Московский институт радиотехники, электроники и автоматики

58

Сила сопротивления доски постоянна. Ответ дайте в СИ.

4. Тело массой $m = 12$ кг изготовлено из вещества с плотностью $\rho = 1000$ кг/м³. Найдите объем тела. Ответ дайте в СИ.

5. В баллоне емкостью $V = 10^{-2}$ м³ находится при температуре $t = 27$ °C. Вследствие утеки давление сизилось на $\Delta p = 10^3$ Pa. Какое количество молекул вылоизбалона, если температура не изменилась? Постоянная Большманна $k = 1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/K. Ответ дайте, умножив результат на $10^{-20}$.

6. Кусок свинца ударяется о преястьстве со скоростью $v = 350$ м/с. Какая часть свинца расплавится, если все количество теплоты выделяем при ударе, поглощается свинцом? Температура свинца перед ударом $t = 27$ °C, температура плавления свинца $t_{\pi\pi} = 327$ °C, удельная температура свинца $c = 126$ Дж/(кг·К), удельная температура $\lambda = 26,4 \cdot 10^3$ Дж/кг.

7. Сила, действующая на заряд $q = 1$ Кл, помещенный в электростатическое поле, равна $F = 1$ Н. Найдите напряженность поля. Ответ дайте в СИ.

8. Найдите сопротивление низкомового стержня диаметром $d = 1$ см и массой $m = 779$ г. Плотность низкома $D = 7,9$ г/cm³, удельное сопротивление $\rho = 10^{-6}$ Ом·м. Ответ дайте в СИ.

9. Пучок электронов, направленный паралельно обкладкам плоского конденсатора, на пути $l = 4$ см отклоняется на расстояние $x = 2$ мм от первого начального направления. Какую скорость имеет электроны? Напряженность электрического поля в конденсаторе $E = 22500$ В/м. Отношение заряда электрона к его массе $e/m = 1,76 \cdot 10^{11}$ Кл/кг. Ответ дайте в км/с.

10. Определите энергию фонарногоRENTеновского излучения с длиной волны $\lambda = 0,5 \cdot 10^{-3}$ nm (1 nm = $10^{-9}$ м). Ответ дайте в СИ, разделив результат на $10^{-13}$. Постоянная Планка $h = 6,6 \cdot 10^{-34}$ Дж·с.

Вариант 2

1. Тело, брошенное вертикально вверх, упало на землю через $t = 4$ с. С какой начальной скоростью было брошено тело? Ускорение силы тяжести $g = 9,8$ м/с². Ответ дайте в СИ.

2. Через блок, массой которого можно пребежать, перекинита нить, на которой высит две грири с массами $m_1 = 2$ кг и $m_2 = 6$ кг. Найдите натяжение нити. Ускорение силы тяжести $g = 9,8$ м/с². Ответ дайте в СИ.

3. Чему равно изменение кинетической энергии тела массой $m = 4$ кг, если его скорость увеличилось с $v_1 = 2$ м/с до $v_2 = 3$ м/с? Ответ дайте в СИ.

4. Какую работу совершает человек при подъеме груза массой $m = 2$ кг на высоту $h = 2$ м с ускорением $a = 3$ м/с²? Ускорение свободного падения считать равным $g = 10$ м/с². Ответ дайте в СИ.

5. При нагревании идеального газа на $\Delta T = 1$ К при постоянном давлении его объем увеличился на $a = 1/100$ пероначального объема. Найдите начальное температуру газа. Ответ дайте в СИ.

6. Для расплавления $m = 15$ кг стали потребовалось израсходовать количество теплоты $Q = 24 \cdot 10^6$ Дж. Определите КПД печи, если начальная температура слита $t = 20$ °C, а температура плавления $t_{\pi\pi} = 1300$ °C. Удельная тепломкость стали $c = 460$ Дж/(кг·К), удельная тепломкость плавления $\lambda = 2,7 \cdot 10^5$ Дж/кг. Ответ дайте в процентах.

