Заочная физико-техническая школа при МФТИ

52

Заочная физико-техническая школа при МФТИ

Заочная физико-техническая школа (3ФТШ) при Московском ордена Трудового Красного Знаменения физико-техническом институте (МФТИ) проводит набор учащихся восbmилетних и средних школ, расположенных на территории РСФСР, в 8, 9 и 10 классы на 1986/87 учебный год.

Цель школы — помощь ученикам в самостоятельных занятиях по углубленному своих знаний по физике и математике. Вот почему при приеме в 3ФТШ предопочтение отделется учащимся, проживающим в сельской местности и рабочих поселках, где такая помощь особенно нужна.

Обучение в школе бесплатное.

Кроме отдельных учащихся, в 3ФТШ принимаются физико-технические кружки, которые могут быть организованы в любой общеобразовательной школе двумя преподавателями — физики и математики. Руководители кружка набирают и зачисляют в них учащихся, успешно выполивших вступительное задание 3ФТШ. Кружок принимается в 3ФТШ, если директор школы сообщит фамилии руководителя и помещенный список членов кружка (по классам, с указанием итоговых оценок за вступительное задание). Все материалы по организации кружков следует выслать в адрес 3ФТШ до 25 мая 1986 года.

Учащие 3ФТШ и руководители физико-технических кружков будут получать задания по физике и математике в соответствии с программой 3ФТШ, а также рекомендуемые 3ФТШ решения этих заданий. Задания содержат теоретический материал и разбор характерных заданий и примеров по теме, а также 10—14 задания для самостоятельного решения. Это и простые задачи, и более сложные (на уровне конкурсных задач в МФТИ). Работы учащихся-заочников проверяют в 3ФТШ или ее фильпах, а работы членов кружка проверяют его руководителя.

С учащимся Москвы проводятсяочные занятия по физике и математике (по программе 3ФТШ) два раза в неделю в вечерних консультанционных пунктах (в ряде Москвы школа). Набор в эти группы проводится или по результатам выполнения вступительного задания 3ФТШ, или по результатамочного собеседования по физике и математике (справки по телефону 408-51-45).

Вступительное задание по физике и математике каждый ученик выполняет самостоятельное. Работу надо сделать на русском языке и аккуратно переписать в одну школьную тердаль. Порядок задачи должен быть тот же, что и в задании. Тердаль перешпите в большом конверте простой бандероль (только не сворочивайте в трубку). Вместе с решением обязательно вышлите справку из школа, в которой вы учитесь, с указанием класса. Справку наклейте на внутреннюю сторону обложки тердали. Без этой справки решение рассматривается не будет. На внешнюю сторону терданной обложки наклейте лист бумаги, заполненный по образцу:

1. Область (край или АССР)
2. Фамилия, имя, отчество
3. Класс
4. Номер и адрес школа
5. Профессия родитель и занимаемая должность:
   отец
   матЬ
6. Подробный домашний адрес
   307239, Курская обл., г. Курчатов, ул. Космонавтов, д. 10, кв. 76.

ВНИЗУ НАЧЕРТИТЕ ТАБЛИЦУ ДЛЯ Оценок за вступительное задание:

№
Ф.
М.

Для получения ответа на вступительное задание в тердаль конверт с вашим домашним адресом.

Срок отправления решения — не позднее 1 марта 1986 года (по почтовому штемпелю места отправления). Вступительные работы обрабат не высылаются. Решение приемной комиссии будет сообщено не позднее 1 августа 1986 года.

53

Тетрадь с выполненными заданиями (обязательно и по физике, и по математике) присылайте по адресу: 141700 г. Долгопрудный Московской области, Московский физико-технический институт, для 3ФТШ.

Учащиеся Архангельской, Волгодской, Калининской, Калининградской, Кировской, Костромской, Ленинградской, Мурманской, Новгородской, Пермской, Псковской и Ярославской области, Карелской, Коми и Удмуртской АССР высылают работы по адресу: 198904 г. Старый Петерф, ул. 1 Мая, д. 100, ЛГУ, филиал 3ФТШ при МФТИ.

Учащиеся Амурской, Иркутской, Камчатской, Кемеровской, Магаданской, Новосибирской, Омской, Сахалинской, Томской, Томенской и Читинской области, Алтайского, Красноярского, Приморского и Хабаровского края, Бурятской, Тувинской и Якутской АССР высылают работы по адресу: 660062 г. Красноярск, пр. Свободный, д. 79, Государственный филиал 3ФТШ при МФТИ.

