Задача для исследования

19

ранные системы, которые вводят лекарстенные вещества в строго контроллеруемых количеств в кровеносные сосудах прямое через кожу, куда их приклеивают. Уже появились капсулы-наклейки с нитроглицерном для сердечных больных.

Многие крупные научно-производственные объединения занимаются совершенствованием_memбранной технологически. Рождаются все новые и новые методы получения полупроницаемых пленок. Так, несколько лет назад их начали делать с помощью …ускорителей тяжелых ядер. Под пучком таких ядер синтетические пленки

Задача для исследования

Черно-белые области

Число черных и белых полей на шахматной доске одинаково. Если на плоскости расположен несколько прямых, то все части, на которые они делят плоскость, тоже можно раскрасти в два цвета — черный и белый — так, что части, имеющие общую стороны, показаны в разные цвета. Однако при этом черных и число белых области не обязательно будет одинаковым.

Во сколько раз число черных области может превозходить число белых? Такую задачу поставил в прошлом году на семинаре в МГУ член-корреспондент АН СССР И. В. Арнольд. (Эта задача связана с такой: на сколько число максимумов многочлена $n$-й степени от двух переменных может превозходить число его минимумов?)

Точнее, предполагается, что $n$ прямых на плоскости находится в общем положении (никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку), и требуется найти максимальное значение, которое принимает отношение числа черных и белых области при этих условиях.

В задаче № 4 для 10 класса на последней Всесоюзной олимпиаде (см. с. 53) предлагалось доказать, что число черных области не превышает удвоенного числа белых. На самом деле, как доказал молодой Московский математик Ю. В. Чеканов, при возрастинии числа прямых $n$ максимальное отношение числа черных области к числу белых стремится к 2; его доказательство опирается на некоторых сообщения теории эллиптических кривых (линия уровня энергии системы с кубическим потенциалом), о которых раскразано в стате «Как сахат дерева» из книги «Математический цветник» (М., 1982, с. 117—129). Попробуйте найти точные значения максимального отношения числа черных и белых области хотя бы для некоторых значений $n$ ($n=4, 5, 6, \dots$) и постройть серий примеров, для которых при возрастинии $n$ это отношение остается больше неоторого числа, большего 1. (Точное значение максимального отношения для $n=2^k$ прямых нашей ленинградский математик П. Ю. Суворов; интерсоответствует, что и Павел Суворов, и Юра Чеканов, как впроцем и Владимир Игоревич Арнольд, в прошлом — победители математических оптимизации.)

Близкий к задаче о черно-белых области вопрос: какую наиболее допустую долю среди области, на которых $n$ прямой разбивают треугольники?

Интересны и аналогичные вопросы для черно-белой раскраски области, на которых $n$ прямой разбивают треугольники?

Поправка

Мы публикуем здесь два рисунка, которые были отпечатаны с ошибками на с. 35 «Квата» № 10 по вине типографии. Рисунок, помещенный здесь, должен быть третьим сверху влевой колонке на с. 35 номера 10, а рисунок справа — последним (нижним) в этой же колонке. Отметим также, что ссылки на рисунки 3 и 4 в тексте следует помещать местами.