IX Турнир юных физиков

62

IX Турнир юных физиков

Этот турнир начинается в сентября 1986 г. Он будет проводиться в три этапа.

I тур — заочный коллективный конкурс. Решения задач ТЮФ-IX, опубликованных ниже, можно отправлять не позднее 20 ноября 1986 года по адресу: 119899 Москва, ГСП, МГУ, физический факультет, Совет по работе со школьниками, оргкомитет ТЮФ-IX. В графе «Кому» написите: «Заочный конкурс ТЮФ-IX» и номера задач, решения которых вы посылаете. В письмо вложите конверт с написанием на нем адресом школа (в этом конверт будет отправлены результаты проверки решений), а также список членов команды, фамилию учитель физики, номер школа, класс. Решения могут быть индивиудальными и коллективными. Каждый решение пишите отдельно и вначале обозначьте годов, номер школа, класс, фамилии и имена авторов решения. К решении экспериментальных задач должны быть приложены подробные описания установленок, их схемы, желательно фотографии и экспериментальные данные. Наболее удачные решения задач и самостерельно сформированных проблем будут отмечены грамотами турира и представлены к печати в «Кванте».

II тур — отборочные физион. В нем могут принять участие команды школа г. Москва и Московской области, набравшие в зачемом коллективном конкурсе более 40 баллов (из 50 возможных). Отборочные физион 1/4 и 1/2 физиала будут проводиться с 10 декабря 1986 г. по 10 января 1987 г. на физической факультете МГУ по задачам коллективного конкурса. (Другим городом могут быть высланы материалы для организации II и III туров на местах).

III тур — финансовый竞赛. Состоится 22 февраля 1987 г. на физической факультете МГУ. В его программу входят: физой финансовой турира, конкурс капитанов, конкурс большников; нагradжение победителей и активных участников турира.

В составлении заданий для финансового турира могут принять участие все желающие. Условия задач высылайте не позднее 20 января 1987 года. Получить дополнительные сведения о правилах проведения ТЮФ-IX, а также высказать свои предложения и замечания можно поышеказанному адресу.

Задания заочного коллективного конкурса ТЮФ-IX

Большинство заданий сформирован на основе конкретных физических явлений и расшифано на проведение серверных теоретических и экспериментальных исследований, выходящих за рамки «школьного» подхода. Условия задач сформированны максимально кратко и допускают различные трактовки и степени упрощения.

1. «Придумая сам». Самостояльное сформируйте задачу-proблему и решите ее.

2. «Электрон». Опишите известные современной науки свойства электрона.

Выполнение этой работы предполагает составление реферативного обзора, в котором следует изложить только свойства электрона как элементарной частицы, не рассматривая поведение большого числа электронов в сложных системах.

3. «Тормозной путь». Тормозной путь автоматическиPrimерно 40 м, а железнодорожного состава — 1500 м. Почему такая большая разница?

4. «Лунная дорогка».
   «Выходку один я на дорогу,
   Сквозь туман кремнистый путь блестит.
   Ночь тиха…»

M. Ю. Лермонтов

Какое физическое явление описал поэтому? Объясните, каким образом возникнет «Лунная дорогка». Рассчитайте пространственное распределение интенсивности отраженного света, видимого наблюдаемым в этих случаях.

5. «Маневр». Самолет летит со скоростью v над прямолинейным участком шоссе. Через какое минимальное время он может удалиться от шоссе на расстояние S? Считать, что полное ускорение самолета не превышает величины a и высота полета постоянна.

6. «Термометр». Измерения температуры удобно производить с помощью термопары. Определите, за какое минимальное время с ее помощью можно с наперед заданной точностью измерить температуру термостата?

7. «Лампа накаливания». Лампа накаливания в сеть:
   a) постоянного тока;
   b) переменного тока с частотой 50 Гц.
   Исследуйте зависимости тока в цепи от падения направления на ламце. Оцените амплитуду колебаний температуры спирали лампа накаливания, включенной в сеть переменного тока с частотой 50 Гц.

8. «Гранцы применимости». Опишите границы применения:
   a) III закона Ньютона;
   b) закона Кулона.

9. «Электрика». Какое напряжение и мощу применяют в электротге трамвая, троллейбуса, электропоздов железной дороги и метро?