Ниже приводятся вступительные задания по физике и математике.

В задании по физике задачи 1—5 предназначены для учащихся седых классов, 4—9 — для учащихся восьмых классов, 8—14 — для учащихся девятьх классов.

В задании по математике задачи 1—5 предназначены для учащихся седых классов, 3—9 — для учащихся восьмых классов, 6—12 — для учащихся девятьх классов.

Вступительное задание

Физика

1. Спорстемы бегут колонной длины $l$ по одному с одинаковой скоростью $v$. Навстречу бежит тренер со скоростью $u < v$. Каждый спорстimen, поравязывай с тренером, поворачивает и бежит назад с той же скоростью $v$. Какова будет длина колонны, когда все спорстены развернуть?

2. Гидравлический пресс, заполненый водой, имеет порщини сечением $S_1=100$ см$^2$ и $S_2=10$ см$^2$. На больший поршень становится человек массой $M=80$ кг. На какую высоту поднимется после этого малый поршень?

3. В цилиндрической сосуд с площадью сечения $S=200$ см$^2$ и высотой $h=30$ см налито $V=4$ л воды. В сосуд опускают стержень сечением $s=100$ см$^2$, высота которого равна высоте сосуда. Какую минимально массу должен иметь стержень, чтобы он опустился до дна сосуда?

4. Пулемет с водяным охлаждением ствола дает 600 выстрелов в минуту. Заряд пороха в патроне $m=3,2$ г, 28 % выделяемого количества теплоты идет на нагревание воды в кокуже ствола. Через какое время вода закипит, если ее было налито $V=4$ л при температуре $t=20^\circ\text{C}$? Теллота сторания пороха $q=4 \times 10^6$ Дж/кг, удельная температура давления ($T \sim p^2$) от значения $T_1$ до значения $T_2$. Определите работу, совершенную газом при этом процессе.

5. В откачном герметическом закрытом сосуде обмена $V=1$ л находится открытая колочка, содержащая $m=10$ г воды. Сосуд проретают при температуре $t=100^\circ\text{C}$. Какая масса воды испарится?

Математика

1. Какое из двух чисел больше:
   $$\frac{10^{1985}-1}{10^{1986}-1} \text{ или } \frac{10^{1986}-1}{10^{1987}-1}$$

2. Расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно 5 км. Через $A$ проходит прямолинейная дорога, образующая с прямой $AB$ угол $a$, сosci $a=\frac{4}{5}$. Два туриста одновременно вышли из $A$ и одновременно приближали в $B$, но первый дивигляс из $A$ в $B$ через поле по прямой, а второй сначала шел по дороге, а затем свернул и тоже пошел через поле направник. В поле туристи шли со скоростью 4 км/ч, а по дороге — 6 км/ч. Какой путь прошел второй турист?

3. Натуральное число оканичивается на 3. Если эту цифру переставить в начало числа, то оно уведомится. Найдите наименьшее такое число.

4. В прямогольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) проведены высоты $CD$ и медиана $CE$. Найдите отношение длины катетов треугольника $ABC$, если известно, что $AB=3DE$.

5. Найдите все трехзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.

6. Изображите на координатной плоскости множество точек с координатами $(p; q)$, для ко-

