О теореме Лагранжа

30

AD:BD=CF:FB. Из подобия треугольников ABC и DBF имеем AC:CB=FD:FB, и так как CF=FD, то AC:BC=CF:FB. Следовательно, AD:BD=AC:BC (оба отношения равны CF:FB).

Пятое доказательство. Площади треугольников, имеющих равные высоты, относятся к соответствующим основания. Поэтому $S_{CDA}:S_{CDB}=AD:DB$ (рис. 5). С другой стороны, по свойству биссектрисы, высоты в треугольниках CDA и CDB, опущенные из вершины D, равны. Следовательно, $S_{CDA}:S_{CDB}=AC:BC$. Итак, AD:BD=AC:BC=S_{CDA}:S_{CDB}.

Шестое доказательство. Опишем вокруг треугольника ABC окружность и продолжим CD до пересечения с окружностью в точке E (рис. 6). Из подобия треугольников ACE и DCB получаем AC:AE=CD:DB, то есть AC·DB=AE·CD. Из подобия треугольников BCE и DCA имеем BC:BE=CD:AD, то есть BC×AD=BE·CD. Заметив, что AE=BE, получим AC·DB=BC·AD, откуда AD:BD=AC:BC.

Седьмое доказательство. Проведем через точку D две прямые, одна из которых параллельна стороне AC и пересекает сторону BC в точке M, а другая — параллельна стороне BC и пересекает сторону AC в точке K (рис. 7). Легко доказать, что четырехугольник KCMD — ромб. Из подобия треугольников AKD и DMB имеем AD:BD=DK:BM. Так как DK=DM, то AD:BD=DM:BM. Заметив в полученной пропорции отношение DM:BM равным ему отношением AC:BC (на основании подобия треугольников ABC и DBM), получим

требуемую пропорцию.

С помощью построений, изображенных на рисунках 8—11, читатель предоставляется возможность получить еще четырехатательства этой теоремы.

В заключение наметим еще два доказательства теоремы, предназначенные для читателя, знакомых с векторами и геометрическими преобразованиями.

1. Для любой точки D отрезка $AB\cdot CD=λ\vec{A}+(1-λ)\vec{B}$, где λ=DB:AB; 1-λ=AD:AB. Действительно, $\vec{CD}=\vec{CB}+\vec{BD}=\vec{CB}+\lambda\vec{BA}=\vec{CB}+\lambda(\vec{CA}-\vec{CB})=\lambda\vec{CA}+(1-λ)\vec{CB}$.

В нашем случае вектор $\vec{CD}$ параллелен вектору $(1/CA)\cdot\vec{CA}+(1/CB)\cdot\vec{CB}$ (см. рис. 7) и поэтому $(1/CA):(1/CB)=λ:(1-λ)$, откуда AD:DB=CA:CB.

2. Выполним последовательное симметrio относительно точки D, готовим $H_{D}^{BD/AD}$ и $H_{C}^{AC/BC}$, а затем симметrio относительно биссектрисы CD (через $H_{O}^{k}$ обозначена гомотетия с центром O и коэффициент k). В результате точки A остатся на месте, а прямая CD перейдет в себя, в частиности, расстояние между ними сохранится. Следовательно, коэффициент итогового преобразования подобия равен 1, то есть $AC/BC\cdot BD/AD=1$.

В. И.

О теореме Лагранжа

Прежде всего напомним формулировку теоремы Лагранжа.

Пусть функция f дифференцируем в каждой точке некоторого промежутка. Тогда между любыми двумя точками a и b этого промежутка найдется такая точка c, что

$$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).$$

Эта теорема допускает простую геометрическую интерпретацию. Возьмем на график функции f две точки A=M(a; f(a)) и B=M(b; f(b)) (см. рисунок). Угловой коэффициент прямой AB равен $(f(b)-f(a))/(b-a)$, угловой коэффициент касательной к графику функции f в точке с абсциссой x=c равен $f'(c)$. Позотому, записав

(Окончание см. на с. 36)