Московский институт стали и сплавов

56

Московский институт
стали и сплавов

Вариант письменного экзамена

1. Упростите до числового значения при $a=27$
   $$\frac{a^{4/3}-8a^{1/3}b}{a^{2/3}+2(ab)^{1/3}+4b^{2/3}}: \left(1-2\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right).$$

2. При каком наименьшем целом значении $k$ уравнение
   $$(k-1)x^2-2(k+1)x+k-3=0$$ имеет два различных корня?

3. Решите уравнение
   $$\sqrt{3x^2+1}+\sqrt{x^2+3}=\sqrt{6x^2+10}.$$

В ответе запишите меньший корень уравнения.

4. Предприятие уведомило обымышаемой продукции ежедневно на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что за два года объем выпускаемой продукции увеличился на 44 %.

5. Решите неравенство
   $$\frac{x+3}{4-x} \leq 0.04.$$

В ответе запишите наиболее целое решение неравенства.

6. Решите уравнение
   $$\left(x^{1g}x\right)^2-100x^3=0.$$

В ответе запишите больший корень уравнения.

7. Проведена касательная к графику функции $y=x^2-4x-3$ в точке пересечения этого графика с осью ordinат. Найдите площадь треугольника, образованного касательной и осями координат.

8. Найдите разность между наиболее и наименьшим значениями функции $f(x)=3x^4+2x^3-18x^2+15$ на отрезке [-3; 1].

9. Упростите выражение и вычислите при $a=\frac{7\pi}{6}$
   $$\sqrt{3} \frac{\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}+a\right)-\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}-a\right)}{\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}+a\right)+\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}-a\right)}.$$

10. Решите уравнение
    $$\mathrm{tg}(x+1) \cdot \mathrm{ctg}(2x+1)=1.$$

В ответе запишите количество корней уравнения, принадлежащих отрезку [0; 15].

11. Длины оснований трапеции равны 10 и 24, длины боковых сторон равны 13 и 15. Найдите площадь трапеции.

12. Объем конуса равен 81. Высота конуса разделена на три равные части и через точки деления проведены плоскости параллельно осинованию. Найдите объем части конуса, нахождение между проведенными плоскостями.

Физика

Вариант письменного экзамена

1. Тележка массой $M=20$ кг может катиться без трения по горизонтальном пути. У заднего края тележки лежит брусок массой $m=2$ кг (края бруска и тележки совпадают). Коэффициент трения между бруском и тележкой $\mu=0.25$. К бруску приложена горизонтальная сила $F=20$ Н. Через какое время брусок упадет с тележки, если его длина $l=1$ м?

2. Для расплавления $m=1$ т стали использовется электропечь мощностью 100 кВт. Сколько времени продолжается плавка, если слипок до начала плавления надо нагреть на $\Delta T=1500$ К? Удельная тепломкость стали $c=500$ Дж/(кг·К), удельная теплота стали $\lambda=2,7 \cdot 10^{-7}$ Дж/кг.

3. Определите массу меди, выделившейся при электроплезе, в ходе которого затрачено $W=8$ кВт·ч энергии. Найжение на электроплезе электроплезской ванны $U=12$ В, КПД установки $\eta=80\%$. Электроимический эквивалент меди $k=3,3 \cdot 10^{-7}$ кг/кл.

4. В стеклянную U-образную трубку (рис. 1) налита ртуть так, что вес стольик имеет длину $l=20$ см. После заполнения трубку слегка наклонили и возвратили в вертикальное положение, от чего стольик ртути начал колбаться. Найдите период этих колбаций.

5. Металлическое изделие массой $m_1=0,8$ кг было нагрето до температуры $t_1=950$ °C, а затем с целью закалки опшено в ванну, заполненную жидкость массой $m_2=50$ кг с начальной температурой $t_2=16$ °C. Какую равно-