Вторая космическая скорость

21

Физика 8, 9, 10

Публикуемая книга заметка «Вторая космическая скорость» предназначена восемиклассик, «Мазнитный момент тока» — деятивлассик, «О ядерном веществе» — деятивлассик. Материалы подготовил Н. К. Белкин.

Вторая космическая скорость

Если неокторому телу сообщить скорость, равную первой космической скорости, то оно не упадет на Землю, а станет искусственным спутником, движущимся по околоземной круговой орбите. Напомним, что эта скорость должна быть перепendlukularна направлению к центру Земли и равна по величине

$$v_1 = \sqrt{gR} = 7,9 \text{ km/c},$$

где $g = 9,8 \text{ m/c}^2$ — укорение свободного падения телу у поверхности Земли, $R = 6,4 \cdot 10^6 \text{ m}$ — радиус Земли (см. «Физику 8», § 40).

А может ли тело и вовсе порвать цепи тяготения, «приязывающие» его к Земле? Оказывается, может, но для этого его нужно «бросить» с еще большей скоростью. Минимальную начальную скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно предолело земное прияжение, называют второй космической скоростью $v_{II}$. Найдем ее значение.

При удалении тела от Земли сила прияжения совершает отрицательную работу, в результате чего кинетическая энергия тела уменьшается. Однакоременно с этим уменьшается и сила прияжения. Если кинетическая энергия упадет до нуля до того, как станет равной нулю сила прияжения, тело вернется обратно на Землю. Что бы это не произшло, нужно, чтобы кинетическая энергия сохранялась отличной от нуля до тех пор, пока сила прияжения не обратится в нуль. А это может произойти лишь на бесконечном большом расстоянии от Земли.

Согласно теореме о кинетической энергии (см. «Физику 8», § 55) изменение кинетической энергии тела равно работе действия на тело силы. Для нашей службы можно записать:

$$0 - \frac{mv_II^2}{2} = A,$$

или

$$\frac{mv_II^2}{2} = -A,$$

(*)

где $m$ — масса брошенного с Земли тела, $A$ — работа силы прияжения. Таким образом, для вычисления второй космической скорости нужно найти работу силы прияжения тела к Земле при удалении тела от поверхности Земли на бесконечно большое расстояние. Как это ни удивительно, но работа эта вовсе не бесконечно большая, несмотря на то, что перемещение тела как будто-бы бесконечно велико. Причина тому — уменьшение силы прияжения по мере удаления тела от Земли. Чему же равна работа силы прияжения?

Воспользовемся той особенностью, что работа силы прияжения не зависит от формы траектории движения тела (см. «Физику 8», § 56), и расстоянием самый простой случай — тело удаляется от Земли по линии, проходящей через центр Земли. На приведенном здесь рисунке изображен Земной шар и тело массой $m$, которое движется вдоль направления, указанного стрелкой.

Найдем сначала работу $A_1$, которое совершает сила прияжения на очень малом участке от произвольной точки $N$ до точки $N_1$. Расстояния этих точки до центра Земли обозначаем через $r$ и $r_1$ соответственно, так что работа $A_1$ будет равна

$$A_1 = -F(r_1-r) = F(r-r_1).$$

No какое значение силы $F$ следует подставить в эту формулу? Ведь оно изменяется от точки к точке: в $N$ оно равно $GMm/r^2$ (м — масса Земли), в точке $N_1$ — $GMm/r_1^2$. Очевидно, нужно взять среднее значение этой силы