55

Упорядоченные наборы чисел и неравенства

1. Пары чисел $(|a|^3, |b|^3)$ и $(|a|, |b|)$ упорядочены одинаково. Позотому
   $$a^4 + b^4 \geq |a|^3 \cdot |a| + |b|^3 \cdot |b| \geq |a|^3 \cdot |b| + |b|^3 \cdot |a| \geq a^3 b + b^3 a.$$
2. Тройки чисел $a^2, b^2, c^2$ и $bc, ac, ab$ противоположно упорядочены. Позотому
   $$a^2 bc + ab^2 c + abc^2 \leq a^3 b + b^3 c + c^3 a.$$
3. Рассматривая противоположно упорядоченные тройки
   $$(a^2 b^2, b^2 c^2, c^2 a^2); \left( \frac{c}{ab}; \frac{a}{bc}; \frac{b}{ac} \right),$$
   получаем неравенства:
   $$\frac{a^3 b}{c} + \frac{b^3 c}{a} + \frac{c^3 a}{b} \geq a^2 b^2 \cdot \frac{c}{ab} + b^2 c^2 \cdot \frac{a}{bc} + c^2 a^2 \cdot \frac{b}{ac} = 3abc,$$
   аналогично, $\frac{ab^3}{c} + \frac{c^3 b}{a} + \frac{ca^3}{b} \geq 3abc$, складывая которые, приходим к требуемому.
4. Сложите 3 неравенства
   $$a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \leq a_1 b_3 + a_2 b_2 + a_3 b_1,$$
   $$a_1 b_2 + a_2 b_3 + a_3 b_1 \leq a_1 b_3 + a_2 b_2 + a_3 b_1,$$
   $$a_1 b_3 + a_2 b_1 + a_3 b_2 \leq a_1 b_3 + a_2 b_2 + a_3 b_1.$$
5. Воспользовитесь упражением 4 для троек $(a, b, c)$ и $\left( \frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b} \right).$
6. Решается аналогично предыдущему с использованием неравенства Чебышва.
7. Наборы чисел $a^k_1, \dots, a^k_n$ и $a^m_1, a^m_2, \dots, a^m_n$ одинаково упорядочены.
8. Тройки чисел $(a^5, b^5, c^5)$ и $\left( \frac{1}{b^3 c^3}, \frac{1}{a^3 c^3}, \frac{1}{a^3 b^3} \right)$ одинаково упорядочены. Позотому
   $$\frac{a^5}{b^2 c^3} + \frac{b^5}{a^3 c^3} + \frac{c^5}{a^3 b^3} \geq \frac{a^2}{c^3} + \frac{b^2}{a^3} + \frac{c^2}{b^3}.$$
   Тройки $(a^2, b^2, c^2)$ и $\left( \frac{1}{a^3}, \frac{1}{b^3}, \frac{1}{c^3} \right)$ упорядочены противоположно. Позотому
   $$\frac{a^2}{c^3} + \frac{b^2}{a^3} + \frac{c^2}{b^3} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}.$$
9. Пусть $k=2, m=1$. Так как наборы
   $$a_1^2, \dots, a_n^2 \text{ и } \frac{1}{a_1}, \dots, \frac{1}{a_n}$$
   противоположны,
   $$a_1^2 \cdot \frac{1}{a_1} + a_2^2 \cdot \frac{1}{a_2} + \dots + a_n^2 \cdot \frac{1}{a_n} \leq$$
   $$\leq a_1^2 \cdot \frac{1}{a_1} + a_2^2 \cdot \frac{1}{a_2} + \dots + a_n^2 \cdot \frac{1}{a_n}.$$
   $$a_2^2 \cdot \frac{1}{a_1} + a_2^2 \cdot \frac{1}{a_2} + \dots + a_n^2 \cdot \frac{1}{a_n} \leq$$
   $$\leq a_1^2 \cdot \frac{1}{a_1} + a_2^2 \cdot \frac{1}{a_2} + \dots + a_n^2 \cdot \frac{1}{a_n}.$$
   Осталось сложить полученные неравенства. Общий случай анализчен разобранному.

«Квант» для младших школьников

1. 46523+46523=93046.
2. Если обозначить через $w$ объем бака, а через $x, y$ и $z$ объемы бидов, то получим соответствие:
   $$\frac{w}{3} = \frac{x}{2} = \frac{2y}{3} = \frac{3z}{4},$$
   или $4w=6x=8y=9z$.
   Ниименьшее общее кратное чисел 4, 6, 8 и 9 равно 72, поэтому каждое из чисел в последней цепочке равенств должно быть кратно 72. Найменьший объем бака мы получим в том случае, когда каждое из них равно 72, откуда $w=18, x=12, y=9, z=8$.
3. Дело в малой разнице коэффициентов теплового расшириния железа и бетона; этим объясняется прочность железообетонных конструкций.
4. См. рисунок 1.
5. Пусть нашей число $N$ равно $\overline{a_1 \dots a_{20}}$. Тогда $7N=7a_{20}+70a_{19}+700a_{18}+\dots+70\dots0a_1$.
   Очевидно, что сумма цифр суммы нескольких чисел не превозходит суммы суммы цифр этих чисел. Но сумма цифр числа 70…0$a_k$ равна сумме цифр числа $7a_k$, последняя же равна самому числу $7a_k$, если $a_k=0$ или 1, и меньше $7a_k$, если $a_k>1$ (сумма цифр любого числа, больше его равного 10, меньше этого числа). Значит, сумма цифр числа 7$N$ равно в 7 раз больше суммы цифр числа $N$ (а именно это верно для нашей чисел $N$, только если все цифры числа $N$ равны 0 или 1. Значит, $N$ составлено из 10 единиц и 10 нулей. Умножим теперь столбиком такое число на 19.
   …0110111
   × 19
   …0990999
   …0110111
   …2092109
   Ясно, что наиболее возможная сумма цифр результата будет 10·1+10·9=100, и она уменьшается на 9 всякий раз, как единица оказывается под девяткой. У нас сумма равна 19=100-81, то есть единица оказается под девяткой 9 раз. Но это возможно, только если все единицы в числе $N$ идут подряд. Значит,
   $$N = 1 \dots 10 \dots 0$$
   10 10