7. Расстояние между пластинами плоского конденсатора $d = 4$ см, разность потенциальных между ними $U = 12$ В. Какую скорость получит электрон под действием поля, пройдя по силовой линии расстояние $l = 6$ мм? Заряд электрона $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл, масса $m = 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг. Ответ дайте в СИ, разделив результат на $10^5$.

8. Две духовные лампы и добавочное сопротивление соединены последовательно и включены в сеть с напряжением $U_0 = 110$ В. Найдите величины добавочного сопротивления, если напряжение на каждой лампе $U = 40$ В, а ток в цепи $I = 15$ А. Ответ дайте в СИ.

9. Определите силу, действующего на проводник длиной $l = 10$ см при токе $I = 10$ А в однородном магнитном поле с индукцией $B = 0,12$ Тл, если угол между проводником и магнитной индукцией равен $90$°. Ответ дайте в СИ.

10. Человек видит свое изобравжение в плоском зернке. На какое расстояние нужно перевинуть зернка, чтобы изобравжение сместилось на $l = 1$ м? Ответ дайте в СИ.

Публикацию подготовили М. Ю. Дизилов, О. Н. Дьяченко, Е. А. Шевдов

Московский институт радиотехники, электроники и автоматики

Математика

Писъемный экзамен

Вариант 1

1. Решите уравнение $\frac{3x-1}{x-4} + \frac{x-2}{2x-13} = 1$.

2. Решите неравенство $(x-3)\sqrt{x^2-x-2} \ge 0$.

3. Решите уравнение $\sin 3x \sin (\pi+3x) = \cos 2x \cos (\pi-2x)$.

4. Решите неравенство $\log_{3x-5}4 - \log_{6x-2}16 \ge 0$.

5. В треугольнике ABC проведены высоты AD и CE. Найдите отношение площадей треугольников ABC и AED, если AB=6, AC=5, CB=7.

6. Для каждой значения параметра $a$ найдите все значения $x$, удовлетворяющие неравенству $\sqrt{4x+a} +1 \ge 2x$.

Вариант 2

1. Решите уравнение $(x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})-2(x-2)^2 = 0$.

59

2. Решите неравенство
   $$x^2 - 4\left(\sqrt{-x} - \frac{1}{4}\right)^2 > 0.$$

3. Решите уравнение
   $$\cos 9x - \cos 7x - \cos(\pi + 3x) - \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = 0.$$

4. Решите неравенство
   $$\log_5(x^2 - 9x + 20) \cdot \log_5(x) \geq \frac{\log_5{10} - 1}{\log_2{5}(5 - x)}$$.

5. В треугольнике ABC проведены биссертисы BD и AE. Найдите отношение площадей треугольников ABC и BDE, если AB=5, BC=8, AC=7.

6. Для каждого значения параметра a найдите все значения x, удовлетворяющие уравнению
   $$|x+1| + 2a|1-2x| = 3/2.$$

Физика
Задачи устного экзамена

1. После прекрашения действия силы, удерживающей пробковый шарик на глубине H=1 м, шарик вынырнул из воды и поднялся на высоту h=0,5 м над поверхностью. Определите среднюю силу сопротивления воды движению шарика. Сопротивление воздуха не учитывает. Масса шарика m=100 г, плотность пробки q=200 кг/м³, плотность воды q_B=1000 кг/м³.

2. Два спутника движутся в одном направлении по круговым орбитам, лежащим в одной плоскости, со скоростью v₁=7,8 km/c и v₂=7,6 km/c. Определите минимальное расстояние между спутниками и промежуток времени, через которых они вновь будут находиться на этом же расстоянии. Радиус Земли принять равным R=6400 км.

3. Математический матник совершает колбания. В положении наиболее отклонения ускорение грузика матника в 20 раз больше, чем в момент прохождения положения равновесия. Найдите угол максимального отклонения матника.

