XXVI Международная математическая олимпиада

Квант 1985, №12 с. 46-47 Тег 6TA7

XXVI
Международная математическая оптимка

Т. А. САРЫЧЕВА,
кандидат физико-математических наук
А. А. ФОМИН

XXVI Международная математическая оптимка (ММО) прохождение в Финляндии в городах Хельсинки, Хейнола и Юутса с 29 июня по 10 июля 1985 года. Популярность этого современная увеличивается, число стран-участниц растет постоянно и довольно быстро, что создает определенные трудности для стран — организаторов. В этом году впервые приняли участие в ММО Иран, Исландия, Китайская Народная Республика, Турция, а также присутствовал наблюдается от Индии.

От 31 страны в ММО приняли участие полные команды по 6 школьников, от Италии и Кувейта — по 5, от Испании и Туниса — по 4, от Исландии и Китая — по 2, от Ирана — 1 участник. Таким образом, в умении решать задачи современных 209 школьников из 38 стран всех частей света.

Жюри оптимизации, состоящее из руководителей команд, работало с 29 июня в небольшим живописном городке Хейнола в 140 км севернее Хельсинки над составлением задач. После современная, прохождение в два типа 4 и 5 июля, члены жюри переехали в еще более маленький город Юутсу, где уже несколько дней размещались школьники в прекрасно оборудованной гостинице в сосновом бору на берегу большого озера. В Юутсе прохождение и координация работ. Последние два дня участники оптимизации проводили в Хельсинки, где состояние закрытие оптимизации, несколько экскурсии, а также весы заключительной в черном школьнике смогли продемонстрировать свои таленты в песнях, танцах, шутках.

Организаторы оптимизации прекрасно справились со всеми трудностями. Особенно нужно отметить четку и самоответженную работу председателя жюри Иллю Лайне, главного координатора Юхи Ойконена, секретаря оптимизации и руководителя комитета по отбору задач Матти Лехтина, председателя оргомитета Хеймо Латвы.

По традиции в каждой из двух дней совершенняли предлагалось по 3 задачи на 4,5 часа работы. Каждая задача оценилась в 7 очков.

Первый день
1 (Великоорганизация). Дан выпуклый четырехугольник ABCD, вокруг которого можно описать окружность. Некоторые окружности с центром на стороне AB касаются остальных трех сторон. Докажите, что $|AD| + |BC| = |AB|$ .

2 (Австралия). Даны взаимно простые целые числа n и k (0<k<n). Каждый из чисел множества M={1,2,…,n-1} оказывают либо в головой, либо в белый цвет, так чтобы выполнялись следующие условия:

a) для каждой i из множества M числа i и n-i должны быть окрашены в один цвет;
b) для каждой i из M, отличного от k, числа i и |k-i| должны быть окрашены в один цвет.

Докажите, что все числа множества M будут окрашены в один цвет.

3 (Индерланды). Для любого многочлена $P(x)=a_0+a_1x+\dots+a_kx^k$ с целыми коэффициентами обозначим через $w(P)$ число коэффициентов, которые являются нечетными числами. Пусть $Q_i(x)=(1+x)^i$ для $i=0, 1, 2, \dots$ . Докажите, что если числа числа $i_1, i_2, \dots, i_n$ удовлетворяют условию $0 \leq i_1 < i_2 < \dots < i_n$ , то

$w(Q_{i1}+Q_{i2}+\dots+Q_{i_n}) \geq w(Q_{i1}).$

Второй день
4 (Монголия). Дано множество M, состоящее из 1985 различных натуральных чисел. Простые делители каждой числа из множества M не преводятся 26. Докажите, что из множества M можно выбрать четырьмя парно различных числа, произведение которых является четвертой степенью неокоторого целого числа.

5 (ССР). Дан треугольник ABC и окружность с центром O, проходящая через вершины A и C, которая повторно пересекает отрезки AB и BC в различных точках K и N соответственно. Окружности, описанные вокруг треугольников ABC и KBN, имеютровно две общие точки B и M. Докажите, что угол ОМB прямой.

6 (Швеция). Для каждой действительного числа $x_1$ строим последовательность $x_1, x_2, \dots$ , полагая

$x_{n+1}=x_n \cdot (x_n+\frac{1}{n})$

Команда СССР на XXVI Международной математической олимпиаде в Хельсинки.

для всех $n \geqslant 1$ . Докажите, что существует одно и только одно значение $x_1$ , для которого $0 < x_n < x_{n+1} < 1$ при всех $n$ .

Команда СССР, состоящая в этом году из школьников различных городов и разных ресурсных нашей страны, завоевала в трудной борьбе одну золото, две сербянные и две бронзовые медали.

Ольга Леонтьева из Ленинграда, набрав 36 очков, вошла в шестерку лучших, которые были нагружены помимо золотых медалей персональными компьютерами. Ольга была единственной девочек на олимпиаде, попавшей в число четырнадцати первых призеров.

Олег Бондаренко из г. Горловки Донецкой области и Анатолий Малеваец из Красного Луца Ворошилградской области, оба воспитники ФМШ при КГУ, набрав по 29 очков, получили сербянные медали. Воспитник ФМШ при МГУ Лев Иванов из Саратова, получив 21 очков, возглавил список третьих призеров, в числе которых попал и Дмитрий Бибин из Витебска (16 очков). Мати Пентус из Таллина (9 очков) ограничился дипломом участника. Мати, простудившийся накануне олимпиады, выступил ниже своихвозможностей, однako, как было сказано на церемонии закрытия, на Международной математической олимпиаде есть победители, но нет победенных.

Подкомитет жюри, состоящий из шести руководителей команд страна, предложивших задачи, рассмотрел вопрос о специальных призах за оригинальные решения задач. Хотя школьники были найдены прекрасные решения, в том числе ранее не известные жюри, в особенности по геометрическим задачам, подкомитет решил специальных призовникому не присудать, так как ни одно из этих решений не было уникальным, а повторялось в ряде работ.

ММО — это совершенное школьков, а не стран. Тем не менее, можно отметить, что школьники социальстических стран выступают традиционно очень хорошо. В числе шести команд, набравших в совокупности наиболее число очков, пять команд социальстических стран: Румыния (201), Венгрия (168), Болгария (165), Вьетнам (144), СССР (140). Хорошо выступила также команда США (180). Кроме того в десятику лучших команд ФРГ (139), ГДР (136), Франции (125), Великобритании (121).

Всем, кто присутствовал на церемонии закрытия в университете Хельсинки, кто видел счастливые лица победителей и слышал горячие аподисменты, было понятно, какую большую роль играют ММО в деле развития математического образования в мире, в деле укрепления доверия и других международных对手.

Следующая, XXVII Международная математическая олимпиада школьников состоит в Варшаве в июле 1986 года.