56

Безумное чаепитие

Задчи:

1. Часы, которые стоит, так как они чаще показывают точное время.
2. Одинаковые количество.
3. Большинские должны завести свои часы, запомнить их показания и отправиться к Мартовскому Зайцу. У Зайца он должен посмотреть на часы и тут же отправиться назад. Придомой и снова посмотрев на свои часы, он узнает, сколько времени он отсутствовал. Теперь Большинские должны установить на своих часах время, равное времени, которое он знает, уходя от Зайца, плос поливну времени, затраченного им на дорогу туда и обратно.
4. Как нарисовать математику? Присылайте нам рисунки, так как мы этого делать пока не умем. Некоторые из вас, по-видимому, знают, что математики изображают произвольные множества кружочками на плоскости.
5. Через 720 суток, то есть почти через 2 года.

Интерференция света

1. В точках максимумов световые колбания в каждой из пучков проискодят в одинаковой фазе, и их амплитуды складываются, а в точках минимумов — в противофезе, и амплитуды вычитаются. Позмоту $I_{\text{max}} = (\sqrt{1} + \sqrt{2})^2 = 9I_1$, $I_{\text{min}} = (\sqrt{2} - \sqrt{1})^2 = I_1$. Таким образом, результатырушающая интенсивность лежит в пределах $I_1$ и $9I_1$.
2. Выразим толщину воздуханого заора $h$ через расстояние $r$ до точки касания (радис соответствующего колба) и радиус сферы (рис. 2):
   $$h = R - \sqrt{R^2 - r^2} = R(1 - \sqrt{1 - (r/R)^2}) \approx r^2 / (2R)$$
   (зесь мы воспользовались тем, что $r/R \ll 1$). Так как смешению на одну полосу соответствует увеличение толщины заора на $\lambda/2$, то пятое темное колбанное соответствует толщине $h_5 = 5\lambda/2$. Подставляя $h_5$ в предыдущей выражение, находим радиус исключого колба:
   $$r_5 = \sqrt{5\lambda R} \approx 1,7 \cdot 10^{-3} \text{ м} \approx 1,7 \text{ мм}.$$

XXVI Международная математическая оптикада

1. Пусть $E$ — точка на отрезке $AB$ такая, что $AE = AD$, а $F$ — точка пересечения бисекторис углов BCD и CDA, по условию лежащая на $AB$. Точки $C, D, E$ и $F$ лежат на одной окружности (если $E$ лежит на отрезке $AF$, то $\angle DEA = \angle DCE = (180^\circ - \angle A)/2$), открыта следует, что $EB = CB$ (поскольку $\angle CED = \angle ECB = (180^\circ - \angle B)/2$).
2. Будем вместе слов «окрашены в один цвет» писать значок ~ и назвать число $m$ из $M$ «периодом», если выполнен условие: для каждой

Заметим, что $BO_1 \perp KN$ (из равноведренного треугольника $AO_1B$ получаем, что $\angle KBO_1 = (180^\circ - \angle AO_1B)/2 = 90^\circ - \angle ACB$, но $\angle ACB = 180^\circ - \angle AKN = \angle BKN$, следовательно, $\angle KBO_1 + \angle BKN = 90^\circ$; в случае, когда точки $O_1$ и $C$ лежат по разные стороны от $AB$, это рассужждение нужно немного изменить). Аналогично доказывается, что $BO_2 \perp AC$. Но $OO_2$ и $OO_1$ — середины перpendикulares $KN$ и $AC$. Таким образом, $BO_1 \parallel OO_2$ и $BO_2 \parallel OO_1$, что и требовалось доказать.
Если вам удалось найти более короткие и красивые решения, напишите в «Квант» автору задачи И. Ф. Шарыгину.
6. Условие $0 < x_n < x_{n+1} < 1$ эквивалентно такому:
$$1 - \frac{1}{n} < x_n < 1.$$

Определим функцию $f_n$ на отрезке [0; 1] равенством $f_n(x_1) = x_n$ и обозначим через $a_n$ и $b_n$

57

Рис. 3.

