Интерференция света

Квант 1985, №12 с. 40-44 Тег J6J0

Интерференция света

Канддат физико-mатематических наук
E. И. БУТИКОВ

Волновые свойства света наиболее отчетливо обнаруживают себя в явлениях интерференции и дифракции. Эти явления характерны для волн любой природы. Они сравнительно легко наблюдаются на опыте, например, для звуковых волн или волн на поверхности воды, но для наблюдания интерференции или дифракции света необходимо выполнение определенных условий. О них, в частности, и поддет речь в этой стране.

Под интерференцией света понятно процесс наблюдения нескольких световых лучков, при котором результативная интенсивность света*) в каждой точке не равна сумме интенсивностей отдельных лучков. В некоторых местах интенсивность оказывается больше суммарной, в других меньше, то есть образуют чердующееся светление и темные участки — возникает интерференция картина.

Простейший пример интерференции дает наблюдение двух monochromатических волн одинаковой частоты и с одним и тем же направлением колебаний в складывающихся волнах. В результате в каждой точке происходит колебания с той же частотой и неизменной во времени амплитудой, зависит, однako, от положения этой точки.

Пусть амплитуды складывающихся колебаний одинаковы, тогда для результативного колебания $E(t)$ получим

$E(t) = E_1(t) + E_2(t) = a \cos(\omega t + \varphi_1) + a \cos(\omega t + \varphi_2) = 2a \cos \frac{\varphi_1 - \varphi_2}{2} \cos \left( \omega t + \frac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} \right),$

то есть амплитуд $A = 2a \left| \cos \frac{\varphi_1 - \varphi_2}{2} \right|$ зависит от разности фаз $\varphi_1 - \varphi_2$ складавающегося колебаний и принимает значения от удвоенной амплитуды $2a$ каждой из волн (в точках, где колебания совпадают по фазе) до нуля (в точках, где колебания происходит в противофазе). Энергия колебаний, а следовательно, и интенсивность света $I$ пропорциональна квадрату их амплитуды: $I \sim A^2$ . Как видно из формулы (1), результатирующая интенсивность $I$ в зависимости от положения точки наблюдания принимает значения от нуля до учетверенной интенсивности отдельной волны $I_0 \sim a^2$ :

$I = 4I_0 \cos^2 \frac{\varphi_1 - \varphi_2}{2} = 2I_0 (1 + \cos (\varphi_1 - \varphi_2)).$

Множества точек пространства, которые соответствуют одинаковая интенсивность (в частиности, максимальная или минимальная), образуют поверхности, зависимости от свойств и расположения источников света.

Вопрос 1. Два одинаковых точных источника расположены на некотором расстоянии друг от друга. Какой вид имеет в этом случае侈роности максимальной и минимальной интенсивности?

Разность фаз $\varphi_1 - \varphi_2$ в данной точке зависит от разности хода $l$ волн от синфазных источников: $l = l_1 - l_2$ . Если разность хода равна целому числу длины волн: $l = k\lambda$ ( $k = 0, 1, 2, ...$ ), то волны приходят в точку наблюдания в фазе и при сложении дюит колебания с максимальной амплитудой. Если же разность хода равна нечетному числу полуволн: $l = (2k + 1)\lambda/2$ , то волны приходят в противофазе и «гасят» друг друга. Таким образом,侈роности максимумов и минимумов определяются условиями $l_1 - l_2 = const$ .

В любой плоскости, содержащей источники, например в плоскости чертежа на рисунке 1, можно точек, разность расстояний до которых от двух заданных точек — в данном случае от источников $S_1$ и $S_2$ — одинакова, представляется собой гиперболу

(S₁ и S₂ — ее формулы). Из симметрия ясно, что в пространстве множеству точек, удовлетворяющих условию l₁−l₂=const, соответствует поверхности врашення гипербольы вокруг прямой, проходящей через источники, — так называемый гиперболонд врашення. Форма интерференционных полос на каком-нибудь экране дается линяями пересечения таких гиперболондов с плоскостью экрана.

Например, на экране A, перpendикулярном к проходящей черзе источники S₁ и S₂ прямой, интерференционные полосы имеют вид концентрических окружностей (см. рис. 1). На экране B полосы имеют форму гиперболол. Когда расстояния от источников до экрана B много больше расстояния между источниками, в небольшей окрестности точки O интерференционные полосы практические можно считать параллельными прямыми, отстоящими на одинаковые расстояния друг от друга.

Задача 1. Найдите расстояние между соседними интерференционными максимальными на экране B, удалением на L=1 м от источников S₁ и S₂, если они находится на расстоянии d=0,5 мм друг от друга (рис. 2). Длина волны света λ=5·10⁻⁷ м. По какому закон изменяется освещенность экрана при переходе от максимума к минимуму интерференционной картины?

