XVIII Всесоюзная олимпиада по математике

45

ХVIII Всегоозная олимпиада по математике

Кандидат физико-математических наук
Л. П. КУПЦОВ,
кандидат физико-математических наук
С. В. РЕЗНИЧЕНКО,
кандидат физико-математических наук
А. Б. СОСИНСКИЙ

С 11 по 18 апреля в Ашхабаде проводился заключительный этап XVIII Всегоозной олимпиады школьников по математике. В столице Советской Туркменини собрались 159 школьников (43 восемиклассика, 54 девятиклассика и 62 десятиклассика) — победители ресурсиканских олимпиад, победители Московской и Ленинградской городских олимпиад и школьники, отмеченные на предыдущей Всегоозной олимпиаде дипломами I и II степени. В состав жюри, работавшего под руководством академика АН УССР Б. В. Гнеденко, были включены 52 человек — представители Академии наук СССР, Академий наук Туркмениской и Молдавской ССР, Московского, Ленинградского и Новосибирского Государственных университетов, Московского физико-технического института, крупнейших научно-исследовательских институтов страны. Среди них старший преподаватель Туркмениского Государственного университета, организатор всех ресурсиканских олимпиад в Туркменини Б. Б. Бердьев.

С первых минут пребывания на гостеприимной Туркменской земле участники олимпиады были окружены теллогой и вниманием. В аэропорту Ашхабада команды-участницы встречали ученики школь города, представители районаных отделов народного образования и ЦК комсомола Туркмении.

При регистрации каждой участику олимпиады и руководителю команды вручался памятный суверниный пакет с книгами и открытками, рассказывающими о Туркменини, памятными знаками, программой олимпиады и приглашением принять участие в ее торжественной открытии.

12 апреля, в 15 часов, все участники олимпиады, члены жюри и оргомитета, руководители команд собращись у городского Дворца пинеров. В сопровождаении орquestра началось торжественное шествие к памятнику В. И. Ленину. У памятника был выступен почетный караул, участники олимпиады возложили цветы. А затем в конференц-зале Академии наук ТCCР состоялось торжественное открытие олимпиады. Были использованы Государственный Гимн СССР и Гимн Туркменской ССР. С темыми словами приветствия к участникам олимпиады обратился Министр просвещения ТCCР М. А. Олиева. Успешного выступления, творческой, интерсейной работы, честиго соперничства пожелали ребятам Вице-президент АН ТCCР О. О. Овезгельдьев, представлен жюри академик АН УССР Б. В. Гнеденко, первый секретарь ЦК ЛКСМ Туркменистана Ж. К. Чарыева, ректор Туркменского Государственного университета Г. М. Мяликгульев. На открытии олимпиады присутствовали зав. отделом науки и учебных заведений ЦК Компартины Туркменистана Е. О. Овлякулев, зав. отделом науки и учебных заведений Совета Министров ТCCР С. К. Какаев. Завершил торжественное открытие концерт участников коллективов художественной самодеятельности Ашхабадского Дворца пинеров.

Задания заключительного этапа олимпиады участники писали 13 и 14 апреля. Задание каждой из двух дней состояло из четырех задач, на решение которых отводилось по пять часов. Ниже приведятся условия всех задач. Некоторые из них включены в задание «Кванта» (соответствующий номер указан после условия задачи).

Задания
Первый день
8 класс

1. а) Произведение некоторых n чисел равно n, а сумма их равна нулю. Докажите, что число n делится на 4.

6. Пусть n — натуральное число, делитсяся

46

на 4. Докажите, что найдуться $n$ целых чисел, произведение которых равно $n$, а сумма равна нулю.

А. А. Фомин

2. Докажите, что для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство
   $$\frac{1}{2}(a+b)^2 + \frac{1}{4}(a+b) \geqslant a\sqrt{b} + b\sqrt{a}.$$

А. Н. Смоляков

3. На плоскости расположены два равносторонних треугольника $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$, вершины которых заимерованы по часовой стрелке. Из произвольной точки $O$ отклонены векторы $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$, равные, соответственно, вектора $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$. Докажите, что точки $A, B, C$ также являются вершинами равностороннего треугольника.