10. «Свободная». Obъясните, почему бывают сквозняки?

11. «Ниточный телефон». Из двух спичечных корбков и катушкинит можно сделать…
    телефон. Вместоонное исследуйте принцип действия и свойства такого телефона.

12. «КПД трансформатора». Исследуйте зависимости коэффициента полезного действия школьного понижшего трансформатора от нагрузки.

13. «Неоновая лампока». Почему загорается неоновая лампока? Другими словами, откуда берутся свободные электроды в инертном газе (неоне), необходимые для ее загорания?

14. «Фокусное расстояние». Предложите подтверждение вашими экспериментами способы измерения малого (<1 см) и большого (>10 м) факсного расстояния линзы.

15. «Энергопотребление». Оцените полное энергопотребление средней городской квартры. Обосновите физические причины экономного расходования энергии.

63

16. «Сахарница». Вы насыпали в сахарницу кусковой сахар, заполив ее до краев. Если теперь потрясти сахарницу, то можно будет добавить несколько кусочков сахара. То же самое произойдет и при насыпании сахарного песка или какой-нибудь круты. Исследуйте явление «утряски».

17. «Тепльный свитер». Вязанный шерстной свитер очень хорошо греет, хотя, честь говоря, он ведь «дырявой» (имеет многожество сквозных ответств). Если уменьшить плотность вязки (повысьть степень «дыряости»), то все равно произойдет и при насыпании сахарного песка или какой-нибудь круты. Исследуйте явление «утряски».

Публикацию подготовили Е. Н. Юносов, И. В. Яминский

Ответы, указаны, решения

Как Декарт проводил касательные
Уравнение касательной к параболе $y^2=2px$ в точке $(x_0; y_0)$ имеет вид $yy_0=p(x+x_0)$.

Малярный парадокс
Количество краски, необходимое для закрашивания поверхности, будет пропорционально площади этой поверхности, если толщина слоя краски всюду одинакова. При способе же окраски, описанным в пункте 2, толщина слоя краски на n-м прямогольнике не превыходит ширины этого прямогольника, то есть $1/2^n$ см.

Секрет Старого Бондаря
Найдем, при каких значениях переменных $y$ и $z$ емкость бочки $v$ (см. формулу (6, с. 17) будет — при заданном $\lambda$ — наиболеешей. Для этой цели воспользуемся следующим фактом. Лемма. Пусть функция $F(y, z)$ при каждом фиксированном (постоянном) $z$ имеет — при любом $y$ — производу по переменному $y$ (обозначим ее так: $F'_y$), а при каждом фиксированном $y$ — производу по переменному $z$ при любом $z$ (обозначим ее так: $F'_z$). Если при $y=y_0$ и $z=z_0$ функция $F(y, z)$ имеет наиболее значение, то при $y=y_0$ и $z=z_0$ обязаны выполнять равенства
$$F'_y(y, z)=0 \text{ и } F'_z(y, z)=0.$$ ()
Доказательство. В самом деле, если $F(y_0, z_0) \geqslant F(y, z)$ для всех $y$ и $z$, то, в частности, должно выполняться и неверенство $F(y_0, z_0) \geqslant F(y, z)$ при любых $y$; это означает, что функция однозоче переменного $F(y, z_0)$ имеет при $y=y_0$ максимум; значит, ее производу (по $y$) $F'_y(y, z)$ обозначается в нуль при $z=z_0$. Аналогично убеждаемся, что $F'_z(y, z)$ обращается в нуль при $z=z_0$. А это как раз и означает, что в точке $(y_0, z_0)$ выполняется равенства ().

