \mathbb{Z}. Указание. Для решения сначала преобразуйте данную сумму с помощью формулы sin⁡2φ=(1−cos⁡2φ)2\sin^2 \varphi = (1 - \cos 2\varphi)2, а затем, умножив и разделив ее на sin⁡α\sin \alpha, преобразуйте формулу sin⁡βcos⁡γ=12(sin⁡(β+γ)+sin⁡(β−γ))\sin \beta \cos \gamma = \frac{1}{2} (\sin (\beta + \gamma) + \sin (\beta - \gamma)).

  1. Отрезки касательных к шару, проведенных из одной точки, равны. Пусть a,b,c,da, b, c, d — длины этих отрезков для всех вершин треугольра соответствующего (рис. 7). Тогда для каждой пары скрещивающихся ребер сумма их длина равна a+b+c+da+b+c+d.

  2. Пусть ABCDABCD — данный треугольр и A1B1C1A_1B_1C_1 — его сечение, причем ∣A1D∣∣AD∣=ab,∣B1D∣∣BD∣=cd,∣C1D∣∣CD∣=ef\frac{|A_1D|}{|AD|} = \frac{a}{b}, \frac{|B_1D|}{|BD|} = \frac{c}{d}, \frac{|C_1D|}{|CD|} = \frac{e}{f}, (рис. 8). Будем считать грани BCDBCD и B1C1DB_1C_1D основаниями треугольров ABCDABCD и A1B1C1DA_1B_1C_1D соответственно. Пусть AKAK — высота треугольра ABCDABCD, опущенная из этого вершины AA, тогда параллельный этой высоте отрезок A1K1A_1K_1 будет высотой треугольра A1B1C1DA_1B_1C_1D. Отношение объемов треугольров равно SB1C1D⋅∣A1K1∣SBCD⋅∣AK∣\frac{S_{B_1C_1D} \cdot |A_1K_1|}{S_{BCD} \cdot |AK|}. Но SB1C1D=cd⋅efS_{B_1C_1D} = \frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f} (см. задачу № 3), а из подобия треугольников AKDAKD и A1K1DA_1K_1D вытекает, что ∣A1K1∣:=∣AK∣:=∣AD∣|A_1K_1| := |AK| := |AD|. Отсюда получается утверждение задачи.

  3. a) cos⁡α+cos⁡β+cos⁡γ=cos⁡β+cos⁡γ−cos⁡(β+γ)=2cos⁡β+γ2cos⁡β−γ2+1−2cos⁡2β+γ2=1+12cos⁡2β−γ2−2(cos⁡β+γ2−12cos⁡β−γ2)2≤1+12cos⁡2β−γ2≤32\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \cos \beta + \cos \gamma - \cos (\beta + \gamma) = 2\cos \frac{\beta + \gamma}{2}\cos \frac{\beta - \gamma}{2} + 1 - 2\cos^2 \frac{\beta + \gamma}{2} = 1 + \frac{1}{2}\cos^2 \frac{\beta - \gamma}{2} - 2\left(\cos \frac{\beta + \gamma}{2} - \frac{1}{2}\cos \frac{\beta - \gamma}{2}\right)^2 \leq 1 + \frac{1}{2}\cos^2 \frac{\beta - \gamma}{2} \leq \frac{3}{2}.

Равенство достигается только при α=β=γ=π/3\alpha = \beta = \gamma = \pi/3.

  1. Графика изобравенны на рисунках 9a—9b.