решения уравнения $f_n(a_n)=1-1/n$ и $f_n(b_n)=1$. (Эти решения существуют и единственны, причем $a_n<b_n$, так как функция $f_n$ непрерывна, возвращает и принимает на концах отрезка значения $f_n(0)=0$ и $f_n(1)>1$. Тогда (1) равно ссловно условию

$$a_n<x_1<b_n,$$

(2) которое должно выполнять при всех $n\geqslant1$. Последовательность $(a_n)$ возвращает, поскольку $f_{n+1}(a_{n+1})=1-1/(n+1)>1-1/n=f_n(a_n)=f_{n+1}(a_n)$, аналогично доказывается, что $(b_n)$ убивает; обе последовательности ограничены. Следовательно, каждая из этих последовательностей имеет предел — соответственно, $a$ и $b$, $a\leq b$. Переход к пределу в (2), получаем, что число $x_1$ удовлетворяет условию заданий тогда и только тогда, когда $a\leq x_1\leq b$.

Остается доказать единственное $x_1$, то есть равенство $a=b$. Заметим, что разность $f_n(b)-f_n(a)$ возвращает:

$$f_{n+1}(b)-f_{n+1}(a)=$$

$$=(f_n(b)-f_n(a))(f_n(b)+f_n(a)+\frac{1}{n})>f_n(b)-f_n(a)$$

(мы используем неравенство $f_n(a)+1/n>f_n(a)+1/n=1$). Поэтому $b-a=f_1(b)-f_1(a)<f_n(b)-f_n(a)<f_n(b)-f_n(a)=1/n$ при всех $n$, а значит, $b-a=0$.

XVI Международная физическая олимпида Теоретический тур

Задание 1

На рисунке 5 показаны положения антенны 1 и 2 (расстояние между которых $r$) и направления на города $A$ и $B$ (угол между которых $\psi$). Полные фазовые сдиги колбаный, возникаемых обеими антеннами в некоторой точке, в направлениях $A$ и $B$ равны

$$\Delta(A)=2\pi \frac{r\cos\alpha}{\lambda}+\Delta\varphi,$$

(1)

$$\Delta(B)=2\pi \frac{r\cos(\psi-\alpha)}{\lambda}+\Delta\varphi,$$

(2)

где $\lambda$ — длина волны передатчика, $\Delta\varphi$ — разность фаз колбаный в антеннах, $\alpha$ — угол между плоскостью, проходящей через обе антенны, и направлением на город $A$. Запишем условия минимума интегисовности в города $A$ и максимума интегисовности в города $B$:

$$\Delta(A)=(2n+1)\pi,$$

(3)

$$\Delta(B)=2\pi k,$$

(4)

где $k$ и $n$ — целые числа. Из выражений (1) — (4) следует

$$\Delta(B)-\Delta(A)=2\pi \frac{r}{\lambda}(\cos(\psi-\alpha)-\cos\alpha)=$$

$$=(2(k-n)-1)\pi,$$

откуда

$$r=\frac{\lambda}{4\sin(\psi/2)} \frac{2(k-n)-1}{\sin(\alpha-\psi/2)}.$$

Рассмотрение $r$ между антеннами минимально, если $k=n$ и $\alpha-\psi/2=-\pi/2$. В этом случае

$$r_{\min}=\frac{\lambda}{4\sin(\psi/2)},$$

(5)

$$\alpha=\frac{\psi-\pi}{2},$$

(6)

то есть нормаль к плоскости, проходящей через антенны, является биссектрисой угла $\psi$. Из выражений (1), (3), (5) и (6) найдем

$$\Delta\varphi=\frac{\pi}{2}.$$

Изменение знака $\Delta\varphi$ (от $\pi/2$ до $-\pi/2$) приводит к противоположному эффекту: максимальная интегисовность излучения будет в направлении $A$, а минимальная — в направлении $B$. На рисунке 6 показаны положения антенны, направления на север $N$, а также направления на данные города $A$ и $B$. Из этого рисунка видно, что

$$\psi=\psi_2-\psi_1=85^\circ,$$

$$r_{\min}=\frac{\lambda}{4\sin(\psi/2)}=\frac{c}{4v\sin(\psi/2)} \approx 4,1 \text{ m},$$

