Новосибирский государственный университет им. Ленинского комсомола

54

Новосибирский государственный университет им. Ленинского комсомола

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(механико-mатематический и экономический факультет)

1. Решите уравнение
   $$\frac{3 - 5 \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 6 \cos 2x}{5} = x - \frac{\pi}{3}.$$

2. Решите неравенство
   $$\frac{1}{\log_2 \frac{4}{x}} > \frac{1}{\log_2 \frac{x}{2}} - 1.$$

3. Из точки $A$ к окружности радиусом $R$ проводится касательная $AM$ ($M$ — точка касания). Секущая, проходящая через точку $A$, пересекает окружность в точках $K$ и $L$, причем $L$ — середина отрезка $AK$, угол $AMK$ равен $60^\circ$. Найдите площадь треугольника $AMK$.

4. При каких значениях параметра $a$ можно решить систему неравенств
   $$x^2 + (a+4)x + 4a \leq y,$$
   $$3x + y - (2a+4) \leq 0$$
   содержит отрезок $[-2; -1]$ оси $Ox$?

5. Точка $M$ — середина ребра $AD$ единного куба $ABCDA'B'C'D'$. Через середину отрезка $B'M$ перепределилуарно ему проводится плоскость. Найдите расстояние от центра куба до этой плоскости.
   Вариант 2
   (физический факультет)

6. Найдите все решения уравнения $\sin x + \cos 3x = 0$, удовлетворяющие неравенству
   $$\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} > 0.$$

7. Решите неравенство
   $$\frac{1}{\log_2 \left(x^2 - x + 1\right)} + 1 \geq \frac{\log_2 \left(x + 3\right)}{\log_2 \left(x^2 - x + 1\right)}.$$

8. Две окружности радиусами 3 и 4, расстояние между центрами которых равно 5, пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $B$ проведена прямая, пересекающая окружности в точках $C$ и $D$ так, что $CD = 8$ и $B$ лежит между $C$ и $D$. Найдите площадь треугольника $ACD$.

9. Принаяка касается парабoles $y = -x^2 + 2x + 2$ в точке $A$ и пересекает ось $Ox$ в точке $B$, а ось $Oy$ в точке $C$. Известно, что точка $A$ лежит в 1-й четверти координатной плоскости и $2AB = AC$. Найдите уравнение касательной.

10. В треугольной парамиде $SABC$ ребра $AB, BC$ и $BS$ имеют длину 2 и взаимно перpendикулярны. Через середины ребер $AC$ и $SB$ проводится плоскость, пересекающая ребро $AB$ и образующая равные углы с плоскостями граней $ABS$ и $ABC$. Найдите величины этих углов.

Вариант 3
(факультет естественных наук и геологии-геофизической факультет)

1. Решите уравнение
   $$(13x^2 + 2x - 14) \cdot \arccos x = 0.$$
2. Решите уравнение
   $$2^2 \sin 2x - 2 \cos 2x + 3 - \left(\frac{1}{6}\right) \cos 2x - \sin 2x - \log_6 14 + 3^2 \sin 2x - 2 \cos 2x + 1 = 0.$$
3. При каком значении высоты прямой трапеця с острым углом $30^\circ$ и перimetром 6 имеет наиболее плоскость?
4. Имеются три куска сплава меди с нижелюм в отношениях 2:1, 3:1 и 5:1 по массе. Из них сплавлен куском массой 12 кг с относимым меди к нижелюм 4:1. Найдите массу каждого исходного куска, если масса первого была вдое большие массы второго.
5. Дана парамида $ABCD$. Ребро $DC$ перепределилуарно плоскости основания $ABC, AB = 3\sqrt{3}, BC = 3$, угол $ACB$ равен $\pi/3, DC = \sqrt{13}$. Проведена сфера радиусом 5 с центром в вершине $D$. Найдите длину линии пересечения сферы с основанием $ABC$.

Физика
Писменный экзамен
Физический факультет
Каждай варинент состояние из пяти задач трех типов.
Первые три задачи — расчетные, различной трудности: от почты стандартных до сравнительно сложных, требующих смекалки, глубоких знаний, умения разобраться в непривычной или условенной физической ситуации.
Четвертая задача — это задача-оценка. Для ее решения надо получить расматриемое физическое явление, формулировать простую (так как нужно только оценка) физического модели этого явления, выбрать разумные числовые значения физических величины и, наконец, получить численный результат, более или менее соответствующейrealности. В тексте задачи поддерживают, что абитриент может сам выбрать необходимые для решения задачи величины и их числовые значения.
Пятая задача — это задача-дemonстрация, в которой надо объяснить физическое явление, демонстрируемое в аудитории. Здесь важно понять существенные явления и среды различных факторов выделить главный.
На решение задачи давалось пять часов, начиная с завершения демонстрации.
После текста каждой задачи в скобках указаан процент решивших ее.

