Когда к телу приложены параллельные силы

23

Физика 8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка «Когда к телу приложены параллельные силы» предназначена восемиклассик, «О числе Фарадей и удельном загде загженной частицы» — девятиклассик, «Абсолютно черное тело» — девятиклассик.
Материалы подготовил Н. К. Белкин.

Когда к телу приложены параллельные силы

Хорошо известно, как найти равноведействующую двух сил, приложенных к материальной точке (рис. 1). На векторах, изображающих эти силы, как на сторонах строят параллельграмм; диагональ со стрелкой на конце, проведенная из точки, к которой приложены силы, и есть вектор равноведействующей.

Когда две силы приложены не к материальной точке, а к телу, но так, как показано на рисунке 2, то равноведействующая определяется таким же образом. Получая тем, что точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее действия («Физика 8», § 46), находят точку C, в которой пересекаются линии действия обихих сил.

Полагая, что силы $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ приложены именно к этой точке, строят параллельграмм и проводят диагональ. Правда, точка C может оказаться и вне тела, но тогда точку приложение

прявнодействующей можно выбрать в любом месте на линии ее действия. Действительно, какую точку не выбрали, равноведействующая сила $\vec{F}$ сообщит телу такое жеускорение или вызовет такой же врашающий момент, как и силы $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$, вместе взятые.

Если силы параллельны и направлены в одну сторону. Пусть к телу приложены две параллельные сонправленные силы (рис. 3). Линнией действия таких сил иггде не пересекаются, и параллелограмм на них построить нельзя. Тем не менее сложить эти силы и найти их равноведействующую можно.

Нетрудно понять, что равноведействующая направлена параллельно обим силам и ее модель равен артимтической сумме моделей складываемых сил. А в какой точке она приложена? Или, другими словами, к какой точке тела надо приложить силу, равную по модели, но противоположную по направлению равноведействующей, чтобы тело находилось в равновесии?

Чтобы найти точку приложения равноведействующей двух параллельных и одинаково направленных сил, можно воспользоваться правилом моментов («Физика 8», § 48). Проведем прямую, соединяющую точки A и B (см. рис. 3). Где-то на этой прямой должны, очевидно, находиться и точка приложения равноведействующей. Пусть это будет точка O. Допустим, что через эту точку проходит закрепленная ось, перpendикулярная плоскости, содержащей обе складываемые силы (то есть перpendикулярная плоскости рисунка). Если O действительно есть точка приложения равноведейств-

24

виущей, то тело будет находиться в равновесии — равноведущая уравновешивается силой реакции со стороны оси. С другой стороны, если тело с закрепленной осью находится в равновесии, то алгебраическая сумма моментов сил относительной этой оси должна быть равна нулю. Из рисунка 3 видно, что сила $\vec{F}_2$, будь она единственной, поворачивала бы тело вокруг $O$ по часовой стрелке, то есть момент $F_2 d_2$ положительный, а сила $\vec{F}_1$, если она была единственной, поворачивала бы тело против часовой стрелки — ее момент $F_1 d_1$ надо приписать отрицательный знак (здесь $d_1$ и $d_2$ — плечи сил $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$).

Следовательно,

$$F_2 d_2 - F_1 d_1 = 0,$$

или $$\frac{F_1}{F_2} = \frac{d_2}{d_1}.$$

Из подобия треугольников AOC и BOD находится, что $d_1/d_2 = r_1/r_2$. Поэтому окончательно получаем

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_2}{r_1}.$$

Это значит, что равноведущая двух параллельных, одинаково направленных сил приложена к точке, делящей отрезок, соединяющий точки приложения складываемых сил, в отношении, обратном отношению моделей сил. Ясно, что эта точка лежит близке к большей из сил.

Если направления параллельных сил противоположны. Приложенные к телу параллельные сил могут быть направлены и в противоположные стороны (рис. 4). Тепер точка приложения равноведущего $\vec{F}$ не может находиться где-то между точками приложения сил $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$. Ведь вокруг точки, лежащей между ними, каждая сила поворачивает тело про-
тив часовой стрелки, знаки моментов этих сил одинаковы, и их сумма не может быть равна нулю, как это требуется для равновесия.

Легкоогдается, что точка приложения равноведущего лежит за точкой приложения большей силы, как это и показано на рисунке 4. Модуль же равноведущего равен модулю разности моделей сил $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$.

В какой же именно точке приложена равноведущего? На каком расстоянии $r_2$ от точки приложения большей силы? Воспользуемся опять правильом моментов:

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_2}{r_1},$$

или $F_2 = F_1 \frac{r_1}{r_2}$.

Вычитем из правой и левой части последнего равенства величины $F_1$:

$$F_2 - F_1 = F_1 \frac{r_1}{r_2} - F_1 =$$

$$= F_1 \left( \frac{r_1}{r_2} - 1 \right) = F_1 \frac{r_1 - r_2}{r_2},$$

откуда

$$r_2 = \frac{F_1 \left( r_1 - r_2 \right)}{F_2 - F_1} = \frac{F_1 r}{F_2 - F_1}.$$

Таким образом, точка приложения равноведущего двух противоположно направленных параллельных сил расположена тем дальше от точки приложения большей из них, чем меньше разность моделей этих сил.

Пара сил. Мы видели, что если к телу приложения параллельные силы, одинаково или противоположно направленные, то всегда можно найти модулю и направление равноведущего этих сил и определить точку ее приложения. Если к этой точке приложить силу, равную равноведующей по модулю, но противоположную ей по направлению, то тело будет находиться в равновесии — оно не будет движаться поступательно и не будет врашаться.

Но, оказывается, есть один случай, когда равноведующую найти нельзя. Так бывают, если к телу приложения две параллельные, противоположно направленные силы, по модулю равные друг друга. Про также силы говорят, что они образуют пару сил. Модуль их равноведующей равен, конечно, нулю, а из формулы (*) видно, что при $F_2 - F_1 = 0$ противное $r_2$ до точки приложения равноведующей равно бесконечности, то есть что