Формула Бальмера

16

Некоторые замечательные неравенства

1. Неравенство Коши:
   $$\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \dots a_n} = G.$$

Доказательство. Можно считать, что $a_1 \geq a_2 \geq \dots \geq a_n$. Рассмотрим наборы чисел
$$\frac{a_1}{G}; \frac{a_1 a_2}{G^2}, \dots, \frac{a_1 a_2 \dots a_n}{G^n} = 1,$$
$$\frac{G}{a_1}; \frac{G^2}{a_1 a_2}, \dots, \frac{G^n}{a_1 \dots a_n} = 1.$$

Эти наборы противоположно упорядочены. Поэтому
$$n = \frac{a_1}{G} \cdot \frac{G}{a_1} + \frac{a_1 a_2}{G^2} \cdot \frac{G^2}{a_1 a_2} + \dots + \frac{a_1 \dots a_n}{G^n} \leq \frac{a_1}{G} \cdot 1 + \frac{a_1 a_2}{G^2} \cdot \frac{G}{a_1} + \dots + \frac{a_1 a_2 \dots a_n}{G^n} \times \frac{G^{n-1}}{a_1 a_2 \dots a_{n-1}} = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{G}.$$

2. Неравенство Чебышева. Если $a_1 \geq a_2 \geq \dots \geq a_n > i$ и $b_1 \geq b_2 \geq \dots \geq b_n \geq 0$, то
   $$n (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n) \geq \geq (a_1 + a_2 + \dots + a_n) (b_1 + b_2 + \dots + b_n).$$

Доказательство. Сложив $n$ неравенств
$$a_1 b_1 + \dots + a_n b_n \geq a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n,$$
$$a_1 b_1 + \dots + a_n b_n \geq a_1 b_2 + a_2 b_3 + \dots + a_n b_1,$$
$$a_1 b_1 + \dots + a_n b_n \geq a_1 b_n + a_2 b_1 + \dots + a_n b_n,$$
получим требуемое.

Наш календарь

Формула Бальмера

«Как только я увидел формулу Бальмера, мне все сразу же стало ясно», — так общую рассказывал Н. Бор о завершащем этапе своей работы над созданием квантовой теории атома.*)

В этом году исполнилось 100 лет с тех пор, как эта формула, который служено было сыггать выдающимся роль в истории науки, стала известна широким кругом ученых. Впервые она была опубликована Бальмером в 1884 году, но он ней почти никто не знал, пока в 1885 году не появился статья в немецком физическом журнале.

Швейцарц Иоганн Яков Бальмер (1825—1898), получив университетское математическое образование, с 60-х по 90-e годы прошло века преподавал математику в Базеле в гимназии для девочек и вел занятия по начертательной геометрии в местном университете.

Круг интересов Бальмера был очень широк — философия и литература, музыка и архитектура, древняя история и история естественного мира, medicine. Но как пригоден математика его больше всего улекали поиск математической гармонии, конкретино — закономерных числовых отношений: в формух кристаллов, в геометрических параметрах значенных параметров архитектуры и т.п. Именно эта улеканость «магийей чисел» и привела базельского преподавателя к его замечательному открытию.

Вот задача, которую ре

17

Шил Бальмер. Данные четыречесла.

6562,10; 4860,74; 4340,10; 4101,2.

Требуется найти «закон», которое они следует.

Тот, кто захочет решить эту задачу самостояльно (а для этого ничего, кроме элементарной математики, не потребуется), должен здесь на время превать чтение заметки, поскольку чуть дальше приводится ответ.

Числа, закономерность следования которых наилель Бальмер, — это длинный волн (в 10⁻¹⁰ м) четырехлиней в видимой области спектра атома водорода. В физике Бальмер был самоое большое диаметром и к постановке задачи пришел случайно — прослушав лекцию профессора физики по спектральным исследованием. Надо сказать, что серия линей водородного спектра физика-профессионалам была хорошо известна по меньшей мере с 1868 года. Но в попытках установить спектральный закон физики неизменного руководствовались, как оказалось впоследствии, не имеющей к делу никакого отношения актической аналогии: линии серии уподобляли обертоном звука и искали для них выражения вида λ/n, где λ — некоторая основная длина волны, а n — целое число. При этом для спектров различных элементов получали различные наборцы целых чисел, между которыхми никакой связи не устматривалось.

Вероятно, Бальмер по могло то, что он не был физиком. Не отголошенный никакими предъявляемыми, он лишь искал простую формулу, максимальное точно воспроизводующее обнаруженную длиной волн спектральной серии. И результатом этих попыток стала знаменита «формула Бальмер»:

$$\lambda = \frac{n^2}{n^2 - 2^2}.$$

Здесь λ — длина волны спектральной линии, d — некоторая постоянная (равная 3645,6 · 10⁻¹⁰ м), а n — целые числа. Приведенные четыреше водородные линии получаются из этой формулы подстановкой для n значений 3, 4, 5 и 6 соответственно. Как ученый пришел к этой формуле, не известно, но имеются косвенные указания на то, что он опирался на довольное несложное геометрическое пространство.

Получив свою формулу, удивительно точно описывающего четыреше волны, Бальмер все же совместался — нашел ли он физический закономерность или его результатъе лишь следствие порAZительного совпадения. Пропистав популярный справочник по новейшим научным достижением, он узнал, что известна еще одна, пятая линия водородной серии с длиной волны 3969 · 10⁻¹⁰ м (это уже невидимая ультрафилютовая область спектра). Подставив в свою формулу n=7, Бальмер получил λ=3969 · 10⁻¹⁰ м! Этот успех существенно подкрепил его доверие к формуле, и он показал ее количество по Базельскому уни-верситету, профессор физики. Тот отчется к открытию с большим интересом и сообщил Бальмеру, что на самом деле известны еще девять линей в ультрафилютовой части водородного спектра. Не составило большого труда убедиться, что и эти линей великолепно описываются «волшебной» формулой (при подстановке n=8, 9, …, 16). Comненей в том, что найден какой-то новый фундаментальный закон природы, больше не оставалось.

В 1890 году шведский физик И. Ридберг (1854—1919) записал формулу Бальмера несколько пониому:

$$v = \frac{c}{\lambda} = Rc \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$$

(v — частота спектральной линии, c — скорость света, a R — функментальная физическая постоянная, которое теперь называют «постоянной Ридберга»). Именено в этой записи формула Бальмера предстала Бором в февралье 1913 года. Принаяв во внимание выражение для энергии кванта hv (h — постоянная Планка), Бор сразу же разгадал физический смысл формулы, остававшийся совершенной почти три десятилетия. А смысл этот предъявлено точным и ясным — спектральные линии соответствуют квантом электромагнитногоизлучения, испускаемый электронами при перескоках с орбиты с номером n (n=3, 4 и т. д.) на более близкую к ядру 2-ю орбиту.

Очень часто повторяют два утверждения: 1) крупнейшие научные открытия ученые совершают только в молодости; 2) к таким открытиям нельзя прийти к ним. История открытия Бальмера наглядно демонстрирует, что бывают и исключения.

В. Е. Явелов