Л. П. Купцов

4. Имеется четыре краски и бесконечного много квадратных плиток со стороны длины 1. Разрешается окрашивать стороны плиток так, чтобы цвета всех сторон у каждой плиточки были равны, и приклеивать плиточки друг к другу стороны одного цвета. Для каких чисел $m$ и $n$ эти плиток можно склеить прямоугольник размера $m \times n$, у которой каждой стороны покрашена одним цветом и цвета всех стороны разные?

В. А. Уфнаровский

9 класс

1. Докажите, что при всех действительных $x > 0, y > 0$ и при всех действительных $a$ справедливо неравенство
   $$x^{\sin^2 a} \cdot y^{\cos^2 a} < x + y.$$

В. И. Буренков

2. Имеется куб и две краски: красная и зеленая. Двое играют в такой игру. Начинающий выбирает 3 ребра куба и красит их в красный цвет. Его партнер выбирает 3 ребра из тех, что еще не покращены, и красит их в зеленый цвет. После этого снова 3 ребра в красный цвет красит начинающий, а затем 3 ребра в зеленый цвет — его партнер. Запрещается перекрашивать ребро в другой цвет или красить дважды одинаковой красной. Выигравает тот, кто первым сумет покрасить своего красной все ребра какой-нибудь грани. Верно ли, что начинающий при правильной игре обязательно выиграет?

Н. Х. Адаханов

3. По кругу записаны $n \geqslant 3$ натуральных чисел так, что для каждого числа относение суммы его соседей к нему является натуральным числом. Докажите, что сумма таких относений: а) не меньше 2n; б) меньше 3n (M875).

О. Р. Мусин

4. Окружность с центром в точке $O$, выснаная в треугольник $ABC$, касается его стороны $BC, AC, AB$, соответственно, в точках $A_1, B_1, C_1$. Отрезки $AO, BO, CO$ пересекают окружность соответственно в точках $A_2, B_2, C_2$. Докажите, что примыты $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ пересекаются в одной точке.

И. Ф. Шарын

10 класс

1. При каких целых $m$ и $n$ выполняется равенство
   $$(5+3\sqrt{2})^m = (3+5\sqrt{2})^n?$$

Ю. В. Михеев

2. В строку ввозрастящем порядке выписали $n$ различных действительных чисел. Под ним во вторую строку выписали те же числа, только, быть может, в другом порядке. Для каждой пары чисел, выписанных одно под другим, вычислили сумму. Эти суммы образовали третью строку. Оказалось, что числа в третьей строке также расположены ввозрастящем порядке. Докажите, что первая строка совпадает со второй.

А. В. Анджанс

3. Дан треугольник $ABC$. Через точку $P$ провели прямые $PA, PB, PC$, которые пересеклили описанной оклоэ этого треугольника окружность в точках $A_1, B_1, C_1$, отличных от вершин треугольника. Оказалось при этом, что треугольник $A_1B_1C_1$ конгрузтен треугольнику $ABC$. Докажите, что существует не более восеми точки $P$ с указанным свойством.

И. Ф. Шарын

4. Положительные числа $x, y, z$ удовлетворяют системе уравнений

$$\begin{cases} x^2 + xy + \frac{y^2}{3} = 25, \\ \frac{y^2}{3} + z^2 = 9, \\ z^2 + zx + x^2 = 16. \end{cases}$$

Вычислите величины $xy + 2yz + 3zx$.

А. А. Болотов

Ребята довольно успешно справились с задачами, предложенными в первый день. Нибольшие трудности, как и ожидалось, вызвали задачи 8.4, 9.3, 9.4, 10.3 и 10.4. Особенно трудной оказалась задача 9.3. Лишь два участника сумели правильно решить оба ее пункта. Очень трудной оказалась и геометрическая задача 10.3, акуратоное решение которого представили лишь 3 участника. Однако ни в одном из классов не было задания, которое бы никтого не сумел решить. Жюри с удовлетворением отметил, что довольно трудную задачу 9.4 девятиклассики решали значительное лучшее, чем ожидалось, причем многое ребра сумели также решения, которые оказались проще решения, известного жюри.

