Московский инженерно-физический институт

55

Московский инженерно-физический институт

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Разность цифр двузначного натурального числа $A$ по modulo не превыходит 3, а сумма цифр числа $A$ равна 9. Найдите $A$.
2. Решите уравнение $\log_{1/3}(9^x+a)+\log_3(2\cdot 3^x)=0$, $a\in R$.
3. Решите уравнение
   $$\sin \left( b \sqrt{x-1} + \frac{\pi}{6} \right)=0, 5, b\in R.$$
4. Основанием треугольной парамиды $SABC$ служит правильный треугольник $ABC$. Высоты $SD$ и $AF$ боковой грани $ASC$ имеют длину $k$ и $h$ соответственно, а все плоские углы при вершине $S$ парамиды имеют одинаковую величины. Найдите площадь сечения парамиды плоскостю, проходящей через середины ребер $AS$, $AB$ и $BC$, если известно, что точки $A$ и $C$ удалены на одинаковое расстояние от плоскости BSD.

Вариант 2

1. Решите уравнение
   $$\frac{a}{a-3\sin^2 2x}=3.$$
2. Имеются два сосуда с растором шелочи разных концентраций (по объему). Первый сосуд содержит 4 л растора, второй — 6 л растора. Если их слить вместе, то получится растор, содержащий 35 % шелочи. Если же слить вместе по 3 л растора из каждой сосуда, то получится растор, содержащий $a$ % шелочи. Сколько литров шелочи содержит второй сосуд?
3. Через вершину $S$ прямого кругового конуса проведена плоскость, пересекающая окружность основания конуса в точках $A$ и $B$. Медианы $AC$ и $SD$ треугольника $ASB$ имеют длины $m_1$ и $m_2$ соответственно. Определите величины угла при вершине $S$ в осевом сечении конуса, если известно, что площадь треугольника $ASB$ имеет наибольшее возможное значение.
4. Функция $f(x) = \frac{1}{x^2-4x+a}$ определяна на отрезке [5; 7]. Найдите $f'(x)$ и все значения $a\in R$, при которых наибольшее значение функции $f(x)$ на отрезке [5; 7] не превышает 0,1.

Физика
Задачи устного экзамена

1. Система состоит из неевесомого стержня длиной $l=35$ см, положенного на неподвижную призму, а также неевесомого блока с двумя грузами массой $m_1$ и $m_2$ и груза массой $M=2$ кг ($m_1+m_2=M$), прикрепленных к концам стержня (рис. 1). При движении грузов относительно блока равновесие стержня имеет место, если точка опоры стержня сдвинута на расстояние $\Delta l=5$ см влево от середины стержня. Определите массы $m_1$ и $m_2$. Треннем претензь.
2. Плокая шайба массой $m=0,2$ кг начинает скольить с начальной скоростью $v_0=12$ м/с вверх по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha=30^\circ$ с горизонтом. Коэффициент тремя между шайбой и плоскостью $\mu=0,3$. Какую работу совершает над шайбой слиты трення в течение времени $t=3,5$ с после начала движения?
3. В установке, изобравенной на рисунке 2, масса каждого груза ($A$ и $B$) $m=2$ кг, угол $\alpha=30^\circ$, массы блока и нити пребрежимо малы, трення нет. Найдите мощность, которую разовет сила натяжения нити, действующая на груз $A$, через время $t=2$ с после начала движения.
4. Один mole идеального газа перевели из состояния 1 в состояние 2 изохорических, так, что его давление уменьшилось в $n=1,5$ раза, а затем изобарически нагрели до первоначальной температуры $T_1$. При этом газ совершил работу $A=0,83$ кДж. Найдите $T_1$.
5. Шарик массой $m=2$ г, имеющий заряд $q=2,5\cdot 10^{-9}$ Кл, подвешен на нити и движется по окружности радиусом $R=3$ см с угловой скоростью $\omega_1=2\cdot 1^{-1}$ (рис. 3). В центр окружности помещили шарик с таким же зарядом. Какой должа стать угловая скорость $\omega_2$ выражения шарика, чтобы радиус окружности не изменился?
6. Шар с массой $m=1$ кг и зарядом $q=2\cdot 10^{-4}$ Кл подвешен на изолирующей нити в одномодном электрическом поле с направлением $E=3\cdot 10^4$ В/м, причем вектор $\vec{E}$ перепендикулярен слеяясти и направлен blevo. Шар отвели вправо так, что нить отклонлась на угол $\alpha=30^\circ$ от вертикалки, и отпустил. Найдите натяжение нити при прохождения его вертикального полежения.
7. Электролампа с волффрамовой спиралью в момент включения потребляется мощность $P=500$ Вт. Какую мощность она будет потреблять после нагрева спирали от комнатной температуры до температуры $t=2500^\circ C$, если температурный коэффициент сопротивления волффрамма $a=4,5\cdot 10^{-3}$ К$^{-1}$?
8. Пуукок протонов, ускоренных разностью потенциальов $U=20$ кВ, падает на заземлен-