55

Вариант 1

1. Посередние закрытой с торцов трубы длиной 2L и сечением $S$ находится поршень. Слева и справа от поршня заключены разные газы при одинаковом давлении $p$. На сколько сметится поршень, если он становится проницаемым для одного из газов? Сила трения поршня о трубу равна $F$. Температур газов считать постоянной. (51 %)

2. Узкая трубка постоянного сечения образует квадрат со стороны $l$, закрепленный в вертикальной плоскости (рис. 1). Трубка заполнена равными объемами двух не пропикающих друг в друга жидкости с плотностью $\rho_1$ и $\rho_2$. Вначале более плотная жидкость заполняла верхнюю часть трубки. В некоторых моменте жидкости пришли в движение. Найдите их максимальную скорость. Трения нет. Ускорение свободного давления $g$. (55 %).

3. Проволочное кольцо радиусом $R$ имеет проводящую перемычку, расположенную вдоль диаметра. Влевую и правую полученную включенные конденсаторы емкости $C_1$ и $C_2$. Кольцо помещено в наратающее линейное со временем магнитное поле с индукцией $B(t) = B_0 t / T$, перепидикулярное его плоскости. В некоторых моменте перемычку убирают и затем прекращают изменять поле. Найдите заряды, установившие на конденсаторах. (29 %)

4. Оцените, с какой скоростью может бескать по Луне космонавт в легком удобном скафандре. (37 %)

5. Две одинаковые бутылки заполнены водой. В одну из них вставляют трубочки, ответные которой закрыто пальцем. Вытылки одновременно переварывают и в тот же момент открывают ответные трубочки. Из бутылки с трубкой вода вытекает замethно быстрее. Объясните явление. (91 %)

Вариант 2

1. На плоскости, образующей угол $\alpha$ с горизонтом, лежит шайба массой $m$ (рис. 2). Какую минимальную силу надо приложить к шайбе в горизонтальном направлении вдоль плоскости, чтобы она сdynнулась? Коэффициент трения равен $\mu$. (49 %)

2. Два плоских конденсатора емкости $C$ каждой соединитель параллельно и заряжены до напряжения $U$. Пластины одного из конденсаторов могут двигаться свободно настречу друг другу. Найдите их скорость в тот момент, когда зазор между параллельными конденсаторам уменьшится вдвое. Масса каждой параллели равна $M$. Силуяжесте не учитывается. (55 %)

3. В цилиндрической трубе на расстояниях $L$ и $2L$ от закрытого торца справа от него находятся два поршня, которые могут пере-

мецаться без трения. Влевом отсеке находятся пары воды при давлении $p_0$, а в правом — воздух при том же давлении. Давление насыщенных паров воды равно $2p_0$. Правый поршень медленно ввинули на расстояние $a$. На сколько сдинится левый поршень? Температур паров воды и воздуха считать постоянной. (39 %)

4. Лесоруб ударил топор по чурбаку. Топор застрял, войдя в чурбак наполовину (рис. 3). Оцените силу, с которой скимается лезвие топора. (36 %)

5. Лазерный луч падает на прорачную плоскопаралельную пластину, одна поверхность которой закрашена, так что способна рассеивать свет во всех направлениях. На пластине видна следующая картина: светлая точка в центре, темный круг с резко очеченной границей и светлый ореол за кругом. Объясните явление. (27 %)

Вариант 3

1. Диаграмма циклического проезда для одного моля газа в координатах $p$, $T$ образует прямую угол ABCD (рис. 4), стороны BC и AD которого соответствует давлениям $p_2$ и $p_1$, а AB и CD — температур $T_1$ и $T_2$. Найдите максимальный и минимальный объемы газа. Газовая постоянная равна $R$. (83 %)

2. Два проводящих шара радиусами $r$ и $R$ расположены далего друг от друга и соединены с обкладками конденсатора емкости $C$. Шаря радиусом $r$ сообщили заряд Q. Какой заряд оказался на другом шаре? Емкость проводов пребывания. (33 %)

3. По тонкой проводочной винтовой спрали, стоящей вертикально, скольцит наизнання на проводку бусинка. Радиус спрали равен $R$, угол наклона проводки к горизонту равен $a$. Найдите установившуюся скорость бусинки, если коэффициент трения ее о проводку равен $\mu$. Ускорение свободного давления $g$. (36 %)

4. Человек нечаянно наступил на лежащие зверех зубями грабли. Оцените, с какой скорость грабли ударят его по лбу. (39 %)

5. В металлической сосуд с подкрашенной жидкостю введена тонкая трубка так, что столбчик виден в выступающей части трубки. Если поставить сосуд на разогретую плитку, то столбик жидкости в трубке сначала опустится, а потом поддет вверх. Объясните явление. (59 %)

Публикация подготовили М. Л. Вишневский, В. М. Копытов, Г. В. Меледин