Пользователь найдет максимум функции $v$ (см. (6)). Чтобы не иметь дело с корнями, будем искать максимум функции $v^2$ (ведь $v$ и $v^2$ достаточно своего максимума одновременно, при одних и тех же значениях переменных $y$ и $z$). Имеем (см. (6))
$$F(y, z)=\frac{4}{9}\pi^2(y^2+z^2-yz)^2(\lambda^2-z^2).$$
Для нахождения точки максимума, найдем, согласно лемме, $F'_y$ и $F'_z$ и приравняем их нулю.
$$F'_y=\frac{8}{9}\pi^2(y^2+z^2-yz)(2y-z)(\lambda^2-z^2)=0,$$
$$F'_z=\frac{4}{9}\pi^2(y^2+z^2-yz)[2(2z-y)(\lambda^2-z^2)+(y^2+z^2-yz)(-2z)]=0$$

Учитывая, что $0<z<\lambda$, получаем $z=2y$. Так как (рис. 3, с. 16) $K=2(z-y)$, заключаем, что $NK=2y=AD$, то есть «напулящая» бочка должна иметь форму цилиндра. Поляга в (**) $z=2y$, получим
$$8\pi^2y^3(\lambda^2-6y^2)=0,$$
откуда $y=\lambda/\sqrt{6}$, $z=2\lambda/\sqrt{6}$. Если $DF=x$, то $x^2=\lambda^2-z^2$, $x=\lambda/\sqrt{3}=y\sqrt{2}$.
Видим, что $v$ может принимать наиболее значение или в одном случае: $y=\lambda/\sqrt{6}$, $z=2\lambda/\sqrt{6}$.

Недаччой одной цилиндра
Пусть $C$ — произвольная точка в плоскости, $ACA_1$ и $BCB_1$ — равнобренные прямогольные треугольники, расположенные в треугольника $ABC$ (прямые углы — при вершинах $A$ и $B$). Покажем, что точка $M$ — середина отрезка $A_1B_1$ — не зависит от выбора точки $C$. Пусть $A_0, B_0, C_0$ — ortогonalные проекции точки $A_1, B_1$ и $C_1$ на прямую $AB$ (см. рис. 10). Легко видеть, что треугольники $AA_0A_1$ и $CC_0A_1$ а также $BB_0B_1$ и $CC_0B_1$ равны; поэтому $AA_0=BB_0=CC_0$. Пусть $N$ — середина отрезка $A_0B_0$. Ясно, что $N$ является также серединой отрезка $AB$. Тогда $MN$ — средняя линия прямогольной трапеци $A_0B_0B_1A_1$; следовательно, $MN \perp AB$. $MN=\frac{1}{2}(A_0A_1+B_0B_1)$. Но $A_0A_1=AC_0$, $B_0B_1=BC_0$. Подставляя эти равенства, в выражение для $MN$, получем $MN=\frac{1}{2}(AC_0+BC_0)=\frac{1}{2}AB$. Следовательно, при произвольном выборе точки $C$ (в одной полуплоскости) отрезок $MN$ перепределили $AB$ и равняется $\frac{1}{2}AB$, где $N$ — середина $AB$. Это означает, что при движении точки $C$ точка $M$ остается неподвижной. Отметим, кроме того, что треугольник $ABM$ — равнобренный и прямогольный.

64

Квант для младших школьников
(см. «Квант» № 7)

1. Выразим $x$ через $y$: $x = \frac{5y - 3}{y + 3} (y \neq -3)$, или $x = 5 - \frac{18}{y + 3}$. Поэтому $x$ будет целым числом тогда и только тогда, когда 18 делится на $y + 3$. Для $y + 3$ получаем двенадцать возможных значений: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$, что дает двенадцать целочисленных решений уравнения
   $$\{(-13; -2), (23; -4), (-4; -1), (14; -5), (-1; 0), (11; -6), (2; 3), (8; -9), (3; 6), (7; -12), (4; 15), (6; -21)\}.$$

2. Возьмем правильный патиугольник, вписанный в нашу «раскрашенную» окружность. Легко понять, что у него всегда найдет три вершины одного цвета. Эти вершины в любом случае образуют нужный равноведенный треугольник.

3. Пусть $A = \overline{ab}$. Тогда $(a + b) + (a + b)^2 = 10a + b$, то есть $(a + b)^2 = 9a$ откуда следует, что $a$ — точный квадрат. Поскольку $1 \leq a \leq 9$, получаем три возможности: $a = 1, a = 4$ и $a = 9$. Поэтому число $A$ равно 12, 42 или 90.