58

Фаз колебаний силы тока и напряжения. Постоянная составляющая напряжения вдоль ребра $b$ бруска $U_0 \sim I_0 B_0$ cos $\varphi_2$, где $\varphi_2$ — разность фаз колебаний тока и индукции магнитного поля. Если аппарат включить так, как показано на рисунке 9, то при выполненении условия $R \gg \omega L$ сила тока в катушка, а значит и индукция магнитного поля, будет пропорциональна напряжение на аппарате, сила тока в бруске будет пропорциональна силе тока через аппарат и $\varphi_1 = \varphi_2 = \varphi$. В этом случае постоянная составляющая напряжения вдоль ребра $b$ бруска будет пропорциональна мощности, потребляемой аппаратом:

$$U_0 \sim I_0 B_0 \cos \varphi = P.$$

Задание 3*)
a) Если принять потенциальную энергию аппарата в поле тяготения Солнца равной нулю при бесконечном удалении от Солнца, то для выхода космического аппарата за пределы Солнечной системы с орбиты Земли необходимо, чтобы в момент старта его полная энергия была большие или равна нулю:

$$E = \frac{m v^2}{2} - G \frac{m M}{r_1} \geq 0, \quad v^2 \geq \frac{2 G M}{r_1},$$

(1)

где $m$ — масса аппарата, $r_1$ — радиус земной орбиты, $M$ — масса Солнца, $v$ — скорость аппарата относительной Солнца. Оргнательная скорость Земли $v_0$ определяется из второго закона Ньютона:

$$G \frac{m M}{r_1^2} = m \frac{v_0^2}{r_1}, \quad v_0^2 = G \frac{M}{r_1}.$$

(2)

Из выражений (1) и (2) получаем

$$v^2 \geq 2 v_0^2, \quad v \geq \sqrt{2} v_0.$$

С другой стороны, между стартовой скоростью

*) Решение этой и следующих задач несколько выходит за рамки программы по физике для нашей средней шкалы. (Причем, ред.)

60

с достаточно большой точностью можно было принять, что индукция магнитного поля в середине такой «объединенной» катушки определяется выражением

$$B_0 = \mu_0 \frac{I n}{l},$$

где $I$ — ток, $n$ — число витков в катушке, $l$ — ее длина, $\mu_0$ — магнитная постоянная. Если внешние измерительные катушки в зазор между катушкими $L_1$ и $L_2$ и резко убрать ее, то максимальное отклонение стрелки прибора $U_0$ будет пропорционально изменению магнитного потока через катушки, а следовательно, индукции $B_0$ магнитного поля:

$$U_0 \sim \Delta \Phi \sim \Delta B \sim B_0, \quad U_0 = a B_0.$$

Отсюда

$$a = \frac{U_0}{B_0} = \frac{U_0 l}{\mu_0 I_0 n}.$$

(Жорни снижало оценку, если не проводилось экспериментальное доказательство зависимости $U/B$=const для различных значений $U$ и $B$.) Положение центров магнитов в «черном ящике» можно было определить при помощи прибора магнита, подвешенного на нити (рис. 15). Koординату $z$ можно было определить, измеряя $B_z$ на определенной высоте над пробным магнитом и сравнивая эту величины с полем в плоскости $XY$ над центрами магнитов. С помощью измерительного схемы определяла зависимость поля $B_z$ от $x$ и $y$.

По формуле $B_{\max} = U_{\max}/a$ измерилось максимальное значение индукции магнитного поля пробного магнита.

Задача 2
Включив электромотор и запустив секундомер, подключенный к коммьюترу, получают на дисплее коммьютера таблицу $\varphi - t - \Delta t$, где $\varphi$ — угол повората диска, $t$ — время, прошедшее от начала измерений, $\Delta t$ — время полуборота диска. По этой таблице строится график $\varphi(t)$ при ускорении и замерении диска (кривые $a$ и $b$ на рисунке 16).

Затем составляются новые таблицы для построения графиков $\omega(t)$:

$$\omega(t) = \pi/\Delta t = \pi/(t_2 - t_1),$$

где $t_1$ и $t_2$ — времена регистрации двух последовательных прохождения стержня околиндукционного датчика. Средняя угловая скорость $\omega$ расчитывается для момента времени $t = (t_1 + t_2)/2$. Графики зависимости $\omega(t)$ при ускорении и замерении диска представлены на рисунке 17 (кривые $a$ и $b$).