4. Открытую с обенх сторон узкую цилиндрическую трубку длиной l=1,25 м погружают до половины в руть. Затем закрывают верхнее отверстие трубки и вынимают ее из рутины. При этом в трубке остается стольик ртути длиной h=27 см. Чему равно атмосферное давление? Плотность ртути q=13 600 кг/м³.

5. Два загруженных шарик, массы которых m₁=0,2 г и m₂=0,8 г и заряды q₁=3·10⁻⁷ Кл и q₂=2·10⁻⁷ Кл, соединены легкой непроводящей нитью длиной l=20 см и движутся вдоль силовой линии однородного электрического поля напряженного E=10⁴ Н/Kл. Вектор напряженной электрической поля направлен вертикально вниз. Определите ускорение шарков и натяжение нити.

6. Математический матник представляет собой шарик массой m=1 г и зарядом q=10⁻⁸ Кл, подвешенный на легкой непроводящей нити. Определите, во сколько раз изменится период колбаний этого матника, если его поместить в однородное электрическое поля напряженного E=5·10⁵ Н/Kл, направленное a) вертикально вниз; b) горизонтально.

7. Определите заряд конденсатора в электрической цепи, показанной на рисунке 1, где R₁=20 Ом, R₂=30 Ом, R₃=10 Ом, R₄=40 Ом, E=10 В, r=0, C=2 мК.

8. Мотор лифта питается от источника постоянного тока с ЭДС Е=240 В и внутренним сопротивлением r=0,2 Ом. Определите скорость подъема лифта, если его масса m=500 кг, сопротивление обмотки motor R=0,6 Ом, сила тока в цепи I=50 А. Определите также ЭДС электромагнитной индукции, возникающей в обмотках motor при его вращении. Механические потерями претензий.

9. Протон влетает в однородное магнитное поле с индукцией B=0,4 Тл под углом α=30° к направлению поля и движется по винтовой линии радиусом R=0,5 см. Найдите кинетическая энергию протона (масса протона m=1,67·10⁻²⁷ кг, заряд q=1,6·10⁻¹⁹ Кл).

10. Две свечи, высоты которых одинаковы и равны h=10 см, находятся на некотором расстоянии друг от друга (рис. 2). Расстояние от каждой свечи до ближайшей стены комнаты также же, как между свечами. С какой скорость движения тени от свечей по стенам, если одна свеча сторает за 10 мин, а другая — за 20 мин?

Публикацию подготовили В. В. Варфоломеев, М. Н. Данильцева, И. М. Матусевич

Новые книги издательства «Наука»

Имейются в продаже:
Вихман Э. Кваитовая физика. Учебное руководство. Изд. 3-e, испр. Пер. с англ. (Берkleевский курс физики, т. 4). 1986. 392 с. 1 р. 20 к.

Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие. 1987. 240 с. 85 к.

Сборник задач по элементарной физике. Пособие для самообразования. В. Б. Буховцев и др. Изд. 5-e, переработ. 1987. 416 с. 85 к.

Информация и научно-технический проресс. (Кибернетика — неограниченные возможности и возможные ограничения). 1987. 189 с. 65 к.

Ишлинский А. Ю. Классический механика и силы инерции. 1987. 319 с. 2 р. 30 к.

Кирсанов В. С. Научная революция XVII в. 1987. 341 с. 2 р. 70 к.

Заказы на книги направляются по адресу: 117192 Москва, Мицуриский проспект, 12, мазазин № 3 «Книга поочного» «Академика».