  2. Пусть плоские углы при вершине DD треугольра ABCDABCD прямые (рис. 10). Обозначим центр описанного околотреугольра шара через OO, а середину ребра BCBC — через A1A_1. Докажем, что прямая ODOD пересекается с медионой AA1AA_1 основания ABCABC. Из условия следует, что ребро ADAD перепределилоугольро плоскости боковой грани BCDBCD. Но точка OO одинаково удалена от вершин B,CB, C и DD этой грани и поэтому лежит на перепределкуре к этой грани, проведенном через центр A1A_1 окружности, описанной околотреугольро треугольника BCDBCD. Итак, отрезки ADAD и A1OA_1O параллельны и поэтому образуют плоскость, в которой лежат непараллельные отрезки ODOD и A1AA_1A. Таким образом, отрезок ODOD пересекается с медионой A1AA_1A грани ABCABC. Точно также можно доказать, что отрезок ODOD пересекается с другими мединами

60

ХVIII Весоизная олимпида по математике

Первый день
8.1. а) Если натуральное число nn представимо в виде произведения nn целых чисел и не делится на 4, то среди nn компонентей самоое большее один является четным числом. Если число компонентей nn четно, то один из них является четным числом, а другие n−1n-1 является числами нечетными. Если же число компонентей nn нечетно, то все nn компонентей являются нечетными числами. В обих случаях сумма всех nn компонентей является нечетным числом и не может равнять нулю. Получили противоречие.
6) Пусть n=4kn=4k. Тогда, если число kk нечетное, то n=2⋅(−2k)⋅13k−2⋅(−1)kn=2 \cdot (-2k) \cdot 1^{3k-2} \cdot (-1)^k; если же число kk четное, то n=(−2)⋅(−2k)⋅13k⋅(−1)k−2n=(-2) \cdot (-2k) \cdot 1^{3k} \cdot (-1)^{k-2}.

Рис. 11.

Рис. 12.

Рис. 13.

Рис. 14.

Рис. 15.

8.2. Данное неравенство после очевидных преобразований принимает вид
[12(a+b)]⋅(a+b+12)⩾ab⋅(a+b).\left[ \frac{1}{2} (a+b) \right] \cdot \left( a+b + \frac{1}{2} \right) \geqslant \sqrt{ab} \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b}).
(1)

В силу неравенства между средним аргументским и средним геометрическим, 12(a+b)⩾ab\frac{1}{2} (a+b) \geqslant \sqrt{ab}.

Второй компоненть в левой части неравенства (1) также не меньше второго компонента в правой части, поскольку
(a+b+12)−(a+b)==(a−12)2+(b−12)2⩾0.\left( a+b + \frac{1}{2} \right) - (\sqrt{a} + \sqrt{b}) = = \left( \sqrt{a} - \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \sqrt{b} - \frac{1}{2} \right)^2 \geqslant 0.

Неравенство (1), а вместе с ним и данное неравенство, доказано.

8.3. Из равенства A1→B1→+B1→B2→=A1→A2→+A2→B2→\overrightarrow{A_1}\overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{B_1}\overrightarrow{B_2} = \overrightarrow{A_1}\overrightarrow{A_2} + \overrightarrow{A_2}\overrightarrow{B_2} следует
−A1→A2→+B1→B2→=A2→B2→−A1→B1→.-\overrightarrow{A_1}\overrightarrow{A_2} + \overrightarrow{B_1}\overrightarrow{B_2} = \overrightarrow{A_2}\overrightarrow{B_2} - \overrightarrow{A_1}\overrightarrow{B_1}.
Аналогично, C1→A1→+A1→A2→=C1→C2→+C2→A2→\overrightarrow{C_1}\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{A_1}\overrightarrow{A_2} = \overrightarrow{C_1}\overrightarrow{C_2} + \overrightarrow{C_2}\overrightarrow{A_2} вычет −A1→A2→+C1→C2→=A2→C2→−A1→C1→-\overrightarrow{A_1}\overrightarrow{A_2} + \overrightarrow{C_1}\overrightarrow{C_2} = \overrightarrow{A_2}\overrightarrow{C_2} - \overrightarrow{A_1}\overrightarrow{C_1}.