Проведем в точку наблюдания P прямую SP из середины отрезка S₁S₂ и обозначим через θ угол, образуемый этой прямой с направлением SO на центр интерференционной картины. При малых θ разность хода l=l₁−l₂ можно найти, опуская перепределуляр из S₂ на прямую SP до пересечения с S₁P:l=d·θ. Поляга здесь l равным целому числу длины волн kλ, находим направление θ_k на максимум k-го порядка:

θ_k=kλ/d, k=0, ±1, ±2, … (3)

Угловое расстояние Δθ=θ_k+1−θ_k между соседними максимальными равно λ/d, а расстояние h между ними на экране B получим, умножая Δθ на L:

h=LΔθ=λL/π=10⁻³ м=1 мм.

Отсюда ясно, что расстояние L, а значит, и интерференционные полосы тем ширие, чем близke друг к другу расположены источники.

Чтобы найти закон изменения интенсивности вдоль прямой OB, достаточно в формуле (2) выразить разность фаз складывающих колебаний φ₁−φ₂ через положение точки наблюдания P на экране:

φ₁−φ₂=2π/λ(l₁−l₂)=θπl/λ=2π/λdθ.

Таким образом, получается, что освещенность экрана зависит от направления θ на точку наблюдания по синусoidальном закону

I(θ)=2I₀(1+cos(2πd/λθ)).

График этой функции показан в правой части рисунка 2.

Ослабление световых колебаний в одних местах интерференционной картины и успление в других не связано с какими-либо превращениями энергии колебаний. Это хорошо видно из формулы (4), согласно которой среднее по всем направлениям значение интенсивности равно 2I₀, то есть суммарной интенсивности от двух источников.

До сих пор предполагалось, что источники $S_1$ и $S_2$ создают монохроматическое волны одинаковой частоты. Но для обычных (не лазерных) источников свет никака не бывают строгого monoxроматического. Испускаемая отдельным atomом волна представляет собой не бесконечную синусиду, а лишь ее отрезок, или, как говоря, цуг синусидальных волн. Длительность т такое цуга не превышает $10^{-8}$ с. Предельная протяженность цуга $ct$ составляет около 3 м ( $c=3 \cdot 10^8$ м/c — скорость света, с которой цуги перемещаются в пространстве), и он содержит несколько миллионов «гребней» и «впадин» ( $ct/\lambda \approx 10^7$ при $\lambda=5 \cdot 10^{-7}$ м).

Если даже считать все цуги, испускаемые различными atomами источника, одинаковыми и характеризовать их одной и той же длиной волны $\lambda$ , соответствия фаз между ними совершено случайными, так как акты спонтаного испускания света atomами проискодят в случайные моменты времени. Таким образом, свет реальных источников можно рассматривать какxaотическая последовательность синусидальных волновых цугов. При наложении пучков света от разных источников фазовые соответствия между световыми колебаниями в любоий точке за время наблюдания успешот многоократно измениться случайным образом. В результате сложения большого числа колебаний со случайными фазами энергия результирующего колебания в каждой точке будет равна сумме энергий складывающихся колебаний, то есть не произойдет характерного для интерфейсии перерасредления энергии в пространстве.

Отсюда ясно, что для наблюдания интерфейсии света нужны специальные условия: свет от одного и того же источника нужно разделить на два пучка (или несколько пучков) и затем каким-либо способом свести эти пучки вместе. Если разность хода от места разделения до точки наблюдания не превышает длины отдельного цуга, то случайные изменения амплитуды и фазы световых колебаний в двух пучках проискодят согласно. О таких пучках говорят, что они коэференты. При наложении коэференты пучков и образуется стационарная интерфейсionная картина.

Рис. 3.

Впервые обязывание интерфейсции света на основе волновых представлений было дано английским ученым Томасом Юнгом в самом начале XIX века. Поставленный им опыт с двумя отвергениями подробно описан в учебнике («Физика 10», § 69). Кореентность световых пучков от отвергии в этом опите обеспечивает их проискодением из одного первичного пучка.

Другой способ получения коэреентных световых пучков основан на использовании отражения первичного пучка от двух поверхностей тонкой проискодением из одного первичного пучка.

Вопрос 2. Какую форму имеет интерфейсционные полосы на экране В, плоскость которого параллельна граммплатики (рис. 3)?

В каждую точку наблюдания $P$ приходят две волны, резкость хода которых можно найти, построив изобравжения точного источника $S$ в верхней и нижней гранах платики. Для простоты можно пренебреть

преломленем света в пластинке и рассматривать $S_1$ и $S_2$ как изобразения источника в плоских зеркалах, образуемых граями пластинки. Линия равной интенсивности образуется при пересечении экрана $B$ гиперболом врашления с фокусами в точках $S_1$ и $S_2$ . Поэтому интерференционные полосы имеют вид концентрических колес с центром в точке $O$ .

В опытах с точным первичным источником $S$ экран для наблюдания интерференционных полос может располагаться в любом месте, где перекрываются вторичные лучки. В случае протяженного источника интерференционные полосы, создаваемые разными его элементами, обычно смещены друг относительно друга, и вся картина оказывается смазанной. Но при определенных условиях можно наблюдать интерференцию и от протяженных источников.