61

Вариант 2

1. Сила треня (μmg cos α) направлена против равноведействующей сил тяжестеи и внешней ($\sqrt{F^2_{\min}} + (mg \sin \alpha)^2$). Приравнивая силы, получаем
   $$F_{\min} = mg \sqrt{\mu^2 \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} \text{ при } \mu \geqslant tg \alpha,$$
   $$F_{\min} = 0 \text{ при } \mu < tg \alpha.$$
2. Из закона сохранения заряда $2CU = Q_1 + Q_2$, из равенства разностей потенциалов на обкладках конденсаторов $Q_1/(2C) = Q_2/C$ и из закона сохранения энергии $2\frac{Mv^2}{2} = 2\frac{CU^2}{2} - \left(\frac{Q_1^2}{2(2C)} + \frac{Q_2^2}{2C}\right)$ имеем
   $$v = \sqrt{\frac{CU^2}{3M}}.$$
3. Из условия равновесия для левого поршня давление $p_1$ слева и справа от него должно быть одним и тем же. Тогда и объемы в левом и правом отсеках до начала конденсации пара должны быть одинаковыми. Таким образом, пока $p_1 \leqslant 2p_0$, длина каждой отсека равна $(2L-a)/2 = L-a/2$ и смещение левого поршня $x = a/2$ при $a \leqslant L$.
   При дальнейшем ввигнении правого поршня пары воды конденсируются, и давление, одинаковое в обихах отсеках, будет постоянным и равным $2p_0$. Значит, и расстояние между поршнями $l$ будет постоянным и равным $L/2$ (по закону Бойля — Мариотта $p_0L = 2p_0l$, откуда $l = L/2$). Отсюда (объемом конденсировшейся воды пребегается)
   $$x = 2L - a - L/2 = 3L/2 - a \text{ при } L \leqslant a \leqslant 3L/2.$$
   Наконец,
   $$\text{при } a > 3L/2 \text{ x} = L.$$
4. Работа против сил скатания левия топора $F$ на пути $s$ (размер обуха) равна $Fs \sim mv^2/2$, где $m$ — масса топора, $v$ — его скорость. Будем считать, что топор, как и руки, движется примерно с той же скоростью, что и нори при беге. Таким образом,
   $$F \sim mv^2/(2s) \sim 5 \cdot 10^3 \text{ H}$$
   при $m \sim 1$ кг, $s \sim 10^{-2}$ м и $v \sim 10$ м/c.
5. См. решения задачи Ф1102, которое будет опубликовано позже.

Вариант 3

1. Из уравнения Менделеева — Клапейрона для одного моля газа — $pV = RT$ — следует, что угол наклона $\alpha$ изхоры к оси температур таков, что $tg \alpha = p/T = R/V$. Таким образом, максимальный наклон соответствует минимальным объему и наоборот:
   $$V_{\min} = RT_1/p_2, V_{\max} = RT_2/p_1.$$
2. Пусть на обкладке конденсатора оказется заряд $q$, тогда на шале остается заряд $Q - q$, на другой обкладке возникнет заряд $Q - q$, а на шале радиусом $R$ — заряд $+q$ (из закона сохранения заряда). Приравнивая разности потенциалов между обкладками конденсатора и между шарами, получаем
   $$4\pi \varepsilon_0 q/C = (Q - q)/r - q/R,$$
   откуда
   $$q = \frac{Q}{1 + r(1/R + 4\pi \varepsilon_0/C)}.$$
3. Так как скорость $v$ бусинки постоянна, сила треня $\mu N$ уравновешивается «скатывалощую» сил $mg \sin \alpha$. Из второго закона Ньютона получаем
   $$\left(\frac{mv^2 \cos^2 \alpha}{R}\right)^2 + (mg \cos \alpha)^2 = N^2 = \left(\frac{mg \sin \alpha}{\mu}\right)^2.$$
   Отсюда
   $$v = \sqrt{Rg} \cos \alpha \left(\left(\frac{\sin \alpha}{\mu}\right)^2 - \cos^2 \alpha\right)^{1/4} \text{ при } tg \alpha > \mu.$$
4. Грубая оценка по порядку величины из закона сохранения энергии дает: $mv^2_{\pi,T}/2 + mgl/2 \sim Fh$, где $F \sim (M_{\psi,\pi}/2)g$ — сила давления одной ноги стоящего человека. Отсюда $v_{\pi,T} \sim \sqrt{(Mh/m-l)g}, v_x/v_{\pi,T} = 2$ (так как $v = \omega r$), т. е.
   $$v_x \sim 2 \sqrt{(Mh/m-l)g} \sim 15 \text{ м/c}$$
   при $M/m \sim 70$, $h \sim 0,1$ м, $l \approx 1,5$ м, $g = 10 \text{ м/c}^2$.
5. Вначале быстро разогревается тонкие металлические сосуда, и объем его увеличается, поэтому уровень жидкости попадает. Затем прогревается сама жидкость, ее объем растет, и уровень в трубке повышается.