Используя условия задачи и эти равенства, получаем:
AB→=AO→+OB→=−OA→+OB→=−A1→A2→+B1→B2→==−A1→B1→+A2→B2→,AC→=AO→+OC→=−OA→+OC→=−A1→A2→+C1→C2→==−A1→C1→+A2→C2→.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{A_1}\overrightarrow{A_2} + \overrightarrow{B_1}\overrightarrow{B_2} = = -\overrightarrow{A_1}\overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{A_2}\overrightarrow{B_2}, \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{A_1}\overrightarrow{A_2} + \overrightarrow{C_1}\overrightarrow{C_2} = = -\overrightarrow{A_1}\overrightarrow{C_1} + \overrightarrow{A_2}\overrightarrow{C_2}.
Будем через a→′\overrightarrow{a}' обозначать вектор, получащийся из вектора a→\overrightarrow{a} поворотом на 60∘60^\circ против часовой стрелки. Ясно, что (ka→)′=ka→′(k\overrightarrow{a})' = k\overrightarrow{a}' и (a→+b→)′=a→′+b→′(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})' = \overrightarrow{a}' + \overrightarrow{b}'. Так как (рис. 11) A1→B1→=(A1→C1→)′\overrightarrow{A_1}\overrightarrow{B_1} = (\overrightarrow{A_1}\overrightarrow{C_1})', A2→B2→=(A2→C2→)′\overrightarrow{A_2}\overrightarrow{B_2} = (\overrightarrow{A_2}\overrightarrow{C_2})', получаем, (AC→)′=(−A1→C1→+A2→C2→)′=−(A1→C1→)′+(A2→C2→)′=−A1→B1→+A2→B2→=AB→(\overrightarrow{AC})' = (-\overrightarrow{A_1}\overrightarrow{C_1} + \overrightarrow{A_2}\overrightarrow{C_2})' = -(\overrightarrow{A_1}\overrightarrow{C_1})' + (\overrightarrow{A_2}\overrightarrow{C_2})' = -\overrightarrow{A_1}\overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{A_2}\overrightarrow{B_2} = \overrightarrow{AB}. Мы видим, что вектор AB→\overrightarrow{AB} получается из вектора AC→\overrightarrow{AC} поворотом на 60∘60^\circ. Это и означает, что ABCABC — равносторонний треугольник.

8.4. Прямоголовник размер m×nm \times n, удовлетворяющий условиям задачи, можно скелить, если числа mm и nn имеют одинаковую четность, и нельзя скелить в противном случае.

1-й скелчай. mm и nn нечетны. Тогда мы можем скелить прямоголовник-строчку размер 1×n1 \times n — с требуемыми свойствами (рис. 12), а затем из таких строчек тем же способом скелить искочный прямоголовник размер m×nm \times n (рис. 13).

2-й скелчай. mm и nn четны. Расмотрим прямоголовник с нечетными длинами сторон размеров (m−1)×(n−1),1×(n−1),(m−1)×1(m-1) \times (n-1), 1 \times (n-1), (m-1) \times 1 и 1×11 \times 1 соответственно, изображенные на рисунке 14 (как доказано, также прямоголовник скелить можно). Из этих прямоголовников склеиваем их размер m×nm \times n так, как показано на рисунке 15.

3-й скелчай. Числа mm и nn разной четности, для определения, m−четно,n−четноm - \text{четно}, n - \text{четно}. Допустим, что мы скелили прямоголовник размер m×nm \times n, стороны которого окрашены в различные цвета. Расмотрим одну из сторон прямоголовника, длина которой нечетна. Пусть она, например, красного цвета. Подсчитаем общее число красных сторон uu и vv, а внутри их четное число, так как к каждой красной стороне одной литочки прямыхает красная сторона другой литочки. Следовательно, общее число красных сторон нечетно. Все литочки, оченьindo, использованоровно столько же, сколько имеется красных сторон, то есть нечетное число. С другой стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть четно. Пусть стороны, их число равно mnmn, то есть_LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB-LIB

62

+2yz+3zx=2z(2x+y+z), то есть 2x+y+z=D/2z=27x/2z². Далее, A−B+C=32=x(2x+y+z)=x·D/2z=27x²/2z². Следовательно, x/z=8/3√3 (напомним, что x>0, z>0), и поэтому D=27x/z=24√3.