Задача 2. Экран $B$ располажен в фокальной плоскости собирающей лины (рис. 4). На лины падает свет от протяженного источника $S$ , отраженный двумя граями плоскопаралельной стеклянной пластинки. Показите, что интерференционные картины на экране $B$ , создаваемые разными элементами источника $S$ , совпадают друг с другом.

В каждую точку $P$ экрана приходит лучи, которые до линзы, а значит, и до пластинки были параллельны друг другу, то есть имели полное определенный наклон к граям пластинки. Расстоянием один из лучей, идущих от источника. От точки $A$ разделения луча на отраженный и преломленный до точки наблюдания $P$ луч 2 («преломленный») проходит дополнительно расстояние $AC+CM$ в стекле, а в воздухе его путь меньше, чем луч 1 («отраженого»), на отрезок $AD$ . (От точек $D$ и $M$ оба луча проходят через линзу в точку $P$ за одинаковое время, то есть их оптические пути здесь одинаковы.) Отсюда ясно, что разность хода параллельных лучей 1 и 2, интерферриующих в точке $P$ , не зависит от положения точки $A$ параллельного луча на пластинку. Поэтому результат интерференции (максимум, минимум или некоторое промежутное значение интенсивности) будет одинаковым для всех лучей, порождаемых разными элементами протяженного источника. На

Угол θ имеет значение для пар лучей, приходящих от различных элементов источника, но в главе наблюдаются попадают только те лучи, для которых угол θ лежит в узком интервале. Поэтому согласно формуле (5) разность хода для точки P будет практическими одинаковыми у всех пар интерферирующих лучей, создавших изображение точки P на сетчатке глаза.

Если толщина пленки плавно изменяется от точки K точке, то контур каждой интерфериционной полосы проходит по тем местам пленки, где ее толщина имеет одно и то же значение (при условии, конечно, что cos θ в достаточно степени одинаковой для всей области наблюдания). По этой причине также полосы называют полосами равной толщины. Их можно наблюдаать, в частности, в тонкой проследие воздуха между поверхностями двух прзрачных пластинок. Когда направление наблюдания близко к нормальному, переход от какого-либо максимума к соседнему соответствует изменению толщины проследки на половину длины волны (см. выражение (5)).

Задча 3. Какой угол α образуют между собой две плоские поверхности стекол, если в monoxроматическом свете с длиной волны λ=6·10⁻⁷ м интерфериционные полосы проходят параллельно друг друга на расстоянии a=2 см?

Толщина клиновидной проследки между плоскостями при перемещении перpendикулярно ребру клина на расстояние a изменяется на величины Δh=αa. Поляга Δh=λ/2, находим α=λ/2a=1,5·10⁻⁵ рад≈0,05′=3″.

Таким способом можно изменять малые углы между плоскостями с точностью, недоступной для других методов. Поисквленню интерфериционных полос можно обнаружить отклонение поверхности от плоской на малую долю длины волны света.

Кольцевые полосы равной толщины, наблюдаемые в воздухном заоре между соприкасающимся выпуклой поверхности линзы малой кривизны и плоской поверхности стекла, называются kolыцами Ньюгона. В отраженном свете их центральное пятно, расположенное в области точки касания, темное. Это объясняется тем, что при толщине воздуха проследки,

много меньше длины волны, разность фаз интерферирующих волн обусловлена различием в условиях отражения: фаза волны, отражающая от оптически более плотной среды, изменяется на противоположную, а отражающую от оптически менее плотной среды остается неизменной.

Получить представление о характеристике изменения фазы волны при отражении можно с помощью следующей механической аналоги. Прияжите конец тонкой вервки к толстой и резким движением руки вверх и вниз пошлите вдоль тонкой вервки короткой поперечный импульс (рис. 6). Вы увидите, что отраженный от места соединения вервок импульс имеет противоположную полярность, в то время как прошлей в толстую вервку импульс (аналог световой волны, пропикашей в оптически более плотную среду) имеет ту же полярность, что и padяющий импульс. Если же послать к месту соединения импульс по толстой вервке, то отраженный назад и прошлей в тонкую вервку импульсы будут иметь ту же полярность, что и padяющий.

Вопрос 4. Можно ли наблюдать колыца Ньюгона в прохождение свете?

В принципие, интерфериционная картина возникнет и в этом случае. В прохождение свете распределение интенсивности, в соответствии с законом сохранения энергии, будет дополнительным по отношению к отражению света: центр картины будет светлым, а затем будет идти чередующей темные и светлые колыцевые полосы. Однако из-за малого коэффициента отражения на границе стекло — воздействия (~0,04) интенсивности интерферирующих лучей (прошедшего прямого без отражения и испытовшего два отражения) сильно различаются. В результате интерфериционные максиммы и миниммы образуют на равномерном светелом фоне, и картина