Об одной формуле Христиана Гюйгенса

9

Об одной формуле Христиана Гюйгена

Кандидат физико-математических наук
В. В. ВАВИЛОВ

Длина окружности радиуса 1/2 может быть определена как предел последовательности длини перimetров правильных многоугольников, вписанных в данную окружность при неограниченном увеличении числа его стороны. Определение таким образом число обозначется символом л. Аналогично можно определить число л и как предел перimetров правильных описанных около этой окружности многоугольников (рис. 1). Точнее, если через $p_n$ обозначить перimetр вписанного, а через $q_n$ перimetр описанного правильного $n$-угольника, то имеют место неравенства
$$p_n < \pi < q_n, \quad n \geqslant 3.$$
Когда $n$ возрастает, обе последовательности $p_n$ и $q_n$ монотно приближаются к числу л (рис. 2); при перехождение от $n$ к $n+1$ мы получаем меньше ошибку в приближениях, которое числа $p_n$ и $q_n$ дают для числа л.
В своей значении соинения «Измерение кругга» Архимед (287—212 гг. до н. э.) дал следующее приближение для числа л:
$$3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{10}{70},$$
то есть
$$3,14084507 < \pi < 3,14285714.$$
Этот результат Архимед получил при помощи вычисления перimetра правильного вписанного 96-угольника.
Многоековая история числа л связана с многими именами известных математиков. Однако из последовательей

10

Именно это основное неравенство и позволило Гюйгенсу пойти дальше Архимеда.

Ниже мы докажем приведенные результаты Архимеда и Х. Гюйгена и рассмотрим некоторые смежные вопросы.

Доказательство основного неравенства

Доказательство неравенства (1) мы разобем на несколько шагов. Левую часть этого неравенства будем считать известной и поэтому докажем только справедливость второго неравенства.

1°. Если в некоторых сегмент круга ACB приscan равноведенный треугольник ABC и в точках A, B и C проведены касательные к окружности так, как показано на рисунке 4, то

$$S_{ABC} < 2S_{KLM}.$$

(2) Действенный, из соответствий $|KL| > |LC|$ и $|LC| = |AL|$ следует $|AK| < 2|KL|$. Так как треугольники KLM и KAB подобны, их площади относятся как квадраты соответствующих сторонах, справедливоно,

$$S_{KAB} / S_{KLM} = |KA|^2 / |KL|^2 < 4,$$

откуда $S_{KAB} < 4S_{KLM}$.

С другой стороны, равноведенные треугольники KAB и ABC имеют общее основание AB, и поэтому их площади относятся так же, как их высоты, или (по теореме Фалеса) как длины соответствующих сторонах. Следовательно,

$$\frac{S_{ABC}}{S_{KAB}} = \frac{|AL|}{|AK|},$$

и, так как $|AL| < (1/2)|AK|$, получаем $S_{ABC} < (1/2)S_{KAB}$.

Отсюда и из предыдущего неравенства для площадей получаем (2).

2°. Если обозначить через $S_{cerm}$ площадь сегмента ACB (см. рис. 4), то

$$S_{cerm} \leq \frac{2}{3} S_{ABK}.$$

(3)

Для доказательства этого неравенства воспользуемся следующим сообщением. Обозначим (см. рис. 5) через $S_0$ и $A_0$ площади треугольников ABC и KLM соответственно. Расмотрим теперьдугу AC, разделим ее точкой $C_1$ пополам и построим точно таким же образом треугольники площадей $S_2$ и $A_2$. Точка $C_3$ — серединадуги AC$^2$ — порождает аналогичным образом треугольники площадей $S_3$ и $A_3$. Продолжая этот процесс, мы получим две последовательности $\{S_n\}$ и $\{A_n\}$ положительных чисел — площадей соответствующих треугольников. По доказанному в 1° — см. (2), — имеем следующее:

$$S_0 < 2A_0, \quad S_1 < 2A_1, \quad S_2 < 2A_2, \quad S_3 < 2A_3, \dots, \quad S_n < 2A_n.$$

Ясно, что (рис. 6)

$$S_0 + 2S_1 + 2^2S_2 + 2^3S_3 + \dots + 2^nS_n + \dots = S_{cerm}$$

11

и
$$A_0 + 2A_1 + 2^2A_2 + 2^3A_3 + \dots + 2^nA_n + \dots = S_{ABK} - S_{\text{сегм}}.$$
Из приведенной цепочки неравенства и двух последних соответствий следует, что *)
$$S_{\text{сегм}} \leq 2(S_{ABK} - S_{\text{сегм}}),$$
то есть утверждение (3).
3°. Следующая геометрическая лемма X. Гойгена представляет и самостоятельный интерес.
Лемма. На рисунке 7: О — центр кругга, прямые AE и CD — касательные к окружности, AB — произвольная секция, пересекающая прямую CD, l_AC — длина дуги AC. Тогда справедливо следующее неравенство:
$$l_{\text{AC}} \leq \frac{2}{3} |CD| + \frac{1}{3} |AF|.$$