Заметание. Есть и другие решения, основанное на геометрической интерпретации A, B, C как квадратов сторон некоторые треугольников (рис. 17).

Второй день

8.5. Ответ: Да, верно. Решение см. М873.

8.6. Ответ: πr²+2pr−(pr²/2R). Указание. При подсчете внешней части следа (πr²+pr), воспользуйтесь тем, что составляющие ее секторы образуют круг. При подсчете внутренней части (pr−(pr²/2R)) — сообщениями готовности.

8.7. Обозначим через k вес самой тяжелой из гирь, через S — число гирь веса 1. Заметим, что S≥k. Действительно, у нас есть гирь веса k, S гирь веса 1 и еще n−S гирь, вес каждой из которых не меньше 2. Поскольку вес всех гирь по условию равен 2n, справедливо неравенство 2n≥k+S+2(n−S), откуда S≥k.

После того, как на весь положили первую гирю, разность между весами грузов на чашках стала равна k. Понятно, что и в дальнейшем вес более тяжелой чашки будет отличаться от веса более легкой чашки не более чем на k. В самом деле, на каждом следующем шаг мы кладем гирю на более легкую чашку. Если после этого она осталась более легкой, то разность весов на чашках уменьшилась. Если же после этого более легкая чашка стала тяжелой, но новая разность между весами не превыходит веса положенной гири, а он не превыходит k.

Предположим, что мы положили на весы гири, вес которых больше 1, и у нас осталось S гирь веса 1. Так как S больше или равно разности весов на чашках, то, положив на весы некоторые количество гирь веса 1, мы приведем их в состояние равновесия. В этот момент общий вес гирь на весах будет выражаться четным числом, поэтому число оставшихся гирь веса 1 также будет четным. В дальнейшем мы должны класть их почередно то на одну, то на другую чашку. Следовательно, в силу четности числа оставшихся гирь веса 1 в итоге весы оказутся в равновесии.

8.8. Очевидно, что в записи абсолотно простого числа не может встретиться ни одна четная цифра, а если число цифр в записи больше или равно думут, то не может также встретиться цифра 5 (если бы из цифр 0, 2, 4, 6, 8, 5 присутствовали, то переставив ее на последнее место, получили бы оставное число). Следовательно, в записи абсолотно простого числа могут встретиться только цифры 1, 3, 7 и 9. Предположим, что все эти цифры присутствуют в записи некоторые простого числа. В таком случае, переставля их, мы из данного числа можно получить следующее седьмое абсолотно простых чисел:

M1=a1a2...am1379‾=M+1379,M_1=\overline{a_1a_2...a_m1379}=M+1379,

где M=a₁a₂…aₘ000,

M2=M+3179,M3=M+9137,M4=M+7913,M5=M+1397,M6=M+3197,M7=M+7139.M_2=M+3179, M_3=M+9137, M_4=M+7913, M_5=M+1397, M_6=M+3197, M_7=M+7139.

Это, однako, невозможно, так как числа 1379, 3179, 9137, 7913, 1397, 3197 и 7139 дают различные остатки при делении на 7 (соответственно 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6), и поэтому средние чисел M₁, M₂, …, M₇ одно обязательно делится на 7.

9.5. Если число x6y4 является квадратом некоторого натурального числа A, то число A является двумя значениями и оказывается либо на 2, либо на 8,

причем A>40. Всего существует 12 таких чисел: 42, 52, 62, 72, 82, 92, 48, 58, 68, 78, 88, 98. Легко проверить, что только квадраты чисел 68 и 98 имеют цифру 6 в третьем разряде:

63

68²=4624, 98²=9604. Следовательно, либо x=4, y=2, либо x=9, y=0. В обихх случаях число

∑n=1n+1xn=682=4624\sum_{n=1}^{n+1} x_n = 68^2 = 4624

является квадратом при всех n≥1:

4⋅4⋅6⋅2⋅24=4⋅10n+1⋅(10n+⋯+10+1)+2⋅10n+1+2⋅(10n+⋯+10+1)+2=4⋅10n+1⋅10n+1−19+2⋅10n+1−19+2=49⋅(10n+1+2)2=(6…68)2;∑n=1n+19⋅9⋅0…04=(10n−1)⋅10n+2+6⋅10n+1+4=(10n+1−2)2=(9…98)2.4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 24 = 4 \cdot 10^{n+1} \cdot (10^n + \dots + 10+1) + 2 \cdot 10^{n+1} + 2 \cdot (10^n + \dots + 10+1) + 2 = 4 \cdot 10^{n+1} \cdot \frac{10^{n+1}-1}{9} + 2 \cdot \frac{10^{n+1}-1}{9} + 2 = \frac{4}{9} \cdot (10^{n+1}+2)^2 = (6 \dots 68)^2; \quad \sum_{n=1}^{n+1} 9 \cdot 9 \cdot 0 \dots 04 = (10^n-1) \cdot 10^{n+2} + 6 \cdot 10^{n+1} + 4 = (10^{n+1}-2)^2 = (9 \dots 98)^2.

9.6. Заметим, что если точка S лежит внутри или на стороне треугольника PQR (рис. 18), S≠Q, то |PS|+|SR|<|PQ|+|QR|. Для доказательства достаточно сложить два очередных неравенства |PS|≤|PT|+|TS|, |RS|+|TS|≤|TQ|+|QR| и заметить, что одно из них будет строим. Для определения будем считать, что |AB|≥|CD|. Тогда данное неравенство можно переписать в виде

∣AE∣+∣ED∣+∣AB∣−∣CD∣>∣BE∣+∣CE∣.|AE|+|ED|+|AB|-|CD|>|BE|+|CE|. (3)

Возьем на отрезке AB точку A’ такую, что |A’B|=|CD|. Из замечания следует, что |AE|+|AB|≥|A’E|+|A’B| (рис. 19) и значит, достаточно доказать неравенство (3) в предположении, что |AB|=|CD|. Будем далее считать, что |AB|=|CD|. Пусть F — точка, симметричная E относительно середины отрезка AD (рис. 20). Так как |CE|=|BF|, |AF|=|ED|, то из неравенства |BF|+|BE|<|AF|+|AE|, выполняющего вынужденного выше неравенства, следует неравенство (3).

9.7. Ответ: lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \to \infty} x_n=0. Если число c удовлетворяет неравенствам 0<c≤1/4 и при некотором k справедливых неравенства

∣xk∣≤c,∣xk+1∣≤56c,|x_k| \leq c, |x_{k+1}| \leq \frac{5}{6} c, (4)

то

∣xk+2∣≤∣xk+1∣2+12∣xk∣≤2536c2+12c=(2536c+12)c≤(56)2c.|x_{k+2}| \leq |x_{k+1}|^2 + \frac{1}{2} |x_k| \leq \frac{25}{36} c^2 + \frac{1}{2} c = \left(\frac{25}{36} c + \frac{1}{2}\right) c \leq \left(\frac{5}{6}\right)^2 c.

Повторяя эти рассудения с заменой c на 5c/6 найдем, что |x_k+3|≤c(5/6)³. Действуя далее аналогично, получим неравенство |x_k+n|≤c(5/6)ⁿ, из которого следует, что lim⁡n→∞\lim_{n \to \infty}

Осталось доказать, что существует c, 0<c≤1/4 и некоторый номер k, при которых выполнен неравенства (4). Непосредственно вычислив несколько членов последовательности (xn)(x_n), легко убедиться, что неравенства (4) имеют место при k=7 и c=1/4.

9.8. Предположим, что в некоторое неупустое множество A больших клеток можно записать —1 так, что с каждой черным квадратом соседствует четное число клеток из A. Накоем каждую клетку из A повернуть на 45° квадратным квадратом со стороны 2\sqrt{2} (за 1 примем сторону клетки).