13 апреля, после завершения работы над конкурсными задациями, ребра приняли участие в спортивном празднике.

Второй день

8 класс

5. Учителя написал на доке квадратный трехлень $x^2 + 10x + 20$, после чего по очереди каждил из учеников увеличил или уменьшил на единицу либо коэффициент при $x$, либо свободный член, но не оба сразу. В результате на доке оказался написан квадратный трехлень $x^2 + 20x + 10$. Верно ли, что в некоторых моментах на доке был написан квадратный трехлень?

А. А. Берзины

6. Монету радуса $r$ перемещают по плоскости так, что ее центр обходит контур выпукло

47

Председатель юрисадик Б. В. Гнеденко на экскурсии с учатиками олимпiadы.

многоугольника, описанного около круга радиуса $R > r$ и имеющего перimetр $p$. Найдите площадь фигуры, образованной следом монеты.

А. А. Фомин

7. Имеется $n + 1$ гирь общим весом $2n$ и весы с двумя чашками, находящиеся в равновесии. Вес каждой из гирь выражается натуральным числом. Гирь по очереди кладут из чашки весов: сначала самую тяжелую (или одну из самых тяжелых), затем самую тяжелую из оставшихся и так далее. При этом каждаю следующее гирю кладут на ту чашку весов, которая в данный момент легче, а если весы находятся в равновесии, то на любую из чашек. Докажите, что после того, как на весах оказется все гири, весы будут находиться в равновесии.

А. В. Анджанс

8. Наовем натуральное число абсолютно простым, если оно простое и если при любой перестановке его цифр снова получается простое число. Докажите, что в записи абсолютно простого числа не может содержаться более трех различных цифр.

А. Т. Колотов

9 класс

5. Цифры $x \neq 0$ и $y$ таковы, что при любом $n \geqslant 1$ число $x \times 6y \times 4$ является квадратом некоТОГО целого числа. Найдите все такие $x$ и $y$.

Л. П. Купцов

6. На прямой взяты четыре различные точки, обозначенные в порядке следования буквами $A, B, C, D$. Докажите, что для любой точки $E$, не лежащей на прямой $AD$, справедливо неравенство
   $$|AE| + |ED| + |AB| - |CD| > |BE| + |CE|.$$
   С. В. Гашков

7. Последовательность $(x_n)$ задана рекуррентным образом:

$$x_1 = 1; x_2 = -1; x_{n+2} = x_n^2 + 1 - \frac{1}{2} x_n,$$
если $n \geqslant 1$. Докажите, что последовательность $(x_n)$ имеет предел, и найдите его.

Н. Х. Адаханов

8. В белых клетках шахматной доски размером $1983 \times 1984$ записаны числа 1 или —1 так, что для любой черной клетки произведение чисел, стоящих в соседних с ней белых клетках, равно 1. Докажите, что это возможно только в том случае, если все записанные числа равны 1.

О. В. Ляшко

10 класс

5. В клетках квадратной таблицы $3 \times 3$ записаны числа 1 или —1. Для каждой клетки таблицы вычислим произведение чисел, стоящих в соседних с ней клетках (соседними называют клетки, имеющие общую сторону). После этого в вычислении произведение в клетки таблицы вместе стоящих там ранее чисел. С новой таблицей проделаем ту же операцию, и т. д. Докажите, что после неокоторого числа таких операций в таблице будет записаны одни единицы. (M871)

И. К. Жук, И. В. Воронович

6. Какое из чисел больше:

$$\frac{2}{201} \ln \frac{101}{100}?$$

Ю. В. Нестеренко

7. На плоскости расположены три окружности $c_1, c_2, c_3$ с центрами $c_1, c_2, c_3$ и радиусами $r_1, r_2, r_3$ соответственно, причем каждой легит в две двух других. Пусть $r_1 > r_2, r_1 > r_3$, пусть $A$ — точка пересечения внешних касательных к окружности $c_1$ и $c_2$ — лежит в окружности $c_3$, пусть $B$ — точка пересечения внешних касательных