Московский инженерно-физический институт
Математика
Вариант 1

1. $x = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{2}{3} + \pi n, n \in Z.$
2. $(2m+1 + \sqrt{4m^2+1})/4.$
3. $[1; 1 + \log_2 \frac{c+1}{c+2}) \text{ при } c \in ] - \infty; -2); [1; \infty)$
   при $c \in [-2; \infty).$
4. $\frac{\pi h^2}{4} \left(\frac{3 \text{ ctg} \alpha - 1}{\text{ctg} \alpha + 1}\right), \pi h^2 \left(\frac{1 - \text{ctg} \alpha}{1 + \text{ctg} \alpha}\right) \text{ ctg}^2 \alpha$ при $\frac{\pi}{4} < \alpha < \mathrm{arctg} 1/3; \pi h^2 \left(\frac{1 - \text{ctg} \alpha}{1 + \text{ctg} \alpha}\right) \text{ ctg}^2 \alpha$ при $\mathrm{arctg} 1/3 \leqslant \alpha < \frac{\pi}{2}$.
   Указание. Пусть ASB — освое сечение примеры, проходящие через середины ребер PT и QR, $AB = a, \angle ABS = \varphi, C$ — центр вписанного в парамид шара, $r$ — его радиус, $\Pi_1$ и $\Pi_2$ — прямы, по которым возможно секущие плоскости пересекают вписанный шар (рис. 1). Тогда $h = \frac{a}{2} \text{ tg } \varphi, r = \frac{a}{2} \text{ tg } \frac{\varphi}{2} \cos \varphi = \text{ ctg } \alpha$. Вычисляя $r_1 = C_1E$ и $r_2 = C_2O$ и учитывая, что при $2r < h/2$, т. е. при $4 \text{ tg } \varphi/2 < tg \varphi$ или $0 < \text{ctg} \alpha < \frac{1}{3}$, плоскость $\pi_1$ не пересекается с вписанным шаром, получаем ответ.
   Вариант 2
5. $[2; 3) \cup (3; 7/2] \cup \{4\}.$
6. $3(10 - p)/(2p - 10) \text{ при } p \in [50/7; 10].$
7. $\{\pi + 4\pi n; 2\pi k\}, k, n \in Z \text{ при } a \in \{-1; 3\}$. Указание. Из второго уравнения следует, что $sin x/2 = 1, cos y = 1.$
8. $R = \frac{d}{2 \sin \alpha |\cos 2\alpha|}, R = \frac{d}{2 \sin \alpha}, \text{ если } \alpha \neq$

62

$\neq \frac{\pi}{4}; R = \frac{d}{\sqrt{2}}, \text{ если } \alpha = \frac{\pi}{4}.$

Решение. Рассмотрим освое сечение примыды (рис. 2 и 3). По условию задачи точка $P$ лежит на высоте точки $S$, или на ее продолжении, но не совпадает с точкой $S$, так как $d > 0$. Обозначим $AD = a, SO = h$. Тогда $AO = \frac{a}{\sqrt{2}}, h = \frac{a \text{ ctg } \alpha}{\sqrt{2}}$. Точка $P$ может лежать или выше основания примыды (может быть, даже выше точки $S$), или ниже этого основания. Поэтому или $AE \perp SC$, или $AE \perp SA$. Из $\triangle AOP$ получаем $OP = \frac{a \text{ tg } \alpha}{\sqrt{2}}, AP = \frac{a}{\sqrt{2} \cos \alpha}$.