Вершины квадратных квадратов лежат в центрах черных клеток (либо — в точках контуря прямоугольника B 1984×1985, стороны которого отстояют на 1/2 наружу от сторона шахматной доски). Границей красной фигуры служит ломана, которая имеет самопересечения в центрах черных клеток доски, но вершины — только в красных》 точках контура B (отстоящих на целое расстояние от вершины прямогоника B, рис. 21); действительно, угол в 90° или 270° красной фигуры внутри доски означает бы, что к соответствующему черному квадрату прямымкает нечетное число белых квадратов из A. Таким образом, граница красной фигуры — замкнутый путь близлаардного шара, отражающего от сторона под углом 45° в некоторые «красных» точках. На рисунке 11 для шахматной доски 5×6 (ей соответствует прямой такой замкнутой близлаардной траектории. Но для близлаардва траектории не существует. Действительно, если выпустить из двух противоположных углов такого близлаардда под 45° к сторона шарикки, то они, отражаясь последовательно от сторона (на каждой стороне после очередного «шикла» точка отражения смещается на 2, рис. 22), пройдут по всем «диагональным» прямым, проходящим под 45° через красные точки. Поэтому любая близлаардная траектория, выходящая под 45° из красной точки, попадет в угол и не может быть замкнутой.

10.5. Решение см. М871 в «Кванте» № 10.

10.6. Ответ: ln⁡101100>2201\ln \frac{101}{100} > \frac{2}{201}. Решение.

Как извлечено, число ln (1+t), где t>0, равно площади кривolinейной трапеции, ограниченной на плоскости XOY прямыми x=1, x=1+t, y=0 и гиперболой y=1/x (рис. 23). Проведем в точке x=1+t/2 касательную к гиперболю y=1/x. Она отсечет от кривolinейной трапеции обчинуто трапецию ABCD (см. рис. 23). Так как функция y=1/x выпукла визуize, то площадь кривolinейной трапеции будет больше площади трапеции ABCD. Следовательно, для любого t>0: площадь кривolinейной трапеции ln (1+t)> SABCD=t⋅11+t2=2t2+tS_{ABCD} = t \cdot \frac{1}{1 + \frac{t}{2}} = \frac{2t}{2 + t}.

Полягая t=1/100, мы получаем нужное неравенство

ln⁡101100=ln⁡(1+1100)>21002+1100=2201.\ln \frac{101}{100} = \ln \left(1 + \frac{1}{100}\right) > \frac{\frac{2}{100}}{2 + \frac{1}{100}} = \frac{2}{201}.

10.7. Ответ: r = r1r2r3r1r2−r2r3+r3r1\frac{r_1 r_2 r_3}{r_1 r_2 - r_2 r_3 + r_3 r_1}. Решение см. М872 в «Кванте» № 10.

10.8. Указан ие. Рассмотрев подходящий развертку куба, оцените площадь сечения через его перimetр.

4-я страница обложки

Оргинальнаяность головоломки заключится в том, что ее нельзя сложить последовательным присоединением одной детали к другой. Сначала элемент нужно обведить попарно и только затем восьмиконечную звезду.

«Кванте» для младших школьников»
(см. «Кванте» № 9)

  1. Ответ. Можно. После вычеркивания должно

64

остаться 361-значное число 41984…1984.
Указание. Сумма цифр числа 1984 равна 22,
а так как 1984=90·22+4, достаточно вычернуть
первую восеммерку, оставить цифру 4 и 90 идущих
за ней групп …1984…, а затем вычернуть все
оставшие цифры.
2. Вот одна из возможных расстановок:
1 -1 1 -1
1 -1 1 -1
-1 1 -1 1
-1 1 -1 1

