Основные теоремы

36

Основные теоремы

Кандидат физико-математических наук
В. Л. ГУТЕНМАХЕР

Наша цель — расскаать о трех основных теоремах трех великих А: Арифметики, Алгебры, Анализа. Эти теоремы должны знать каждый, кто хотеть немного интересуется математкой. Первая — о разложении чисел на простые множители, второй — о разложении многочленов на неприводимые многочлены, третья — о вычислении площади.

Мы начем с основной теоремы алгебры: о ней писал Рене Декарт в 1637 году —ровно 350 лет тому назад — в своей книге «Геометрия».
В этой книге есть глава, посвященная уравнениям; она начинается такими словами:

«Знайте, что всякое уравнение может иметь столько же корней, какова степень уравнения; либо переменность два уравнения $x-2=0$ и $x-3=0$, то получится уравнение второй степени: $x^2-5x+6=0$, которое имеет корни 2 и 3. Если это уравнение, в свою очередь, умножить на $x-4=0$, то получится уравнение третьей степени $x^3-9x^2+26x-24=0$ с третьями 2, 3 и 4».

В курсе алгебры 8 класса доказывается, что многочлен второй степени $x^2+px+q$, имеющий корни $x_1$ и $x_2$, представляется в виде произведение многочленов первого степени:

$$x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2).$$

Примеры разложения квадратного трехлена в произведение:

$$x^2-x-2=(x+1)(x-2);$$
$$x^2-2x+1=(x-1)^2;$$
$$x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2});$$
$$x^2+x-1=(x+1/2-\sqrt{5}/2)(x+1/2+\sqrt{5}/2).$$

Однако следует, что квадратный трехлен не имеет корней и его разложить в такое произведение нельзя. Что же касается многочленов более высокой степени, то для них имеет место также теорема:

Любой многочлен вида $x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_0$ можно разложить в произведение многочленов вида $x-a$ и многочленов второй степени вида $x^2+px+q$, не имеющих корней; причем это разложение единственно: два такие разложения отличются только порядком сомножителей.

37

Приимеры разложения многочленов на множители:
$$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) \quad - 1 \text{ корень};$$
$$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3) \quad - 3 \text{ корня};$$
$$x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3 \quad - 1 \text{ корень};$$
$$x^4 - 1 = (x^2 + 1)(x - 1)(x + 1) \quad - 2 \text{ корня};$$
$$x^4 + 1 = (x^2 - \sqrt{2x} + 1)(x^2 + \sqrt{2x} + 1) \quad - 0 \text{ корней}.$$

Из этой теоремы следует, что многочлен $n$-й степени может иметь, самоое большие, $n$ корней;ровно $n$ корней будет, если он раскладывается в произведение $n$ различных многочленей вида $x-a$. Многочлен может иметь именные корней за счет того, что некоторые такие многочлены повторяются (при этом возникают кратные корни), и за счет того, что некоторые многочлены — квадратные трехчлены, не имеющие корней.

Значительное более изучную форму примет эта теорема, если ввести употребление компликсии числа, т. е. выражения вида $a - b\sqrt{-1}$, где $(a; b)$ — пара действительных чисел. Тогда уже любой квадратный трехчлен (с действительными или компликскими коэффициентами) имеет два компликских корня и раскладывается на многочлен первой степени.

Приимеры разложения квадратных трехчленов с компликскими корнями:
$$x^2 + 1 = (x + \sqrt{-1})(x - \sqrt{-1});$$
$$x^4 - 4x + 3 = (x - 1)^2(x + 1 - \sqrt{-2}) \times (x + 1 + \sqrt{-2}).$$

Благодаря этому сформулированная ранее теорема принимает следующий вид:

Всякий многочлен вида $x^n + \alpha_{n-1}x^{n-1} + \alpha_{n-2}x^{n-2} + \dots + \alpha_0$ (эде $\alpha_{n-1}, \alpha_{n-2}, \dots, \alpha_0$ — компликские числа) представляется в виде произведения $n$ компликелей $(x - \beta_1)(x - \beta_2) \dots (x - \beta_n)$, еде $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$ — компликские числа, причем такое представление единственно с точностью до порядка компликелей.

Это и есть основная теорема алгебры.

---

Основная теорема арифметики сродни основной теореме алгебры:

Всякое целое положительное число, большое единицу, может быть представлено в виде произведения простых чисел. Причем два таких разложения могут отличаться только порядком компликелей.

Приимеры разложения чисел на простые множители:
$$400 = 2^4 \cdot 5^2; \quad 1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13;$$
$$290 981 = 43 \cdot 67 \cdot 101; \quad 1987 = 1987.$$

Этот теоремой мы фактически пользовемся, начиная с младших классов — и при сокращении дробей, и при приведении их к наиболееому общему значению.

Чаще всего мы пользовемся следующим утверждением, которое, как легко понять, равносильно основной теореме арифметики: если произведение чисел чисел делится на неокоторое простое число, то на это простое число делится хотя бы один из сомножителей.