4. Опишем вокруг треугольника $ABC$ окружность. Из условия $\angle CAB + \angle MCB = 90^\circ$ следует, что медиана $CM$ принадлежит диаметру этой окружности (сделайте чертеж). Если при этом сторона $AB$ не является диаметром, то медиана $CM$ перpendicularна $AB$ как диаметр, проходящей через середину хорды, и треугольник ABC — равноведенный (поскольку медиана $CM$ является и высотой). Если же сторона $AB$ является диаметром, то треугольник $ABC$ — прямого лыбки.

Шахматная страница
(см. «Квант» № 5)

Задание 9 (Я. Хартог, 1957 г.). Задча на перекрытие — одну из самых популярных геометрических тем в шахматной комнатиции. После 1. Кb5! с угрозой 2. Фd4× возникают сразу седьмой перекрытия: 1…Cf6 2. Фh7× (перекрыта пешка f7); 1…f6 2. Фe7× (телер пешка перекрыла дорогу слону к полю e7); 1…Cf2 2. Лf4×; 1…Ke2 2. Лe3×; 1…Kb3 2. К:c3×; 1…Kc6 2. Cd5×; 1…c5 2. К:d6×.

Задание 10 (Л. Куббель, 1907 г.). 1. Кс3+ Крс2 2. Кd1! Проигрывает 2. Кd5? из-за 2…Кpd2! 2…Кр:d1 3. Крh8! f1Ф (3…Кре1 4. Лg2 с тем же итогом) 4. Лg1! Ф:g1. Пат.

Главный редактор — академик Ю. А. Осипьян

Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров

Заместители главного редактора: А. А. Леонович, В. А. Лешковцев, Ю. П. Соловьев

Редакционная коллекция: А. А. Абриковов, М. И. Башмаков, В. Е. Белонучкин, В. Г. Болтянский, А. А. Боровой, Ю. М. Брук, В. В. Вавилов, А. А. Варламов, Н. В. Васильев, С. М. Воронин, В. В. Гнеденко, В. Л. Гутенхахер, Н. П. Долбилин, В. Н. Дубровский, А. Н. Земляков, А. Р. Зильберман, С. М. Козел, С. С. Кротов, Л. Д. Кудрявцев, Е. М. Никиншин, С. П. Новиков, М. К. Потапов, В. Г. Разумовский, Н. А. Родина, Н. Х. Розов, А. П. Савин, Я. А. Смородинский, А. В. Сосинский, В. М. Уровев, В. А. Фабрикант

Редакционный совет: А. М. Балдин, С. Т. Белев, В. В. Буховцев, Е. П. Великов, И. Я. Верченko, В. В. Возвивенский, Г. В. Дорофеев, Н. А. Erмолаева, А. П. Erшов, Ю. В. Иванов, В. А. Кириллин, Г. Л. Коткин, Р. Н. Кузьмин, А. А. Логунов, В. В. Можаев, В. А. Орлов, Н. А. Патрикеева, Р. З. Сагдеев, С. Л. Соболев, А. Л. Стасенko, И. К. Сурин, Е. Л. Сурков, Л. Д. Фаддеев, В. В. Фирсов, Г. Н. Яковлев

Номер подготовки:
А. А. Варламов, А. Н. Виленкин, В. Н. Дубровский, А. А. Егоров, И. Н. Клумова, Т. С. Петрова, А. В. Сосинский, В. А. Тихомирова

Номер оформления:
Ю. А. Ващенко, М. В. Дубах, С. В. Иванов, Д. А. Крымов, Н. С. Кузьмин, Д. В. Назаров, А. М. Пономарева, И. Е. Смирнова, П. И. Чернуский

Заведующая редактор Л. В. Чернова

Редактор отдел худоместственного оформления
С. В. Иванов

Худоместственный редактор Т. М. Макарова

Корректор Л. С. Сомова

103006 Москва К-6,
ул. Горького, 32/1, «Квант», тел. 250-33-54

Сдано в набор 19.6.86. Подписано к печати 17.7.86
Т-16726 Вумага 70×108/16
Печать офсетная. Усл. кр.-от. 23,8
Усл. печ. л. 5,6. Уч.-изд. л. 6,95
Тираж 194 920 экз.
Цена 40 коп. Заказ 1646

Ордена Трудового Красного Замени
Чеховский полигraphический комбинат
ВО «Соозполигraphпром»
Государственное комитета СССР
по делам издательств, полигraphи и книжной торговли
г. Чехов Московской области