В зависимости от положения точки $P$ имеем: или $d = |AE - AP| = |a \sqrt{2} \cos \alpha - \frac{a}{\sqrt{2} \cos \alpha}| = \frac{a |\cos 2\alpha|}{\sqrt{2} \cos \alpha}$, или $d = AP = \frac{d}{\sqrt{2} \cos \alpha}$, т. е. или $a = \frac{d \sqrt{2} \cos \alpha}{|\cos 2\alpha|}$, или $a = d \sqrt{2} \cos \alpha$. Но во всех случаях $2R = h + x = \frac{a}{\sqrt{2}} (\text{ctg } \alpha - \text{tg } \alpha) = \frac{a \sqrt{2}}{\sin 2\alpha}$, и потому либо $R = \frac{d}{2 \sin \alpha}|\cos 2\alpha|$, либо $R = \frac{d}{2 \sin \alpha}$.

Физика

1. $v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{m}{2k} \frac{a}{\cos \alpha}} = 0,2 \text{ m/c}$.
2. $\omega = \sqrt{\frac{g}{r} \frac{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}{\sin \alpha - \mu \cos \alpha}} = 11 \text{ c}^{-1}$.
3. $W = \frac{2q^2_a}{4\pi \varepsilon_0 r} = \frac{8e^2}{4\pi \varepsilon_0 r} = 1,84 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$.
4. $A = (p_0 S + mg) h \frac{\Delta t}{(t + 273)} = 79 \text{ Дж}$.
5. $B = \frac{U_2}{v l} (1 + n) = 0,25 \text{Tл}$.
6. $\frac{q}{m} = \frac{8U}{B^2 l^2} = 1 \cdot 10^8 \text{ КЛ/кг}$.
7. $a = \frac{e}{m} \left(B \sqrt{\frac{2eEh}{m}} - E\right) = 1 \cdot 10^{12} \text{ m/c}^2$.

Математика

Вариант 1

1. $\{-1; 31/5\}$.
2. $\{2; -1\} \cup [3; \infty)$.

Московский институт радиотехники, электроники и автоматики

Математика
Вариант 1

1. $\{-1; 31/5\}$.
2. $\{2; -1\} \cup [3; \infty)$.

3. $x = \frac{\pi}{10}(2n+1), n \in \mathbb{Z}$.
4. $[-3; -2]$.
5. 49/5. Указание. $S_{ABC}/S_{AED} = BC/(AE \cos \beta)$.
6. При $a < -3$ решений нет, $x = 1$ при $a = -3; [(2 - \sqrt{a+3})/2; (2 + \sqrt{a-3})/2]$ при $a \in (-3; -2]; [-a/4; (2 + \sqrt{a+3}/2)]$ при $a > -2$. Указание. Расстояние графики функции $y = \sqrt{4x+a}$ и $y = 2x-1$ и исследуйте их взаимное положение в зависимости от $a$.

Вариант 2

1. {3; 5}
2. $(-\infty; -2 - \sqrt{3}) \cup (-2 + \sqrt{3}; -1/4]$.
3. $x_1 = \pi k/5, x_2 = \pi(2l+1)/6, k, l \in \mathbb{Z}$.
4. $(-\infty; 3)$.
5. 3,9. Указание. $S_{BDC}/S_{ABC} = DC/AC = 8/13$.
6. $\{1/2\}$ при $a \in (-\infty; -1/4); [1/2; \infty)$ при $a = -1/4; \{(4a-5)/(8a+2); 1/2\}$ при $a \in (-1/4; 1/4); [-1; 3/2]$ при $a = 1/4; \{1/2\}$ при $a \in (1/4; \infty)$. Указание. График левой части уравнения представляется собой ломаную, состоящую из двух лучей и отрезка, с вершинами в точках $(-1; 6a)$ и $(1/2; 3/2)$.