Итак, обе основные теоремы — арифметики и алгебры — касаются вопроса разложения в произведение неразложимых. Цель числа разлагаются в произведение простых чисел, а многочлены — в произведение, как говорят, непроводимых многочленов. Обе теоремы утверждают, что такое разложение единственно.

Строое доказательство основной теоремы алгебры дал в 1799 году Великой немецкой математик К. Ф. Гаусс (1777—1855); он же в 1801 году сформулировал и доказал основную теорему арифметики *).

Утверждение основной теоремы арифметики совершено ясно и было известно с древнейших времен, но именно Гаусс понял, насоклько важно утверждение о единственности разложения на простые множители. Оказывается, возможно такие числовые системы, в которых анализ оосновной теоремы арифметики перестает быть верным. Не останавливаясь на этом подробно, мы только приведем наиболее известный пример — системы чисел вида $a + b\sqrt{-5}$, где $(a; b)$ — пара чисел чисел (которые складывают и умножают по тем же правилам, что и компликенты). В этой системе, например, $21 = 3 \cdot 7 = (4 + \sqrt{-5})(4 - \sqrt{-5})$. Мы не станем обсуждать здесь, почему числа 3, 7, 4 + \sqrt{-5}, 4 - \sqrt{-5} являются простыми в этой числовой системе. Интересующейся читатель может найти ответ в замечательной книге Г. Радемахера и О. Теплица «Числа и Фигуры» — М.: «Физматгиз», 1962.

Однако не нужно думать, что в любых числовых системах вида $a + b\sqrt{d}$

*) Доказательство основной теоремы арифметики см., например, в «Кванте», 1987, № 4, c. 12; доказательство основной теоремы алгебры — в «Кванте», 1980, № 2, c. 17; 1982, № 4, c. 3.

38

(а, b — целые числа, d — фиксированное целое число) нет однозначного разложения на простые множители. Важный пример «хорошей» числовой системы — так называемые гауссовы числа, т. е. числа вида $a+b\sqrt{-1}$, где $a$ и $b$ — целые. Для них анализ основной теоремы арифметики имеет место.

Формулируя этот анализ, нужно учитывать наличие так называемых обратимых чисел. Число (гауссово или обикновенное) называется обратным, если существует другое (возможное, то же самое) число, такое, что произведение двух этих чисел равно 1. Среди целых чисел обратимы числа 1 и — 1, среди многочленов обратимыми являются многочлены «нулевой степени» — числа, отличные от нуля, среди гауссовых чисел — числа 1, — 1, $\sqrt{-1}$ и — $\sqrt{-1}$. В разложении $q=p_1\dots p_n$ на простые многочлены можно умножить, скажем, $p_1$ и $p_2$ на числа, произведение которых равно 1, и получится другое разложение. Это вынужддает нас не различать также разложения, получающей друг из друга умножением компонентей на обратные числа. При этом и $q$, и $p_1$, …, $p_n$ нужно считать не обратными. В формулировке основной теоремы арифметики мы избежали этих оговорок, предположив, что все числа больше 1; в формулировке основной теоремы алгебры — предположив, что старшие коэффициенты многочленов равны 1.

---

В то время, как основные теоремы алгебры и арифметики родственны, как мы видели, друг другу, основная теорема анализа отходит от них достаточно далеко. Это — входящая в школьный курс математики 10 класса теорема Ньютона—Лейбница.

Эта теорема заменяется тем, что она позволяет находить площадки кривойнейных функур. Она производит огромное печатание еще и потому, что связьает воедино две, казалось бы, совсем разные геометрические задачи: задачу проверения касательных (производные) и задачу нахождения площадей (интерральы). То, что эти задачи должны быть взаимно обратны, первым заменил учитель Ньютона английский математик Исаак Барруу. Но в виде формулы эта связь впервые была получена Ньютоном и, неависимо от него, Лейбницем.

Teorema Ньютона—Лейбница утверждает, в частности, что если непрерывная положительная функция $f$, заданная на том же отрезке, (или, как говорят, функция $F$ является непреобразной функции $f$), то площадь $S$ под ее графиком находится по формуле

$$S = \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) \text{ (см. рис. 1)}.$$

Например, площадь «параболической подставки» (рис. 2) может быть найдена по этой формуле: функция $f(x) = x^2$ является произvodной функцией $F(x) = x^3/3$ и, значит, интересующая нас площадь равна

$$\int_0^1 x^2dx = \frac{1}{3} - \frac{0}{3} = \frac{1}{3}.$$

Эту площадь впервые вычислил Архимед, ничего не знаний, конечно, о формуле Ньютона—Лейбница. (Интересно, что Архимед решал эту задачу в разных контекстах по крайней мере три раза, не подозревая, что он решает одну и ту же задачу.)

Задача отыскания непреобразной для заданной функции оказалась важной аналитической задачей. Для рациональных функций она связана с основной теоремой алгебры: непреобразную дробно-рациональную функцию всегда можно выразить через элементарные функции (включая логарифм и арктгенс), но для этого нужно знать разложение значенателя на линейные и квадратные множители.