Отражение кривых и преобразования формул

29

$$t_{A'NB} - t_{A'M} > T = \frac{\lambda}{c},$$

где $\lambda$ — длина волны, $c$ — скорость света в вакууме. Поскольку времена прохождения света от точек $M$ и $N$ до $B$ равны, полученное условие можно переписать в виде

$$t_{A'N} - t_{A'M} = \frac{l_2 - l_1}{c} = \frac{\lambda}{c}.$$

(*)

Из прямогольных треугольников на рисунке 2 находится:

$$l_2^2 = l^2 + (h + d)^2,$$
$$l_1^2 = l^2 + (h - d)^2,$$

откуда, вычитая из первого равенства второе, получаем:

$$l_2^2 - l_1^2 = (l_2 - l_1)(l_1 + l_2) = 4hd.$$

Прияв $l_1 + l_2 = 2l$ и $h/l = \sin \alpha$, находим:

$$l_2 - l_1 = \frac{2hd}{l} = 2d \sin \alpha.$$

Тогда из условия (*) следует, что

$$d \geq \frac{\lambda}{2 \sin \alpha}$$

— изображения двух точек окажутся различными, если расстояние между ними больше или хотя бы порядка длины световой волны. Для видимого света длина волны составляет примерно 0,5 мкм.

Чем меньше размеры предмета, еще различного микрокопом, тем больше так называемая разрешающая способность микрокопа.

Примечние. Кроме общих оптических микрокопов существуют электронные микрокопы, у которых разрешающая способность много больше. При их помощи даже рассмотреть отдельные молекулы.

Matematika 8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка предназначаем.deвятиклассик. Оdnako она может быть полезной и учащим других классов.

Отражение кривых и преобразования формул

Сравнение математических фигур и величины служеб/materialом для црр и обучения мудрости.

И. Песталоши

Matematik любит прежде всего симметрию. Дж. Максвелл

При исследовании функций и построении их графиков полезно учитывать симметрию получаемых кривых. Из школьного курса вам знакомы свойства графиков четных и нечетных функций. Например, что функция $f$ симметричной относительно нуля обладает определенная называется четной, если $f(-x) = f(x)$ для всех $x \in D(f)$, и нечетной, если $f(-x) = -f(x)$ для всех $x \in D(f)$. Легко показать, что график функции $f$ симметричен относительно оси $Oy$ в том и только в том случае, когда функция $f$ является четной, и симметричен относительно начала координат в том и только в том случае, когда $f$ — нечетная функция. Таким образом, отмеченные свойства графиков отражают простые особенности соответствующих формул.

Более общим способом задания кривых на плоскости является задание их с помощью уравнения с двумя переменными. Например, окружность радиуса $r$ с центром в начале координат задается уравнением $x^2 + y^2 = r^2$. Прорезав упражнения, предлагаемые в данной стате, вы узнаете, какие свойства уравнения, задающих кривые, отвечают тем или иным видам симметричных кривых. Все новый материал вы «откроете» самостоятельно, решая приводные ниже упражнения. Мы же лишь напомним необходимые сведения и рассмотрим один простой пример.

1. Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых служат решениями этого уравнения. Другими словами, $\Gamma$ есть график уравнения $f(x, y) = 0$, если $M(x; y) \in \Gamma \Rightarrow f(x, y) = 0$. Отметим, что график функции $y = f(x)$ можно рассматривать и как график уравнения $y - f(x) = 0$.

2. Пусть $M(x; y)$ — произвольная точка координатной плоскости

30

Puc. 1, а.
Puc. 1, б.
Puc. 1, с.
Puc. 1, д.
Puc. 2, а.
Puc. 2, б.
Puc. 2, с.
Puc. 2, д.
Puc. 2, е.
Puc. 2, ж.
Puc. 2, з.
Puc. 2, u.
Puc. 3, а.
Puc. 3, б.
Puc. 3, д.
Puc. 3, е.
Puc. 3, ж.
Puc. 3, з.
Puc. 3, u.

30

31

$xOy$ (рис. 1, $a$), тогда точки $M_X$, $M_Y$, $M_O$, получаемые отражениями точки $M$ относительно осей $Ox$, $Oy$ и начала координат $O$ соответственно, будут иметь следующие координаты:
$M_X(x; -y)$; $M_Y(-x; y)$; $M_O(-x; -y)$.

Упражнение 1. Какие координаты будут иметь точки, симметричные точки $M(x; y)$ относительно биссеектрис углов, образованных осями координат?

3. Использование функций $|x|$ позволяет, исходя из уравнения произвольных кривых, получить уравнения кривых, обладающих определенными свойствами симметрины (относительно начала координат, осей $Ox$ и $Oy$). Расстоянием пример, иллюстрирующий сказанное, а общие выводы вы сделаете сами, решая предлагемые упражнения.

Пример. Построить график функции $y=x^2-|x|$.

Решение. При $x \geq 0$ график данной функции совпадает с графиком функции $y=x^2-x$ (рис. 1, $\delta$), но функция $y=x^2-|x|$ четная, следовательно, ее график симметричен относительно оси $Oy$ и выглядает так, как это изображено на рисунке 1, $\delta$.

Приступайте теперь к решению упражнения. Мы предлагаем следующие изменения в порядке работы в случае, если у вас возникнут затруднения при решении упражнения 2 и 3: если вы не справились с тем или иным заданием, то загляните в ответ и пострайте изобразить кривую, задаваемую приведенной в ответе формулой, отправляясь от новой исходной кривой, изобравенной на c. 59 на рисунке 1 (текста ответов) для упражнения 2 и на рисунке 2 для упражнения 3. Если же и эти, дополнительные упражнения выозут у вас затруднения и операрованию с произвольными кривыми и уравнениями (что необходимо для осознания общих принципов) вы предопчитайте действия с конкретными аналитическими выражениями, то, полагая $f(x)=x^2-x$ (или же выбрав другую функцию по своему усмотрению), построите графики функции, заданных формулами, соответствующими ответам к упражнению 2. То же самое вы можете, в случае надобности, продолжать и для упражнения 3, взяв, например, в качестве исходного уравнения $y+x-x^2=0$. Затем верните снова к выполнению упражнения 2 и 3.

Упражнения

2. На рисунке 1, $z$ изображен график некоторых функций $y=f(x)$. Сравнивая каждый из рисунков 2, $a-2$, $u$ с исходным (Окончание см. на c. 34)

На страницах 32—33 открывается новая рубрика — «Калейдоскоп «Кванта». Мы рассчитываем, что этот журналный разворот может быть использован для оформления школьных физических и математических кабинетов.