Избранные школьные задачи

36

О теореме Лагранжа

(Начало см. на с. 30)

равенство (1) в виде $(f(b) - f(a))/(b-a) = f'(c)$, мы получим геометрическую интерпретацию теоремы Лагранжа: существует такая точка $c$ промежутка $]a; b[$, что касательная к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x=c$ параллельна прямой $AB$.

Точек $x=c$, для которых выполено равенство (1), может быть и более одной. В этом вы можете убедиться, выполив следующей упражнение.

1. Найдите все значения $x=c$, при которых для функции $f(x)=(x-1)^3$, $a=0$, $b=2$, выполняется равенство (1). (Ответ: $c=1-1/\sqrt{3}$ и $c=1+1/\sqrt{3}$.)

Мы хотим познакомить вас с механической интерпретацией теоремы Лагранжа. Пусть материальная точка движется по прямой и в момент $t$ имеет координату $s(t)$. тогда ее средняя скорость на промежутке времени от $t_1$ до $t_2$ будет равна $(s(t_2)-s(t_1))/(t_2-t_1)$. Хорошо известно, что мгновенная скорость в момент времени $t$ равна $s'(t)$. Вполне понятно, что в некоторых моменты времени мгновенная скорость будет больше средней скорости, в другие — меньше. Однако обязательно найти дется такой момент времени (и может быть не один!), что средняя скорость будет равна мгновенной. Следовательно, для некоторого $t_0 \in ]t_1; t_2[$

$(s(t_2)-s(t_1))/(t_2-t_1)=s'(t_0)$, то есть $s(t_2)-s(t_1)=s'(t_0)(t_2-t_1)$. (Сравните эту формулу с формулой (1).)

Отметим также, что в случае, когда $f$ не имеет произвольной в какой-либо точке, лежащей между $a$ и $b$, применять теорему Лагранжа нельзя: рассмотрите в качестве примера функции $f(x)=|x^2-1|$, $a=1/2$, $b=\sqrt{7}/2$.

Уражнения

2. Для каких промежутков можно применять теорему Лагранжа к функции $f$, если: a) $f(x)=x$; 6) $f(x)=[x]$; b) $f(x)=|x|$?

3. Материальная точка движется по прямой по закону $s(t)=t^3$, где $s$ — путь в метрах, $t$ — время в секундах. В какой момент времени ее мгновенная скорость равна средней скорости на промежутке от $t_1=13$ с до $t_2=46$ с?

4. В каких точках для функции $f(x)=x^2$ и $g(x)=px^2+qx+r$ для промежутка [a; b] выполено равенство (1)?

Как объяснить геометрические совпадение результатов для обихих функции?

Л. Н. Смоляков

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. В драматружке число малыхков составляет 80 % от числа девочек. Сколько процентов составляют число девочек в этом кругже от числа малыхков?

2. Какое из чисел больше: $\sqrt{1986}+\sqrt{1984}$ или $2\sqrt{1985}$?

3. Разложите $x^5+x+1$ на множители.

4. Длина боковой стороны трапеции равна $a$, а расстояние до нее от середины противоложной стороны равно $b$. Найдите площадь трапеции.

5. Докажите, что в любом треугольнике $R \geq 2r$, где $R$ и $r$ — радиусы соответствующего описанной и вписанной окружности.

Девятый класс

6. Какое из чисел больше: $\sqrt{1986}+\sqrt{1984}$ или $2\sqrt{1985}$?

7. Каким является треугольник (остроугольным, прямогольным или тупоугольным), если: a) его высоты 3, 4 и 5; b) его медианы равны 3, 4 и 5?

8. Найдите множество значений функций (без использования математического анализа):

a) $f(x)=2x+\frac{3}{x}$; 6) $f(x)=\frac{x^2+2x-2}{x^2-x+1}$.

9. Найдите $f'(2)$, если

a) $f(x)=(x-2)^2g(x)$, где $g(x)$ — произвольная дифференцируемая при $x=2$ функции;

6. $f(x)=(x-2)^2g(x)$, где $g(x)$ — произвольная непрерывная при $x=2$ функции;

b) $f(x)=(x-2)\left(\sqrt[3]{x+\sqrt[4]{x-2}}+(x-2)^2\times \sqrt[7]{x^5+\sqrt[3]{x}}\right)$.

10. Докажите, что любой треугольник можно спроектировать в правильный при помощи: a) параллельной проекции; 6)* ortогonalной проекции.

Десяты класс

11. Площадь основания прямых равна 1. Проведена плоскость, параллельная основанию прямых и делящая ее на две части равного объема. Найдите площадьечение.

12. Сравните числа: $2\sqrt{\log_2x}$ и $x\sqrt{\log_2x}$ (>1).

13. Докажите, что любая плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся ребер tetraэдра, делит его объем пополам.

14. Докажите, что для любых действительных чисел $a$, $b$, $c$ выполняется неравенство $a^4+b^4+c^4\geq abc$ (a+b+c).

15. a) В терраде проведены 4 отрезка, каждый из которых соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоложей грани. Докажите, что все 4 отрезка пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 3:1, считая от вершины.

6. Докажите, что в любом tetraэдре $R \geq 3r$, где $R$ и $r$ — радиусы соответствующего описанной и вписанной сфере.

Публикацию подготовил В. М. Ивлев