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, |AE| = |EC|; следовательно, треугольник ACE равноведенный и углы EAC и ECA равны. Отсюда следует, что треугольник AED также равноведенный (так как $CAD = 90^\circ$, $DAE = 90^\circ - EAC$, $ADE = 90^\circ - ECA$) и тем самым |AE| = |ED| = |CE|. Из (3) следует, что $S_{\text{сегм}} \leq (2/3)S_{AEC}$, где $S_{\text{сегм}}$ — площадь сегмента кругга, закрашен-

*) Нетрудно доказать, что если последовательности $\{a_n\}$ и $\{b_n\}$ имеют предель и $a_n < b_n$, $n=1, 2, \dots$, то $\lim_{n \to \infty} a_n \leq \lim_{n \to \infty} b_n$.

ного на рисунке 7. Прибавив к обеим частиям этого неравенства площадь $S_{AOC}$ треугольника OAC, мы получим
$$S_{\text{сегт}} \leq \frac{2}{3} S_{AEC} + S_{OAC},$$
где $S_{\text{сегт}}$ — площадь сектора OAC, откуда
$$S_{\text{сегт}} \leq \frac{2}{3} S_{OAC} + \frac{1}{3} S_{OAC},$$
где $S_{OAC}$ — площадь четырехугольника OAEC. Так как
$$S_{OAC} = 2 \cdot S_{OEC} = 2 \cdot \frac{1}{2} |OC| \cdot \frac{1}{2} |CD| = \frac{1}{2} |OC| \cdot |DC|, S_{OAC} = \frac{1}{2} |OC| \cdot |AF|, S_{\text{сегт}} = \frac{1}{2} |OC| \cdot l_{AC},$$
из последнего неравенства следует нужное соответствие (4).
4°. Для завершения доказательства неравенства (1) сделаем следующие построение (рис. 8): пусть $AA_1$ — сторона правильно вписанного $n$-угольника, а $LL_1$ — сторона правильно описанного многоугольника с таким же числом сторон; проведем прямую AB и из точки A опустим перпендикуляр AK на касательную LL_1.

Так как $AOC = 2ABC$ (одни из углов центральный, а второй опирается на эту же дуг), мы видим, что AD — bicсектриса в треугольнике LAK, и по теореме о биссектрисе имеем $|AL| / |LD| = |AK| / |KD|$.

Но $(AK) \perp (KL)$, поэтому $|AK| < |AL|$ и из предыдущей пропорции получаем $|KD| < |LD|$. Так как $|AF| = |KC|$, получаем $|KD| = |CD|$

12

| $n$ | $p_n$ | $q_n$ |
| :— | :— | :— |
| 3 | 2,59807621 | 5,19615242 |
| 6 | 3,00000000 | 3,46410161 |
| 12 | 3,10582854 | 3,21539030 |
| 24 | 3,13262861 | 3,15965994 |
| 48 | 3,13935020 | 3,14608621 |
| 96 | 3,14103195 | 3,14271459 |
| 192 | 3,14145247 | 3,14187304 |
| 384 | 3,14155760 | 3,14166274 |
| 768 | 3,14158389 | 3,14161017 |
| 1536 | 3,14159046 | 3,14159703 |
| 3072 | 3,14159210 | 3,14159374 |

$-|AF|$. Кроме того, $|LD|=|CL|-$
$-|CD|$ и, следовательно,
$|CD|-|AF|<|CL|-|CD|,$
$2|CD|<|AF|+|CL|,$
$2|CD|+|AF|<2|AF|+|CL|$.

Используя теперь (4), получаем
$$l_{AC} < \frac{2}{3} |AF| + \frac{1}{3} |CL|.$$
Аналогично можно написать, что
$$l_{A1C} < \frac{2}{3} |A1F| + \frac{1}{3} |CL1|$$
или, наконец,
$$l_{AC} + l_{A1C} < \frac{2}{3} |AA1| + \frac{1}{3} |LL1|.$$

Умножив полученное неравенство на $n$, мы и получим неравенство (1).