Далее рассчитываются значения углового ускорения $\beta$. Среднее угловое ускорение на интервале времени от $(N-1)$-й до $(N+1)$-й регистрации стержня равно

$$\beta_N = \frac{\omega_N + 1 - \omega_N - 1}{((t_N - t_{N-1}) + (t_{N+1} - t_N))/2},$$

где $\omega_N - 1$ — угловая скорость на интервале от $t_{N-1}$ до $t_N$, а $\omega_N + 1$ — на интервале от $t_{N+1}$. Графики зависимости $\beta(t)$ для ускорения и замерения приведены на рисунке 18 (кривые $a$ и $b$). Moment сил при ускорении motoра равен $M_{\text{ускк}} = I \beta_{\text{ускк}}$, где $I$ — момент инерции диска. Так как $M_{\text{ускк}} = M_{\text{bp}} - M_{\text{тр}} = M_{\text{bp}} - I \beta_{\text{зам}}$, то $M_{\text{bp}} = I(\beta_{\text{ускк}} + \beta_{\text{зам}})$. Эти выражения позволяют построить графики $M_{\text{bp}}(\omega), M_{\text{тр}}(\omega)$ и $M_{\text{ускк}}(\omega)$ (кривые $a$, $b$, $e$ на рисунке 19). Графики зависимости мощности motoра от угловой скорости строятся, исходя из формулы $P_{\text{bp}} = M_{\text{ускк}}(\omega), P_{\text{тр}} = M_{\text{тр}}(\omega), p_{\text{ускк}} = M_{\text{bp}}(\omega)$ (кривые $a$, $b$ и $e$ на рисунке 20).

Избранные школьные задачи

(см. «Кваант» № 11)

1. 15. Указание. Обозначьте 1/11=a, 1/13=b и перешите сумму в виде

$$(2+a)(3-b)+(1+2a)(2+b)+(1-a)(7+b).$$

2. $x=1/993, y=1/992, z=1/994$. Указание. $a+b+c=3 \cdot 993$, где $a=1/x, b=1/y, c=1/z.$

3. 7 ч. 50 мин.

4. Указание. $0=(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(ab+bc+ca) \cdot (a+b+c)-3abc.$

5. Обозначьте

$$x = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{7}{9} \cdot \dots \cdot \frac{100}{102},$$

$$y = \frac{2}{4} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{8}{10} \cdot \dots \cdot \frac{101}{103},$$

$$z = \frac{3}{5} \cdot \frac{6}{8} \cdot \frac{9}{11} \cdot \dots \cdot \frac{102}{104}.$$

Поскольку $k/(k+2)>n/(n+2)$ при $k>n>0$, имеем $x<y<z$. Поэтому

$$x^3 < xyz = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 100 \cdot 101 \cdot 102}{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \dots \cdot 102 \cdot 103 \cdot 104} = \frac{2}{103 \cdot 104} < \frac{2}{100 \cdot 100} = \frac{1}{5000} < \frac{1}{17^3},$$

61

откуда $x < \frac{1}{17}$.

7. $a+b, \sqrt{r}, ab, ar, \sqrt{a+\sqrt{b}}, \sqrt{a+\sqrt{r}}$.

8. 5/2. Указание. Положите $x = \frac{a^2+b^2}{ab}$ и доказите, что $x \geq 2$.

9. Указание. Пусть $H, L, M$ — точки пересечения с окружностью высоты, биссертрисы и медианы, $O$ — центр окружности. Соедините точки $O$ и $L$, после чего проведите через $H$ прямую, параллельную $OL$; тогда вершина $B$ искомого треугольника — точка пересечения этой прямой с окружностью. Соедините точки $B$ и $M$; пусть $S$ — точка пересечения прямых $BM$ и $OL$. Проведяем через $S$ хорду, перепедикулярную радиусу $OL$, получите вершины $A$ и $C$ искомого треугольника (см. рисунок 21).