  1. Первым ходом ставится знак + после 1.
    Затем первый игрок ставит знаки так, чтобы рядом с каждой нечетным числом (слева или справа) стоял знак умножения.
  2. Пусть x — цена Шалтая, а y — цена Болтая.
    Тогда 175x−125y=25(7x−5y)≥25, а 126y−175x=7(18y−25x)≥7.
    Позмоту y=126y−125y=126y−175x+175x−125y≥7+25=32.
    Итак, Болтай стоит не меньше 32 копеек,
    но Шалтай стоит больше, чем 57y=57⋅32,\frac{5}{7}y=\frac{5}{7}\cdot 32,
    то есть не меньше 23 копеек.
    Позмоту на покупку 3-х Шалтаев и 1-го Болтая потребуется не меньше, чем 3⋅23+32=1013\cdot 23+32=101 коп.
  3. Треугольники ABD и BCD равны по трем сторонам. Позмоту равны углы DBA и CDB и, следовательно, △BOD\triangle BOD — равноведенный.

Кубический кроссворд
(см. «Квант» № 9)

  1. Берклий. 2. Гиперон. 3. Вавилов. 4. Миллион.
  2. Калорий. 6. Харитон. 7. Андреев. 8. Кипение.

Главный редактор — академик И. К. Кикоин
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров
Заместители главного редактора: Л. Г. Асламазов, В. А. Лешковцев, Ю. П. Солловев

Редакционная коллекция: М. И. Башмаков, В. Е. Белончкин, В. Г. Болтянский, А. А. Боровой, Ю. М. Брук, В. В. Вавилов, Н. Б. Васильев, С. М. Воронин, Б. В. Гнеденко, В. Л. Гутенахер, Н. П. Долбилин, В. Н. Дубровский, А. Н. Земляков, А. Р. Зильберман, С. М. Козел, С. С. Кротов, Л. Д. Кудрявцев, Е. М. Никшин, С. П. Новиков, М. К. Потапов, В. Г. Разумовский, Н. А. Родина, Н. Х. Розов, А. П. Савин, Я. А. Смородинский, А. Б. Сосинский, В. М. Уроев, В. А. Фабрикант

Редакционный совет: А. М. Балдин, С. Т. Беляев, Б. Б. Буховцев, Е. П. Велихов, И. Я. Верченko, Б. В. Воздвиженский, Г. В. Дорофеев, Н. А. Ermолаева, А. П. Erшов, Ю. В. Иванов, Л. В. Канторович, В. А. Кириллин, Г. Л. Коткин, Р. Н. Кузьмин, А. А. Логунов, В. В. Можаев, В. А. Орлов, Н. А. Патрикеева, Р. З. Сагдеев, С. Л. Соболев, А. Л. Стасенко, И. К. Сурин, Е. Л. Сурков, Л. Д. Фаддеев, В. В. Фирсов, Г. Н. Яковлев

Номер подготовили:
А. Н. Виленкин, В. Н. Дубровский, А. А. Егоров,
Б. М. Ивлев, Т. С. Петрова, А. В. Сосинский,
В. А. Тихомирова

Номер оформили:
О. Н. Грачев, В. С. Коваль, Т. Н. Кольченко, С. Ф. Лухин,
Э. В. Назаров, И. Е. Смирнова, Е. К. Тенчурина,
П. Э. Чудовский, Е. С. Шабельник
Фото представили:
З. М. Хаччкин, В. П. Шевченко

Заведующая редакция Л. В. Чернова

Редактор отдела художественного оформления
Э. А. Смирнов

Художественный редактор Т. М. Макарова

Корректор Е. В. Сидоркина

103006, Москва, К-6, ул. Горького, 32/1,
«Квант», тел. 250-33-54

Сдано в набор 20.9.84
Полисано к печати 18.10.84
Печать офсетная
Бумага 70×108/16, Усл. кр. от. 23.8
Усл. печ. л. 5,6 Уч.-изд. л. 7,31 Т-21302
Цена 40 коп. Заказ 2506. Тираж 172 782 экз.

Ордена Трудового Красного Замени
Чеховский полигraphический комбинат
ВО «Соизполгrafпром»
Государственное комитета СССР
по делам издательств, полигraphии
и книжной торговли
г. Чехов Московской области