Дальнейшее исследование основного неравенства

Нами установлено, что число лежит в первой трети интеграла $p_n$, $q_n$ при всех $n \geqslant 3$. Для того чтобы уточнить расположение числа л в этом новом интеграле, рассмотрим отношение длины интегралов $p_n$, $\pi$ при $p$, $q_n$ [. Вычисления показывают *] (см. таблицы 1, 2), что это отношение длины, то есть значения дробей
$$(q_n-\pi)/(\pi-p_n), n=3, 6, 12, 24,$$
достаточно близки к 2. На основании этих вычислений мы с большой степенью уверенности можем предположить, что в действительности имеет место соответствие

*) Для желающих проверки вычисления на калькуляторе приведем приближение равенство: $\pi \approx 3,14159265$.

$$\lim_{n \to \infty} \frac{q_n-\pi}{\pi-p_n} = 2.$$ (5)

Для доказательства соответствия (5) заметим, что (рис. 9))

$$p_n=n \cdot \sin \frac{\pi}{n}, q_n=n \cdot \tg \frac{\pi}{n}, n \geqslant 3,$$
и, следовательно,
$$\frac{q_n-\pi}{\pi-p_n} = \frac{1}{\cos \frac{\pi}{n}} \cdot \frac{n \sin \frac{\pi}{n}-\pi \cos \frac{\pi}{n}}{\pi-n \sin \frac{\pi}{n}}.$$
Для анализа полученного выражения нам понадобятся неравенства *)
$$x-\frac{x^3}{6} < \sin x < x-\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}, x > 0.$$ (6)

Чтобы доказать левое неравенство в (6), положим
$$f(x)=\sin x-x+\frac{x^3}{6}.$$

Тогда имеем
$$g_1(x)=f'(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2},$$
$$g_2(x)=g'_1(x)=-\sin x+x.$$

*) Неравенство (6) значительное улучшает известное неравенство sin $x<x$ при $x>0$; см. по этому поводу: «Квант», № 5, 1979, c. 5.

13

Так как sin x < x при x > 0, получим $g_2(x) > 0$ при x > 0. Тем самым функция $g_1(x)$ возвращает при x > 0. Но $g_1(0) = 0$ и, следовательно, $g_1(x) > 0$ при x > 0. Функция $g_1(x)$ является произвольной для функции $f(x)$, для которого также $f(0) = 0$. Но при x > 0 имеем $g_1(x) > 0$, поэтому функция $f(x)$ также возвращает и, следовательно, принимает только положительные значения, то есть $f(x) > 0$ при x > 0, что и утверждалось.

Аналогично установливается правила част неравенства (6), а также неравенства (доказите их самостояльно!)

$$1 - \frac{x^2}{2} < \cos x < 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}, \quad x > 0. \quad (7)$$

Из неравенств (6) и (7) вытекают следующие приближенные формулы:

$$\sin \frac{\pi}{n} \approx \frac{\pi}{n} - \frac{\pi^3}{6n^3},$$

$$\cos \frac{\pi}{n} \approx 1 - \frac{\pi^2}{2n^2}.$$

Следовательно,

$$\frac{q_n - \pi}{\pi - p_n} \approx 2 \cdot \left(1 - \frac{\pi^2}{2n^2}\right)^{-1},$$

что и завершает доказательство соответствия (5), так как $\frac{\pi^2}{2n^2}$ стремится к нулю при $n \to \infty$.

Равенство (5) позволяет сделать следующий качественный вывод: число $\pi$, находясь при любом $n \geqslant 3$ в интервале $]p_n, \frac{2}{3}p_n + \frac{1}{3}q_n[$, при всех достаточно больших значениях $n$ близке к правому концу этого интервала, чем к левому.

Формула Гойгенаса и ее эффективность

Архимед использовал для вычисления числа $\pi$ приближенную формулу

$$\pi \approx p_n, \quad n \geqslant 3.$$

Гойгенс в своей работе, в частности, получил другую приближенную формулу

$$\pi \approx \frac{2}{3}p_n + \frac{1}{3}q_n, \quad n \geqslant 3,$$

то есть взял в качестве приближения для числа $\pi$ правую часть неравенства (1).

Бóльшую эффективность формулы Гойгенаса по сравнению с формулой Архимеда можно обнаружить неосредственными вычислениями на микрокалькуляторе, сравив результаты таких вычислений, сведенных в таблицах 1, 2 и 3 (цветом на этих таблицах выделены точные цифры числа $\pi$). Отметим, что проведится также вычисления — увлекательная и непростая задача.