10. $|\overrightarrow{BA}_1 + \overrightarrow{BA}_2 + \dots + \overrightarrow{BA}_8| = 4$. Указание. $\overrightarrow{BA}_i = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OA}_i$, где $O$ — центр окружности ($i=1, 2, \dots, 8$), поэтому $\overrightarrow{BA}_1 + \overrightarrow{BA}_2 + \dots + \overrightarrow{BA}_8 = 8 \cdot \overrightarrow{BO} + (\overrightarrow{OA}_1 + \overrightarrow{OA}_2 + \dots + \overrightarrow{OA}_8)$. Доказите, что $\overrightarrow{OA}_1 + \overrightarrow{OA}_2 + \dots + \overrightarrow{OA}_8 = 0$.

11. $2^{\sin x} + 2^{\cos x} \geq 2\sqrt{2^{\sin x} \cdot 2^{\cos x}} = 2^{1+\frac{1}{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})} \geq 2^{1-\frac{1}{2}}$.

12. 2 корня. Указание. Перепишите данные уравнения в виде $(\ln x)/x = (\ln 3)/3$ и показите, что функция $(\ln x)/x$ на промежутке $]0; l]$ возвращает, а на промежутке $[l; \infty [$ убивает.

13. Указание. Пусть $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}, \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}, \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{d}$, тогда $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{d} - \overrightarrow{c}, \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b}, \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b}$. По условию $\overrightarrow{d} \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) = 0$, поэтому $\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{c}$.

14. $\sqrt{1658}$. Указание. На рисунках 22, 23 представлены фрагменты развертки параллелепида и два возможных варианта для пути из $M$ в $N$. В случае рисунка 22 длина пути равна 42, в случае рисунка 23 длина пути равна $\sqrt{1658}$.

«Квант» для младших школьников
(см. «Квант» № 11)

1. Из условия задачи следует уравнение $(10x+y) - (10y+x) = x+y$, где $x$ и $y$ — цифры

первого двухзначного числа. Отсюда $x=5y$, а учитывая, что $x$ и $y$ — цифры, получаем $x=5$, $y=4$. Искомый номер 54—45.

2. См. рисунок 24.

3. Сила трения пропорциональна силе нормального давления. Рассмотрим книгу, по которой скольчит вытаскиаемая книга. Сила трения ее о лежащую под ней книгу больше, чем о скользыванию по ней, на величины, пропорциональную весу одной книги. Именно поэтому она и остается на месте. Тем более остатся на месте книги, лежащие под ней.

4. На 3 оканчиваются только кубы чисел, последняя цифра которых равна 7. Кроме того, какую цифру мы ни поставили вместе звездочки, получившееся число будет меньше, чем $30^3$, но больше, чем $20^3$. Следовательно, наш число должно быть равно $27^3$. Чтобы найти искому цифру, можно не возводить 27 в куб; достаточно заменить, что число $19*83$ должно делиться на 9, следовательно, сумма его цифр должна быть на 9, что возможно ли при *= 6.

5. Отразим четыеугольник $ABCD$ относительно точки $E$ (рис. 25). Четыреугольник $ABA_1B_1$, где $A_1$ и $B_1$ — симметричные точки $A$ и $B$ точки, — параллелограмм $(AA_1$ и $BB_1)$ — его диагонали. Заметим, что и в параллелограмме $ABA_1B_1$, и в шестиугольнике $ABCA_1B_1D$ площади синих и красных частей (см. рис. 25) равны. Но синее части в шестиугольнике и в параллелограмме одинаковы. Значит, должны быть одинаковы и красные части. Отсюда следует, что точки $C$ и $D$ лежат, соответствующно, на отрезках $BA_1$ и $AB_1$, то есть стороны $BC$ и $AD$ данного четырехугольника параллельны.

Шахматная страница
(см. «Квант» № 9)

Задание 17 (С. Веселенчук, 1985 г.). 1. Фd7! Кр:h7 2. Kf6×, 1…Kpf8 2.Л:h8×, 1…g6 2.Фf7×, 1…Ф:h7 2.Фe8×.

Задание 18 (А. Семененко, 1985 г.). Многие читатели нашли более коротный путь к целю: 1.Лa4 Кр:b2 2.Лb4+ Кра3 3.Крс3 Кра2 4.Лa4+ Крb1 5.Лa8 Крс1 6.Лa1×. Однако этот путь … ошибочный. Дело в том, что в начальной позиции ход черных (иначе невозможно указыть их предыдущий ход), и решение совсем иное: 0…Кр:a2 1.Крс3 Крb1 2 — 5.g4—g5—g6—g7 Крb1 6.g8Л! Кра2 7.Лa8+ и 8.Лa1×.