Физика

1. $F = mg \left( \frac{\rho_B}{\rho} - \frac{h}{H} - 1 \right) = 3,5\text{H}$.
2. $\Delta R_{\min} = gR^2 \left( \frac{1}{v_2^2} - \frac{1}{v_1^2} \right) = 352\text{km}; \tau \approx 20\text{ч}$.
3. $a = 2\text{arctg}(1/40) \approx 3^\circ$.
4. $p_a = 2 \rho gh(l-h)/(l-2h) = 10^5\text{Pa}$.
5. $a = g + E(q_1 + q_2)/(m_1 + m_2) = 14,8\text{m/c}^2; T = E(q_1 m_2 - q_2 m_1)/(m_1 + m_2) + q_1 q_2/(4\pi \varepsilon_0 l^2) = 15,5 \cdot 10^{-3}\text{H}$.
6. a) $\frac{T}{T_0} = \sqrt{\frac{g}{g+qE/m}} = 0,82$;

6. $\frac{T}{T_0} = \sqrt{\frac{g}{\sqrt{g^2+q^2E^2/m^2}}} = 0,95$.

7. $q = C\mathcal{E} \left( \frac{R_1}{R_1+R_2} - \frac{R_3}{R_3+R_4} \right) = 4 \cdot 10^{-6}\text{KJ}$.
8. $v = \frac{\mathcal{E} I - I^2(R+r)}{mg} = 2\text{m/c}; \mathcal{E}_{\text{инд}} = \mathcal{E} - I(R+r) = 200\text{B}$.
9. $W = q^2 B^2 R^2 / (2 m \sin^2 \alpha) = 1,2 \cdot 10^{-16}\text{Дж}$.
10. $v_1 = 0; v_2 = 1,5\text{cm/min}$.

Калейдоскоп «Кванта»
(cм. «Квант» № 2)

Вопросы и задачи

1. За счет отражения света на границе вода — воздуха.
2. Да, если изготовить из льда собственную линзу.
3. Лучи света слабо преломляются при перехождение из воды в глаз и не дают резкого изображения на сетчатке.
4. Свет, отраженный от акваалянства при больших углах падения лучей, испытывает полное внутреннее отражение от границ «вода — воздуха». Свет же, отраженный от рыба при любом угле падения, проходит в воду.
5. Показатель преломления вещества.
6. Со скоростью 4 м/c.
7. Из-за рассеяния света капельками воды в тумане.
8. См. рис. 4.

Рис. 4.
Рис. 5.

9. Многократным внутренним отражением лучей света, попавших в драгоценный камень.
10. Солнечный свет, рассеяний атмосферой, значительное ярче света звезд.
11. Три (см. рис. 5).
12. Шурясь, люди как бы умены шагом «диафрагму» зрачка, и изображение становится более резким.

Микроопыт
С помощью очков для дальнейорких можно сформировать, например, поток солнечного света, с очками для близорукких — нельзя.

«Квант» для младших школьников
(cм. «Квант» № 2)

1. Большое будет закрытая часть (см. рис. 6).
2. Последняя цифра числа $A^3$ зависит только от последней цифры числа $A$. Выпишем эти

64

цифры в таблицу:

| $A$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $A^3$ | 0 | 1 | 8 | 7 | 4 | 5 | 6 | 3 | 2 | 9 |

Из этой таблицы видна справедливость утверждения задачи.

3. Возду является плоским проводником тела. Распущая перья, птицы увечивают слой воздуха междунаружим воздухом и телом.
4. Запишем условие задачи: $700+10x+y=100x+10y+7+117$. Отсюда $90x+9y=576$ или $10x+y=64$. Значит, $x=6$, $y=4$, а искомое число — 764.
5. $763\times852\times941=611721516$.

Шахматная страница (см. «Квант», 1987, № 11, 12)

Задание 21 (С. Левман, 1938 г., переработка Я. Владимирова). Тема простого кладана в четырех вариантах. Послед 1. Кg8! грозит 2. Kh6 и 3. Kf7×. Черные должны двигаться пещки b7 и c7, подключая ладь для зашиты седовой горизонтали. Но при этом происходит перерытие ладьи по другим горизонталям, что и решает дело. 1…b6 2. Ke7! (конь возвратается обратно) и 3. Кc6×; 1…b5 2. Лс3! и 3. Лlc5×, 1…c6 2. Ce7! и 3. Cd6×, 1…c5 2. Лe8! и 3. Jd5×.