Можно сравнить эффективность формул Архимеда и Гойгенаса другим методом, не произвольной конкретных вычислений для $p_n$ и $q_n$. Можно использовать так называемые аппирорные оценки для точности этих формул, то есть такие неравенства, которые позволяют оценить разности $\pi - p_n$ и $\frac{2}{3}p_n + \frac{1}{3}q_n - \pi$ для всех $n \geqslant 3$ заранее, без вычислений периметров. Ценность таких аппирорных оценок состоит так же в том, что они позволяют в точности этих оценки числа $n$, для которых нужно найти точность будет достигуть. Используя неравенства (6) и (7) и произвольные простые аппирорные вычисления, нетрудно получить (мы оставляем это читателю в качестве упражнения!) следующие аппирорные оценки:

$$\frac{5}{n^2} < \pi - p_n < \frac{6}{n^2}, \quad n \geqslant 3, \quad (8)$$

и

$$\frac{2}{3}p_n + \frac{1}{3}q_n - \pi < \frac{64}{n^4}, \quad n \geqslant 3. \quad (9)$$

Непосредственно из этих неравенств

14

замечаем, что «скорость», с которой разность $\frac{2}{3} p_n + \frac{1}{3} q_n - \pi$ стремится к нулю, больше «скорости», с которой стремится к нулю разность $\pi - p_n$ при $n \to \infty$.

Для сравнения этих «скоростей» найдем те значения $n$, которые нам наверняка обеспечат точность вычисления числа $\pi$, например, равную $10^{-2}$. Так как $\pi - p_n < \frac{6}{n^2}$, для вычисления по формуле Архимеда с этой точностью достаточно взять $n$ таким, чтобы $6/n^2 < 10^{-2}$, то есть $n \geq 25$. Используя же формулу Гойгенаса, нам достаточно выбрать $n$ таким, чтобы $64/n^4 < 10^{-2}$, то есть $n \geq 9$.

Как видно из разобранного примера, а также из неравенств (8) и (9), формула Гойгенаса быстрое приводит к заданной точности.

Две задачи

Мы помещаем здесь материал, который может стать началом небольшого математического исследования.

Задача 1. Пусть $AC$ — хорда, $|BB_1| = 2R$ — диаметр окружности. $O$ — центр круга, $(BB_1) \perp (AC)$, $B$ — середина дуги $AC$, $E$ и $F$ — середины дуг $AB$ и $BC$ соответственно (рис. 10). Доказите, что

a) $|AB|^2 = |BD| \cdot |BB_1|$, $|BE|^2 = |BG| \times |BB_1|$;

b) $|BD| < 4 \cdot |BG|$;

c) $|AC| < 2 \cdot |EF|$;

d) $S_{ABC} < 4(S_{ABE} + S_{BFC})$;

e) $\pi R^2 > \frac{4}{3} S_{2n} - \frac{1}{3} S_n$;

где $S_n$ — площадь правильного в окружность $n$-угольника ($S_{2n}$ — соответствующее $2n$-угольника);

ж) $2\pi R > \frac{4}{3} p_{2n} - \frac{1}{3} p_n$,

где $p_n$ — перimetр правильного в окружность $n$-угольника ($p_{2n}$ — соответствующее $2n$-угольника);

задача 2. Докажите, что все нижелейные предыдущего существуют и найдете их:

a) $n^2(\pi - p_n)$;

b) $n^4\left(\frac{2}{3} p_n + \frac{1}{3} q_n - \pi\right)$;

b) $\lim_{n \to \infty} \frac{p_n^2 - p_{n-1}p_{n+1}}{2p_n - p_{n-1} - p_{n+1}}$;

r) $n^4\left(\pi - \frac{4}{3} p_{2n} + \frac{1}{3} p_n\right)$;

d) $\lim_{n \to \infty} \frac{\pi R^2 - S_n(n)}{S_q(n) - \pi R^2}$,

где $R$ — радиус круга; $S_p(n), S_q(n)$ — площади правильных виссанных и описанных многоугольников.

В заключение отмечим, что наблюдение Х. Гойгена о том, что число $n$, равное длине окружности радиуса $1/2$, находится в два раза больше к перimetр виссанного в эту окружность правильного $n$-угольника, чем к перimetр описанного вокруг этой окружности правильного $n$-угольника, было не так давно обобщено на случай произвольных выпуклых фигур, ограниченных гладками (без изломов) кривыми. Именно, имеет место следующие утверждения.

Пусть $L$ обозначает длину выпуклой замкнутой кривой без изломов, $P_n$ — перimetр $n$-угольника с максимальным перimetром, виссанного в данной кривой и $Q_n$ — перimetр описанного вокруг данной кривой с минимальным перimetром (такие существуют!). Тогда справедливо соответствие утверждений

$$\lim_{n \to \infty} \frac{Q_n - L}{L - P_n} = 2.$$

Доказательство этого утверждения и многое другое интересные результаты, связанные с ним, можно найти в книге [4].

Литература

1. Рудно Ф. О кадаратуре круза (Архимед, Гойгенс, Лежандр, Ламберт), Матезис, 1911.
2. Веселовский И. Н. ХристIAN Гойгенс. — М.: Учредгиз, 1959.
3. Кыпман Ф. История числа $\pi$, — М.: Наука, 1971.
4. Тот Л. Ф. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве, — М.: Физматгиз, 1958.