Задачи М1091—М1095; Ф1103—Ф1107

Квант 1988, №3 с. 21-22 Тег BPO5

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наболее трудные задачи отмещаются звездочки. Послед формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые.

Решения задачи из этого номера следует отправлять не позднее 1 июня 1988 года по адресу: 103006 Москва К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант».
Решения задачи из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присваивают в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» написите: «Задачик «Кванта» № 3—88» и номера задач, решения которых вы посылаете, например «M1091» или «Ф1103».
В графе «… адрес отправителя» фамилию и имя просим писать разборную. В письмо включите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решения).

Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присваивает в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конверте помещьте: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «… новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер шкoles и класс, в котором вы учитесь.

Задачи

M1091—M1095, Ф1103—Ф1107

M1091. Назовем натуральное число удачным, если цифры в его десятичной записи можно разить на две группы так, что суммы цифр в этих группах равны a) Найдите наименьшее число a такое, что числа a и a+1 — удачные.
6) Существует ли такое a, что числа a, a+1 и a+2 — удачные?

H. И. Зильберер

M1092. Вырезанный из бумаги выпukлей многоугольник 10 раз складывают (перегибая по некоторым прямым) и затем разрезают по прямой. Какое наибольшее число кусков может получить?

C. В. Казаков

M1093. На окружности в n точках расставлены числа 0, 1, 2. Затем одновременно во всех точках произволься следующие преобразование: каждое число 2 заменяется на 0, а затем к следующему за ним по часовой стрелке числу прибавляется 1. Пусть вначале количество двоеков равность k ≥ 1.
a) Через какое количество преобразований завершено не оставется ни одной двойки?
b) Пусть, кроме того, в n−k остальных точках вначале стояли единицы. Доказите, что в конце концов остается k единиц и n−k нуля (рис. 1).
H. Алексаандру (Румыния)

M1094. Пусть a, b, c — неотрицательные числа.
a) Доказите, что из неравенства
$a^4 + b^4 + c^4 \leq 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)$
(1)
следует неравенство
$a^2 + b^2 + c^2 \leq 2(ab + bc + ca).$
(2)
6) Верно ли обратное: из неравенства (2) следует неравенство (1)?

B. А. Сендеров

M1095*. На плоскости задана okружность с центром O и две точки A, B (отличные от O) такие, что прямая AB проходит через точку O. Построите хорду MN этой okружности, которая видна из точки A под заданным углом α и
a) параллельна прямой AB;
b) проходит через точку B. (Если B лежит вне okружности, то через B должно проходить продолжение хорду MN.)

P. О. Бурдин

Рис. 1. Точки, в которых стоит числа 2, — красные, 1 — голубые, 0 — белые; здесь k=4, n−k=3.

Ф1103. Математический матник длиной $l$ покопится в точке $A$ на конусе с углом расстояра 2β (рис. 2). Какой путь пройдёт матник до отрыва от поверхности конуса, если легким толком матник вывести из положения равновесия? Угол наклона конуса к поверхности земли $\alpha$ , поверхности конуса считается гладкой.

Л. Г. Маркович

Ф1104. Концы двух однородных стержней привязаны друг к другу неевесомыми и нерастяимыми нитями. Один из стержней подвязали за середину к шитатву. Доказать, что образованный таким образом из нитей и стержней четырехугольник является трапецей.

В. Т. Карпетян

Ф1105. Металлический диск радиусом $r=10$ см вращается в горизонтальной плоскости со скоростью $v=60$ об/min. С высоты $H=10$ см на него падает плосковый брусок, масса которого много меньше диска. Нижняя грань бруска все время параллельна плоскости диска, коэффициент треня между металлом и пластмассой $\mu=0,1$ . На каком расстоянии от оси должен упасть брусок, чтобы при повторном падении он упал за пределами диска? Считать, что после отскока брусок поднимается на прежнюю высоту; размерми бруска пренебречь.

Л. А. Закревский

Ф1106. Несоклько слов о сверхпроводниках. Сверхпроводники обладают свойством выталкивать магнитное поле (так называемый эффект Мейснера), благодаря чему они могут парить над магнитом. Эту особенность сверхпроводников предполагается использовать для создания сверхкоростных поездов на «магнитной подвеске», опытные образцы которых уже испытывалися. А теперь сама задача. На сверхпроводящий образец массой $m$ , паращий над постоянным магнитом,кладут груз точного такой же массы. Во сколько раз необходимо увеличить магнитную indукцию поля, создаваемого магнитом, чтобы сверхпроводник с грузом парил на прежнем расстоянии от магнита?

А. И. Буздин

Ф1107. Свежевыпавший пушистый снег искристая на солнеце. Оцените характерное расстояние между отдельными «искриками».

Е. Н. Юносов, И. В. Яминский

Problems

M1091—M1095, P1103—P1107

M1091. A natural number is called successful, if its digits can be split up into two groups with equal sums.
a) Find the least $a$ such that both $a$ and $a+1$ are successful.
b) Is there an $a$ such that $a, a+1, a+2$ are all successful?

N. I. Zilberberg

M1092. A convex paper polygon is folded 10 times (along straight lines) and then cut along a straight line. Find the maximum number of pieces.

S. V. Kazakow