Задание 22 (Л. Вальве, 1944 г.). 1. c4! с угрозой 2. К: a5 ba 3. c5×. Черная ладья пытается спасти короля: 1…Л:a4 2. Cc6! и 3. Jd7×, 1…Л:b3 2. Cd5! и 3. Jle6×, 1…Л:b5 2. Kd4. Ле5 3. Jd8×, 1…Л:c4 2. K:b6! Лс7 3. Jh6× (черный ладейный крест).

Задание 23 (Н. Григорьев, 1933 г.). 1. Кра1!! (но не 1. Кpb2? d4 2. Kpc1 Kpc3 3. Kpd1 d3! 4. cd Kp:d3 и не 1. Kpb1? Kpc3! 2. Kpc1 d4 3. Kpb1 d3!) 1…Кpc3 (если 1…d4, то 2. Kpb2, а если 1…Kpa3, то 2. Kpb1 Kpb4 3. Kpc1!) 2. Kpb1 Kpb4 (2…d4 3. Kpc1!) 3. Kpc1!! (но не 3. Kpb2? d4!) 3…Kpc3 (3…d4 4. Kpd2) 4. Kpd1!! (но не 4. Kpb1? Kpb4! 5. Kpc1 Kpc3) 4…d4 5. Kpc1 d3 6. cd Kp:d3 (если 6…Kp:b3, то 7. Kpd2 с симметричной игрой) 7. Kpb2 Kpd4 8. Kpa3 Kpc5 9. Kpa4 Kpb6 10. Kpb4 с выигрышем. В этом этапе, как и в следующем, важны не только правилах ходы, но иложные следы. Задание 24 (Н. Григорьев, 1933 г.). 1. a4! (но не 1. Kpe8? Kpc7 2. Kpe7 b5! 3. Kpe6 b4 4. ab cb 5. Kpd5 a5! 6. Kpc5 a4 или 4. a4 Kpb6 5. Kpd6 Kpa5 6. Kp:c5 пат) 1…Kpd7 (1…a5 2. Kpe8 Kpc7 3. Kpe7 Kpc6 4. Kpd8) 2. a5! Kpd6 3. Kpf7 (но не 3. ab? Kpc6 4. Kpe7 Kpb6 5. Kpd6 Kpa5! 6. Kp:c5 пат) 3…Kpd7 4. Kpf6! Kpd6 5. Kpf5 Kpc7 (5…Kpd7 6. Kpe5 Kpc6 7. Kpe6 b5 8. Kpe5! Kpc7 9. Kpd5 bc 10. bc Kpd7 11. Kp:c5 Kpc7 12. Kpd5 и т. д.) 6. Kpe6 Kpc6 7. Kpe7 Kpc7 8. Kpe8 Kpc8 (8…Kpc6 9. Kpd8! ba 10. Kpc7! Kpc7 11. Kpe6 Kpc6 12. Kpe5 Kpc7 13. Kpd5 Kpb6 14. Kpd6 Kpb7 15. Kp:c5 Kpc7 16. Kpd5 Kpd7 17. c5 Kpc7 18. c6 Kpd8 19. Kpc4 Kpc8 20. Kpd4! — метод треугольника! — 20…Kpd8 21. Kpd5 Kpc8 22. Kpd6 Kpd8 23. c7+ Kpc8 24. Kpc6) 9. ab Kpb7 10. Kpd7 Kp:b6 11. Kpc8 Kpc6 12. Kpb8 Kpb6 13. Kpa8 a5 14. Kpb8 a4! 15. ba Kpa5 16. Kpb7 Kp:a4 17. Kpc6 Kpb4 18. Kpd5, и белые выигрышот.